opravy preklepu

linearni-rovnice-konst-koef.tex

@@ -69,7 +69,7 @@ Z obecného tvaru řešení dostáváme, že $x(t) = \Phi(t) \Phi^{-1}(t_0) x_0$
 	$$ x(t) = e^{(t - t_0)A}x_0 + \int_{t_0}^t e^{(t - s)A} g(s) ds. $$
 \end{corollary}
 
-Další otázka, kterou se budeme zabývat je hledání maticové exponenciály. K tomu použijeme takzvaný Jordanův kanonický tvar matice.
+Další otázka, kterou se budeme zabývat, je hledání maticové exponenciály. K tomu použijeme takzvaný Jordanův kanonický tvar matice.
 
 \begin{theorem}
 	Nechť $A \in \R^{n \times n}$, $J$ její Jordanův kanonický tvar, $A = VJV^{-1}$ a $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ je diagonála $J$. Potom $e^{tA} = Ve^{tJ}V^{-1}$, kde matici $e^{tJ}$ definujeme jako $diag(e^{t\lambda_1}, \dots, e^{t\lambda_n})$, přičemž $P(t)$ je blokově diagonální matice se stejně velkými a stejně uspořádanými bloky jako $J$ a blok velikosti $k$ matice $P(t)$ je roven

linearni-rovnice.tex

@@ -60,9 +60,9 @@ V přednášce MA3 jste již studovali tento typ rovnic, teď se však budeme v
 
 	Předpokládejme, že řešení není definované na celém $(a, b)$. Potom existují $\alpha, \beta \in (a, b)$ takové, že řešení je definováno na $(\alpha, \beta)$. Toto řešení musí opustit každý kompakt, tedy mimo jiné i $K = [t_0, \beta]\times \overline{B(0, R)}$, kde $R$ je dostatečně velké.
 	Řešení $x$ splňuje 
-	$$ |x(t)| \leq |x(t_0)| \int_{t_0}^t \| A(s)\| |x(s)| + |g(s)| ds \overset{\begin{subarray}{c}\|A(s)\| \leq L\\|g(s)| \leq \tilde{C}\end{subarray}}{\leq} C + \int_{t_0}^t L|x(s)|C| ds \leq $$
+	$$ |x(t)| \leq |x(t_0)| + \int_{t_0}^t (\| A(s)\| |x(s)| + |g(s)|) ds \overset{\begin{subarray}{c}\|A(s)\| \leq L\\|g(s)| \leq \tilde{C}\\|x(t_0)|=C\end{subarray}}{\leq} C + \int_{t_0}^t (L|x(s)| + \tilde C) ds \leq $$
 	Z Gronwallova lemmatu dostaneme
-	$$ \leq \tilde{C} + C(\beta - t_0) + \int_{t_0}^t L|x(s)| ds \implies |x(t)| \leq \underbrace{[\tilde{C} + C(\beta - t_0) e^{L(\beta - t_0}]}_{R}. $$
+	$$ \leq C + \tilde{C}(\beta - t_0) + \int_{t_0}^t L|x(s)| ds \implies |x(t)| \leq \underbrace{C + \tilde C(\beta - t_0) e^{L(\beta - t_0)}}_{R}. $$
 	Došli jsme ke sporu s Větou \ref{thm-leaving-compact}, neboť řešení $x$ nemůže opustit kompakt $K$.
 \end{proof}
 
