prednaska 14.3.2025

maximalni-reseni.tex

@@ -46,7 +46,8 @@ V případě $f$ lipschitzovské se důkaz dá výrazně zjednodušit. Budeme uv
 
 Na závěr si uvedeme jednu důležitou větu, která nám poskytne představu o tom, jak vypadají maximální řešení diferenciálních rovnic.
 
-\begin{theorem}[o opuštění kompaktu]
+\begin{theorem}[Opuštění kompaktu]
+	\label{thm-leaving-compact}
 	Nechť $K \subset \Omega$ je kompaktní, nechť $(x, I)$ je maximální řešení rovnice \eqref{eq-ode} splňující $(x(t_0), t_0) \in K$ pro nějaké $t_0 \in I$. Potom existují $t_1 > t_0 > t_2$ taková, že $(x(t_1), t_1) \notin K$ a $(x(t_2), t_2) \notin K$.
 \end{theorem}
 

zavislost-na-podmince.tex

@@ -17,3 +17,75 @@
 \end{proof}
 
 \hfill \textit{konec 3. přednášky (7.3.2025)}
+
+\begin{lemma}
+	\label{lemma-sol-dist}
+	Nechť $f$ je globálně $L$-lipschitzovská v $\Omega$ vzhledem k $x$. Potom pro libovolná dvě řešení $(x, I), (y, J)$ v $\Omega$ a body $t, t_0 \in I \cap J$ platí
+	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq \| x(t_0) - y(t_0) \| \exp(L|t - t_0|). $$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Můžeme psát
+	$$ \| x(t) - y(t) \| = \| x(t_0) + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (y(t_0) + \int_{t_0}^t f(y(s), s) ds) \| \leq $$
+	$$ \| x(t_0) - y(t_0) \| + \| \int_{t_0}^t \left| f(x(s), s) - f(y(s), s) \right| ds \| \leq $$
+	$$ \| x(t_0) - y(t_0) \| + \| \int_{t_0}^t L | x(s) - y(s) | ds.$$
+
+	Poté z Gronwallova lemmatu dostáváme, že
+	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq K e^{|\int_{t_0}^t L ds|} = K e^{|t - t_0| L}, $$
+	kde funkci $w(s)$ ze znění lemmatu odpovídá výraz $\|x(s) - y(s)\|$.
+\end{proof}
+
+Jednoduchým důsledkem tohoto lemmatu je mj. jednoznačnost řešení (stačí uvažovat řešení s $x(t_0) = y(t_0)$).
+
+\begin{definition}
+	Nechť $f$ je spojitá a lokálně lipschitzovská vzhledem k $x$ v $\Omega$. Potom definujeme \textit{řešicí funcki} $\varphi : G \subset \mathbb{R}^{n + 2} \rightarrow \mathbb{R}^n$ předpisem $\varphi(t; t_0, x_0) := x(t)$, kde $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ je řešení splňující počáteční podmínku $x(x_0) = t_0$ a $t \in I$. Zde $G$ je maximální možná, tj. obsahuje všechny trojice $(t; t_0, x_0) \in \mathbb{R}^{n + 2}$ pro něž výraz $\varphi(t; t_0, x_0)$ má smysl.
+\end{definition}
+
+Například, uvažujeme-li rovnici $x'(t) = x(t)$. Obecným řešením této rovnice je funkce $x(t) = ce^t$, vyřešením rovnice s počáteční podmínkou dostaneme řešicí funkci $\varphi(t; t_0, x_0) = x_0e^{t - t_0}$.
+
+\begin{theorem}
+	Množina $G$ z předchozí definice je otevřená a $\varphi$ je spojitá na $G$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Intermezzo: otevřenost $G$ znamená, že pro každé $(x_0, t_0) \in \Omega$ a $t$ existuje $r > 0$ takové, že pokud $\| (y_0, s_0) - (t_0, x_0) \|$, potom řešení $y$ procházející bodem $(y_0, s_0)$ je definované v bodech $(t - r, t + r)$, spojitost pak odpovídá tomu, že toto řešení bude po celou dobu ``blízko" toho původního.
+
+	Bez újmy na obecnosti nechť $t_0 > t$. Vezměme $(t; t_0, x_0) \in G$, buď $x$ maximální řešení s počáteční podmínkou $x(t_0), x$. Pak $[t_0, t] \subset D_x$ (řešení je definováno na celém tomto intervalu). Vezměme $\delta > 0$ tak malé, aby $[t_0, t + 2\delta] \subset D_x$ a zároveň $K_\delta := \{ (y, s) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : s \in [t_0 - \delta, t + \delta] \land |y - x(s)| \leq \delta \} \subset \Omega$. Takto definovaná množina $K_\delta$ je kompaktní a tedy $f$ je na $K_\delta$ omezená konstantou $c_0$ (spojitá funkce na kompaktu) díky čemuž z lokální lipschitzovskosti plyne globální $L$-lipschitzovskost vzhledem k $x$.
