opravy preklepu

linearni-rovnice.tex

@@ -60,9 +60,9 @@ V přednášce MA3 jste již studovali tento typ rovnic, teď se však budeme v
 
 	Předpokládejme, že řešení není definované na celém $(a, b)$. Potom existují $\alpha, \beta \in (a, b)$ takové, že řešení je definováno na $(\alpha, \beta)$. Toto řešení musí opustit každý kompakt, tedy mimo jiné i $K = [t_0, \beta]\times \overline{B(0, R)}$, kde $R$ je dostatečně velké.
 	Řešení $x$ splňuje 
-	$$ |x(t)| \leq |x(t_0)| \int_{t_0}^t \| A(s)\| |x(s)| + |g(s)| ds \overset{\begin{subarray}{c}\|A(s)\| \leq L\\|g(s)| \leq \tilde{C}\end{subarray}}{\leq} C + \int_{t_0}^t L|x(s)|C| ds \leq $$
+	$$ |x(t)| \leq |x(t_0)| + \int_{t_0}^t (\| A(s)\| |x(s)| + |g(s)|) ds \overset{\begin{subarray}{c}\|A(s)\| \leq L\\|g(s)| \leq \tilde{C}\\|x(t_0)|=C\end{subarray}}{\leq} C + \int_{t_0}^t (L|x(s)| + \tilde C) ds \leq $$
 	Z Gronwallova lemmatu dostaneme
-	$$ \leq \tilde{C} + C(\beta - t_0) + \int_{t_0}^t L|x(s)| ds \implies |x(t)| \leq \underbrace{[\tilde{C} + C(\beta - t_0) e^{L(\beta - t_0}]}_{R}. $$
+	$$ \leq C + \tilde{C}(\beta - t_0) + \int_{t_0}^t L|x(s)| ds \implies |x(t)| \leq \underbrace{C + \tilde C(\beta - t_0) e^{L(\beta - t_0)}}_{R}. $$
 	Došli jsme ke sporu s Větou \ref{thm-leaving-compact}, neboť řešení $x$ nemůže opustit kompakt $K$.
 \end{proof}
 
@@ -83,7 +83,7 @@ Použijeme znalosti lineární algebry k tomu, abychom mohli formalizovat postup
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Jádro lineárního zobrazení $Lx := x' - Ax$ je vektorový prostor. Dokážeme, že má dimenzi $n$. Nechť $i = 1,\dots,n$ a $x(t_0) = e_i$, pro tuto počáteční podmínku dostaneme řešení $x^i$. Potom $\{x^1, \dots, x^n\}$ tvoří bázi prostoru všech řešení. Skutečně, tyto vektory jsou lineárně nezávislé, mějme lineární kombinaci $c_1 x^1 + \dots + c_n x^n = 0$, speciálně v čase $t_0$ máme $c_1 e^1 + \dots + c_n x^n$, což implikuje, že $c_i = 0$ pro každé $i$. Navíc vezmeme libovolné řešení $z' = A(t) z$, opět zkoumejme stav v čase $t_0$. Máme $z(t_0) = d_1e^1 + \dots d_ne^n$ pro vhodná $d_1, \dots, d_n$. Definujme $y(t) := d_1 x^1(t) + \dots + d_n x^n(t)$, tedy $y$ řeší rovnici $y' = Ay$ a $y(t_0) = z(t_0)$, z čehož díky jednoznačnosti řešení dostáváme $y = z$. Tudíž jsme nalezli $n$-prvkovou bázi, tedy prostor $\mathcal{R}_H$ má dimenzi $n$.
+	Jádro lineárního zobrazení $Lx := x' - Ax$ je vektorový prostor. Dokážeme, že má dimenzi $n$. Nechť $i = 1,\dots,n$ a $x(t_0) = e_i$, pro tuto počáteční podmínku dostaneme řešení $x^i$. Potom $\{x^1, \dots, x^n\}$ tvoří bázi prostoru všech řešení. Skutečně, tyto vektory jsou lineárně nezávislé, mějme lineární kombinaci $c_1 x^1 + \dots + c_n x^n = 0$, speciálně v čase $t_0$ máme $c_1 e^1 + \dots + c_n x^n$, což implikuje, že $c_i = 0$ pro každé $i$. Navíc vezmeme libovolné řešení $z' = A(t) z$, opět zkoumejme stav v čase $t_0$. Máme $z(t_0) = d_1e^1 + \dots d_ne^n$ pro vhodná $d_1, \dots, d_n$. Definujme $y(t) := d_1 x^1(t) + \dots + d_n x^n(t)$, tedy $y$ řeší rovnici $y' = Ay$ a $y(t_0) = z(t_0)$, z čehož díky jednoznačnosti řešení dostáváme $y = z$. Nalezli jsme $n$-prvkovou bázi, tedy prostor $\mathcal{R}_H$ má dimenzi $n$.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}