@@ -83,7 +83,7 @@ Použijeme znalosti lineární algebry k tomu, abychom mohli formalizovat postup
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Jádro lineárního zobrazení $Lx := x' - Ax$ je vektorový prostor. Dokážeme, že má dimenzi $n$. Nechť $i = 1,\dots,n$ a $x(t_0) = e_i$, pro tuto počáteční podmínku dostaneme řešení $x^i$. Potom $\{x^1, \dots, x^n\}$ tvoří bázi prostoru všech řešení. Skutečně, tyto vektory jsou lineárně nezávislé, mějme lineární kombinaci $c_1 x^1 + \dots + c_n x^n = 0$, speciálně v čase $t_0$ máme $c_1 e^1 + \dots + c_n x^n$, což implikuje, že $c_i = 0$ pro každé $i$. Navíc vezmeme libovolné řešení $z' = A(t) z$, opět zkoumejme stav v čase $t_0$. Máme $z(t_0) = d_1e^1 + \dots d_ne^n$ pro vhodná $d_1, \dots, d_n$. Definujme $y(t) := d_1 x^1(t) + \dots + d_n x^n(t)$, tedy $y$ řeší rovnici $y' = Ay$ a $y(t_0) = z(t_0)$, z čehož díky jednoznačnosti řešení dostáváme $y = z$. Tudíž jsme nalezli $n$-prvkovou bázi, tedy prostor $\mathcal{R}_H$ má dimenzi $n$.
+	Jádro lineárního zobrazení $Lx := x' - Ax$ je vektorový prostor. Dokážeme, že má dimenzi $n$. Nechť $i = 1,\dots,n$ a $x(t_0) = e_i$, pro tuto počáteční podmínku dostaneme řešení $x^i$. Potom $\{x^1, \dots, x^n\}$ tvoří bázi prostoru všech řešení. Skutečně, tyto vektory jsou lineárně nezávislé, mějme lineární kombinaci $c_1 x^1 + \dots + c_n x^n = 0$, speciálně v čase $t_0$ máme $c_1 e^1 + \dots + c_n x^n$, což implikuje, že $c_i = 0$ pro každé $i$. Navíc vezmeme libovolné řešení $z' = A(t) z$, opět zkoumejme stav v čase $t_0$. Máme $z(t_0) = d_1e^1 + \dots d_ne^n$ pro vhodná $d_1, \dots, d_n$. Definujme $y(t) := d_1 x^1(t) + \dots + d_n x^n(t)$, tedy $y$ řeší rovnici $y' = Ay$ a $y(t_0) = z(t_0)$, z čehož díky jednoznačnosti řešení dostáváme $y = z$. Nalezli jsme $n$-prvkovou bázi, tedy prostor $\mathcal{R}_H$ má dimenzi $n$.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}

prvni-integral.tex

@@ -8,7 +8,7 @@ V celé této kapitole budeme uvažovat autonomní rovnici
 pro $f$ spojitou a lokálně lipschitzovskou.
 
 \begin{definition}
-	Funkci $U: \Omega \to \R$ nazveme \textit{prvním integrálem} rovnice \eqref{eq-auto}, jestliže $U \in C^1(\Omega)$ a je nekonstantní a zároveň $t \to U(x(t))$ je konstantní pro každé řešení $x$ dané rovnice v $\Omega$.
+	Funkci $U: \Omega \to \R$ nazveme \textit{prvním integrálem} rovnice \eqref{eq-auto}, jestliže $U \in C^1(\Omega)$ a je nekonstantní a zároveň $t \mapsto U(x(t))$ je konstantní pro každé řešení $x$ dané rovnice v $\Omega$.
 \end{definition}
 
 Například, máme-li rovnici $x'' + kx = 0$ (lze pomocí ní popsat kmitání pružiny s hybností $k > 0$), funkce $V(x', x) = \frac{1}{2}x'^2 + \frac{k}{2} x^2$ je jejím prvním integrálem, neboť tato funkce je zřejmě hladká a nekonstantní a

stabilita.tex

@@ -1,15 +1,15 @@
 \section{Stabilita}
 
-Lemma \ref{lemma-sol-dist} nám teoreticky poskytuje spojitost řešící funkce v proměnné $x_0$, pro větší $t$ však kvůli exponenciálnímu růstu nemá význam. Budeme proto zkoumat okolnosti, za nichž existují odhady, které se nezhoršují pro $t \in \infty$.
+Lemma \ref{lemma-sol-dist} nám teoreticky poskytuje spojitost řešící funkce v proměnné $x_0$, pro větší $t$ však kvůli exponenciálnímu růstu nemá význam. Budeme proto zkoumat okolnosti, za nichž existují odhady, které se nezhoršují pro $t \to \infty$.
 