+
+	Dokážeme, že řešení ``blízko" toho původního neopustí ``rouru" $K_\delta$. Zvolme $\varepsilon > 0$ takové, aby $\varepsilon < \frac{\delta}{2(1 + c_0)e^{L(t - t_0 + 2\delta)}}$. Vezměme $y_0, s_0$ tak, aby $|s_0 - t_0| < \varepsilon$, $|x_0 - y_0| < \varepsilon$. Dále vezmeme $y$ maximální řešení s podmínkou $y(s_0) = y_0$. Chceme dokázat, že $y$ je definované aspoň na intervalu $[s_0, t + \delta]$ a platí $|y(s) - x(s)| \leq \delta$ pro všechna $s \in [s_0, t + \delta]$.
+
+	Můžeme psát
+	$$ |y(s_0) - x(s_0)| \leq |y(s_0) - x(t_0)| + |x(t_0) - x(s_0)| \leq $$
+	$$ |y_0 - x_0| + |x'(\xi)| |t_0 - s_0| \leq (1 + C_0) \varepsilon, $$
+	kde $\xi$ je konstanta z Lagrangeovy věty, která ve vícerozměrném prostoru platí pouze jako neostrá nerovnost.
+
+	Dále odhadujme (použijeme Lemma \ref{lemma-sol-dist})
+	$$ |y(s) - x(s)| \leq |y(s_0) - x(s_0)| e^{L|s - s_0|} \leq (1 + C_0) \varepsilon e^{L|s - s_0|} \leq (1+C_0)\varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta)}, $$
+	kde uvažujeme pouze body $s$, pro které existuje $y(s)$ a $y$ leží v $K_\delta$ na $[s_0, s]$. Z volby $\varepsilon$ dostáváme navíc
+	\begin{equation}
+		\label{eq-estimate-thm-sol-fun}
+		|y(s) - x(s)| \leq (1 + C_0) \varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta} < \frac{\delta}{0}.
+	\end{equation}
+
+	Maximální řešení $y$ opustí kompakt (Věta \ref{thm-leaving-compact}) $K_\delta$ někde za časem $s_0$. Označme $\gamma$ čas prvního opuštění (přesněji řečeno infimum všech časů, kdy to už není v tom kompaktu). Na intervalu $[s_0, \gamma]$ platí odhad \eqref{eq-estimate-thm-sol-fun}, tedy $|y(\gamma) - x(\gamma)| < \frac{\delta}{2}$, z čehož máme $\gamma = t + \delta$, to znamená, že kompakt nemůžeme opustit jinak než za časem $t$. Tím jsme dokázali otevřenost $G$.
+
+	Dokážeme spojitost $\varphi$ na $G$. Vezměme dva body $(t; t_0, x_0)$ a $(s; s_0, y_0)$ jako minule a uvažujme rozdíl
+	$$ | \varphi(t;t_0, x_0) - \varphi(s, s_0, y_0) | \leq |\varphi(t; t_0, x_0) - \varphi(s; t_0, x_0)| + $$
+	$$|\varphi(s; t_0, x_0) - \varphi(s; s_0, y_0)| \leq |x(t) - x(s)| + |x(s) - y(s)| \leq $$
+	$$ C_0(t - s) + |x(s_0) - y(s_0)e^{L|s - s_0|}| \leq C_0|t - s| + (1 + C_0)e^{L|s - s_0|} |x_0 - y_0|,$$
+	čímž jsme ukázali lipschitzovskost, a tedy spojitost $\varphi$ na $G$.
+\end{proof}
+
+Z hlediska praktických aplikací často uvažujeme rovnici \eqref{eq-ode} ve tvaru $x' = f(x, t, \lambda)$ závislém na hodnotě parametru $\lambda$. Přidejme druhou rovnici $\lambda' = 0$ a počáteční podmínky $x(t_0) = 0$ a $\lambda(t_0) = \lambda_0$, čímž jsme závislost na parametru převedli na závislost na počáteční podmínce (v případě, že $f$ je závisí na $\lambda$ lipschitzovsky).
+
+Označme pro účely následující věty $\pdv{}{w}$ derivaci ve směru $w \in \mathbb{R}^n$ dle proměnné $x_0$.
+
+\begin{theorem}
+	Nechť $f \in C_x^1(\Omega), w \in \mathbb{R}^n$. Potom $\pdv{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$ existuje v každém bodě $G$. Označíme-li $x(t) = \varphi(t, t_0, x_0)$ a $u(t) = \pdv{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$, pak funkce $u$ je řešením rovnice ve variacích
+	\begin{equation}
+		\label{eq-thm-diff-dep}
+		u' = \nabla_x f(x(t), t)u, u(t_0) = w.
+	\end{equation}
+\end{theorem}
+
+\hfill \textit{konec 4. přednášky (14.3.2025)}