dukaz vety 9.6 + opravy

ljapunovske-funkce.tex

@@ -89,6 +89,42 @@ Na závěr si uvedeme větu, která nám poskytuje několik možných charakteri
 	\end{enumerate}
 \end{theorem}
 
+\begin{proof}
+	Ekvivalence mezi body (i), (ii) a (iii) byla již dokázána ve Větách \ref{thm-stable-hurwitz}, \ref{thm-stable-fundamental} (iv) a větách o tvaru maticové exponenciály.
+
+	Dokážeme, že z (iii) plyne (iv). Definujeme $B := \int_0^{\infty} e^{tA^T} e^{tA} dt$. Platí $e^{tA^T} = (e^{tA})^T, (A^T)^k = (A^k)^T$, proto
+	$$e^{tA^T} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} (A^T)^k = \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}A^k\right)^T. $$
+	Dále pro $\alpha > 0$ z vlastnosti (iii) můžeme psát $\|e^{tA^T}\| = \|e^{tA}\| \leq ce^{-t\alpha}$,
+	proto
+	$$ \| e^{tA^T} e^{tA} \| \leq ce^{-\alpha t} \cdot ce^{-\alpha t} = c^2 e^{-2\alpha t}, $$
+	tedy integrál v definici matice $B$ je dobře definovaný.
+
+	Ukážeme, že $B$ je symetrická a pozitivně definitní. Platí
+	\begin{align*}
+		B^T &= \left( \int_0^\infty e^{tA^T} e^{tA} dt \right)^T = \int_0^\infty (e^{tA^T}e^{tA})^T dt = \\
+		&= \int_0^\infty (e^{tA})^T (e^{tA^T})^T dt = \int_0^\infty e^{tA^T}e^{tA} dt = B.
+	\end{align*}
+	Dále $B$ splňuje
+	\begin{align*}
+		\inner*{Bx, x} &= \inner*{\int_0^\infty e^{tA^T}e^{tA} dt x, x} = \int_0^\infty \inner*{e^{tA^T}e^{tA}x, x} dt \\
+		&= \int_0^\infty \inner*{e^{tA}x, e^{tA}x} dt = \int_0^\infty \|e^{tA}x\|^2 dt > 0,
+	\end{align*}
+	kde kladnost tohoto výrazu plyne z toho, že $\|e^{tA}x\|$ je nenulové pro $x \neq 0$.
+
+	Zbývá dokázat, že $B$ splňuje rovnost $A^T B + BA = -I$. Skutečně, můžeme psát
+	\begin{align*}
+		A^T B &= A^T \int_0^\infty e^{tA^T}e^{tA}dt = \int_0^\infty \odv*{e^{tA^T}}{t}e^{tA} dt \overset{\text{per partes}}=\left[ e^{tA^T} e^{tA} \right]^\infty_0 \\ &- \int_0^\infty e^{tA^T} \odv*{e^{tA}}{t} dt = 0 - I - \int_0^\infty e^{tA^T}e^{tA}dt A = -I - BA.
+	\end{align*}
+
+	Pro důkaz implikace (iv) $\implies$ (i), ukážeme, že $V(x, t) := \inner*{Bx, x}$ je ljapunovská funkce splňující podmínku z Věty \ref{thm-asymptotic-ljapunov}. Jelikož chceme, aby platilo $\omega(x) \leq V(x, t) \leq \lambda(x)$, stačí volit $\lambda(x) = \omega(x) = \inner*{Bx, x}$. Nalezneme vhodnou funkci $\eta$ tak, aby $\odv*{V(x(t), t)}{t} \leq -\eta(x)$. Díky vlastnostem skalárního součinu platí
+	\begin{align*}
+		\odv*{\inner*{Bx(t), x(t)}}{t} &= \inner*{Bx'(t), x(t)} + \inner*{Bx(t), x'(t)} = \\
+		&= \inner*{BAx(t), x(t)} + \inner*{Bx(t), Ax(t)} = \\
+		&= \inner*{(BA + A^TB)x(t), x(t)} = -\|x(t)\|^2.
+	\end{align*}
+	Stačí tedy volit $\eta(x) = \|x\|^2$, a tedy dle výše zmíněné Věty \ref{thm-asymptotic-ljapunov} je naše úloha asymptoticky stabilní.
+\end{proof}
+
 Poslední rovnosti se běžně říká \textit{Ljapunovova rovnice}. Dále z bodu (iv) plyne, že $V(x) = x\cdot Bx$ je ljapunovskou funkcí rovnice $x' = Ax$, pomocí níž můžeme sepsat alternativní důkaz věty o linearizované stabilitě (Věta \ref{thm-linearized-stability}).
 
 \hfill \textit{konec 11. přednášky (9.5.2025)}