 \begin{definition}
-	Nechť $f = f(x, t)$ je spojitá v otevřené $\Omega \in \R^{n+1}$ a navíc lokálně lipschitzovská vůči $x$. Nechť $\Omega \supset \{0\} \times I$ kde $I = (\tau, \infty)$ a nechť $f(0, t) = 0$ pro všechna $t \in I$. Řekneme, že nulové řešení rovnice $x' = f(t, x)$ \eqref{eq-ode} je
+	Nechť $f = f(x, t)$ je spojitá v otevřené $\Omega \in \R^{n+1}$ a navíc lokálně lipschitzovská vůči $x$. Nechť $\Omega \supset \{0\} \times I$ kde $I = (\tau, \infty)$ a nechť $f(0, t) = 0$ pro všechna $t \in I$. Řekneme, že nulové řešení rovnice \eqref{eq-ode} ($x' = f(t, x)$) je
 	\begin{enumerate}[(i)]
-		\item \textit{stabilní}, jestliže pro všechna $t_0 \in I$ a $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že $|x_0| < \delta$ implikuje, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno a splňuje $|\varphi(t, t_0, x_0)| < \varepsilon$ pro $t \geq t_0$;
+		\item \textit{stabilní}, jestliže pro všechna $t_0 \in I$ a $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že pro $|x_0| < \delta$ platí, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno a splňuje $|\varphi(t, t_0, x_0)| < \varepsilon$ pro libovolné $t \geq t_0$;
 		\item \textit{nestabilní}, jestliže není stabilní;
-		\item \textit{lokální atraktor}, jestliže $\forall t_0 \in I$ existuje $\eta > 0$ tak, že $|x_0| < \eta$ implikuj, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno pro všechna $t \geq t_0$ a navíc $\varphi(t, t_0, x_0) \to 0$ pro $t \to +\infty$;
+		\item \textit{lokální atraktor}, jestliže $\forall t_0 \in I$ existuje $\eta > 0$ tak, že pro $|x_0| < \eta$ je definován výraz $\varphi(t, t_0, x_0)$ pro všechna $t \geq t_0$ a navíc $\varphi(t, t_0, x_0) \to 0$ pro $t \to +\infty$;
 		\item \textit{asymptoticky stabilní}, jestliže je stabilní a navíc lokální atraktor;
-		\item \textit{uniformně stabilní}, jestliže pro všechna $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že pro všechna $t_0 \in I$ z $|x_0| < \delta$ plyne $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno a splňuje $|\varphi(t, t_0, x_0)| < \varepsilon$ pro $t \geq t_0$;
+		\item \textit{uniformně stabilní}, jestliže pro všechna $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že pro všechna $t_0 \in I$ z $|x_0| < \delta$ plyne, že výraz $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definován a splňuje $|\varphi(t, t_0, x_0)| < \varepsilon$ pro $t \geq t_0$;
 		\item \textit{uniformě asymptoticky stabilní}, jestliže je uniformně stabilní a navíc existuje $\eta < 0$ takové, že $\forall \varepsilon > 0$ existuje $T > 0$ takové, že pro všechna $t_0 \in I$ z $|x_0| < \eta$ plyne, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno pro všechna $t \geq t_0$ a $|\varphi(t, t_0, x_0)| \leq \varepsilon|$ pro $t \geq t_0 + T$.
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -17,7 +17,7 @@ Lemma \ref{lemma-sol-dist} nám teoreticky poskytuje spojitost řešící funkce
 Pojem asymptotické stability zavádíme proto, že lokální atraktor nutně nemusí implikovat stabilitu. Konstrukci takového řešení můžeme nahlédnout pomocí tzv. Vinogradovova systému.
 V případě autonomní rovnice splývají pojmy (asymptotické) stability a uniformní (asymptotické) stability, neboť můžeme psát $\varphi(t, t_0, x_0) = \varphi(t - t_0, 0, x_0)$.
 
-Obecněji řešeno, řešení $\tilde x(t)$ rovnice $x' = f(x, t)$ se nazve stabilní (resp. uniformně stabilní atd.), jestliže má analogickou vlastnost nulové řešení rovnice $u' = g(u, t)$ kde $g(u, t) = f(\tilde x(t) + u, t) - f(\tilde x(t), t)$.
+Obecněji řečeno, řešení $\tilde x(t)$ rovnice $x' = f(x, t)$ se nazve stabilní (resp. uniformně stabilní atd.), jestliže má analogickou vlastnost nulové řešení rovnice $u' = g(u, t)$ kde $g(u, t) = f(\tilde x(t) + u, t) - f(\tilde x(t), t)$.
 
 V případě řešení lineární rovnice \eqref{eq-linear-ode}, tj. $x' = A(t)x + g(t)$ je stabilita ekvivalentní stabilitě libovolného řešení příslušné homogenní rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode}.
 
@@ -62,7 +62,7 @@ Matice $A$ splňující $\Re \lambda < 0$ pro všechna $\lambda \in \sigma(A)$ s
 	Jinými slovy,
 	$$ \|x(t)\| e^{t\alpha} \leq ce^{t_0\alpha} \|x_0\| + \int_{t_0}^t ce^{-(t-s)\alpha} \gamma \|x(s)\| ds. $$
 	Z Gronwallova lemmatu (Lemma \ref{lemma-gronwall}) dostáváme
-	$$ e^{t\alpha} \| x(t) \| \leq ce^{t_0\alpha} \|x_0\| e^{c\gamma(t - t_0}. $$
+	$$ e^{t\alpha} \| x(t) \| \leq ce^{t_0\alpha} \|x_0\| e^{c\gamma(t - t_0)}. $$
 	Po opětovném přenásobení exponenciálou nakonec máme
 	$$ \|x(t)\| \leq c \|x_0\| e^{(t - t_0)(c\gamma - \alpha)} = ce^{-\beta(t - t_0)} \| x_0 \|. $$
 \end{proof}
@@ -84,7 +84,7 @@ Matice $A$ splňující $\Re \lambda < 0$ pro všechna $\lambda \in \sigma(A)$ s
 	Použijeme seřezávací funkci
 	$$\eta(t) = \begin{cases}1, t < \frac{\delta}{2};\\
 		0, t > \delta;\\
-		\textit{spojité prodloužení na }(\frac{\delta}{2}, \delta).
+		\text{spojité prodloužení na }(\frac{\delta}{2}, \delta).
 	\end{cases}.$$
 	Dále definujeme $h(x) := \eta(\|x\|)g(x)$. Podíváme se na rovnici $x' = Ax + h(x)$. Pro $\|x\| < \frac{\delta}{2}$ platí $h(x) = g(x)$, dále pro $\|x\| > \delta$ je $h(x)$ nulová a nakonec pro $\|x\| \in [\frac{\delta}{2}, \delta]$ platí $\|h(x)\| \leq \|g(x)\|$. Tato porušená rovnice již splňuje předpoklad Lemmatu \ref{lemma-sol-eq-est}. Aplikací tohoto lemmatu dostáváme odhad na řešení této porušené rovnice.
 	$$\|x(t)\| \leq c\|x(t_0)\| e^{-\beta(t - t_0)}, \beta > 0. $$
@@ -93,7 +93,7 @@ Matice $A$ splňující $\Re \lambda < 0$ pro všechna $\lambda \in \sigma(A)$ s
 
 \begin{theorem}[o linearizované nestabilitě]
 	\label{thm-linearized-instability}
-	Je dána rovnice $x' = f(x)$. Nechť $f(x_0) = 0$ a $f(x)$ je $C^1$ na okolí $x_0$ a nechť existuje vlastní číslo $\lambda \in \sigma(A)$ takové, že $\Re\lambda > 0$, kde $A = \nabla f(x_0)$. Potom $x_0$ je (uniformně) asymptoticky stabilní.
+	Je dána rovnice $x' = f(x)$. Nechť $f(x_0) = 0$ a $f(x)$ je $C^1$ na okolí $x_0$ a nechť existuje vlastní číslo $\lambda \in \sigma(A)$ takové, že $\Re\lambda > 0$, kde $A = \nabla f(x_0)$. Potom $x_0$ není stabilní.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}