prednaska 2.5.2025

prvni-integral.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+\section{První integrál}
+
+V celé této kapitole budeme uvažovat autonomní rovnici
+\begin{equation}
+	\label{eq-auto}
+	x' = f(x)
+\end{equation}
+pro $f$ spojitou a lokálně lipschitzovskou.
+
+\begin{definition}
+	Funkci $U: \Omega \to \R$ nazveme \textit{prvním integrálem} rovnice \eqref{eq-auto}, jestliže $U \in C^1(\Omega)$ a je nekonstantní a zároveň $t \to U(x(t))$ je konstantní pro každé řešení $x$ dané rovnice v $\Omega$.
+\end{definition}
+
+Například, máme-li rovnici $x'' + kx = 0$ (lze pomocí ní popsat kmitání pružiny s hybností $k > 0$), funkce $V(x', x) = \frac{1}{2}x'^2 + \frac{k}{2} x^2$ je jejím prvním integrálem, neboť tato funkce je zřejmě hladká a nekonstantní a
+$$ \odv*{V(x'(t), x(t))}{t} = x'\cdot x'' + kxx' = x'(x'' + kx) = 0. $$
+
+\begin{theorem}[Charakterizace prvních integrálů pomocí orbitálních derivací]
+	\label{thm-first-integral}
+	Buď $\Omega \subset \R^n$ otevřená, $f: \Omega \to \R^n$ spojitá a $U: \Omega \to \R$ je třídy $C^1$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item Pro všechna řešení $x$ rovnice \eqref{eq-auto} je $t \mapsto U(x(t))$ konstantní;
+		\item $\nabla U(\xi)f(\xi) = 0$ pro všechna $\xi \in \Omega$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	(ii) $\implies$ (i): Přímým výpočtem dostaneme $\odv*{U(x, t)}{t} = \nabla U(x(t)) \cdot x'(t) = \nabla U(x(t))f(x(t)) = 0$.
+
+	(i) $\implies$ (ii): Mějme bod $\xi \in \Omega$. Dle Peanovy věty (Věta \ref{thm-peano}) bodem $\xi$ prochází nějaké řešení $x$ takové, že $x(0) = \xi$. Z toho již dostáváme, že $\nabla U(\xi) \cdot f(\xi) = \odv*{U(x(t))}{t}_{t=0} = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	První integrály $U_1, \dots, U_k$ jsou \textit{lineárně nezávislé} v bodě $x_0$, jestliže matice $\pdv{U_i}{x_j}_{i=1,\dots,k}^{j=1,\dots,n}$ má v tomto bodě hodnost $k$.
+\end{definition}
+
+Je dobré si uvědomit, že prvních integrálů, které jsou lineárně nezávislé v bodě $x_0$, může být nejvýše $n - 1$, což plyne z Věty \ref{thm-first-integral}, a to tak, že pro každý první integrál platí $\nabla U_i(x_0) \perp f(x_0) \neq 0$ a v prostoru dimenze $n$ existuje přesně $n - 1$ lineárně nezávislých vektorů kolmých na daný vektor.
+
+Metodu prvních integrálů budeme používat k redukci počtu rovnic v soustavách ODR. Skutečně, mějme soustavu
+$$ \begin{brace}x' = f(x, y)\\y' = g(x, y)\end{brace},$$
+a nechť $V(x, y) = K$ je její první integrál. Ve většině případů z toho můžeme vyjádřit $x$ jakožto funkci $x = h(y, K)$, což po dosazení do druhé rovnice nám dává
+$$ y' = g(h(y, K), y), $$
+čímž jsme zredukovali počet rovnic na jednu. K přesné formulaci právě popsaného postupu použijeme následující větu.
+
+\begin{theorem}[O snížení řádu]
+	\label{thm-first-int-solution}
+	Nechť $U_1, \dots, U_k$ jsou první integrály \eqref{eq-auto} lineárně nezávislé v bodě $x_0$. Potom řešení procházející bodem $x_0$ lze \textit{lokálně} popsat pomocí $(n - k)$ rovnic $z' = g(z)$, $z \in \R^{n-k}$, $g: \R^{n-k} \to \R^{n-k}$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Označme $K_i = U_i(x_0)$ a $\Gamma = \{x \in \R^n: U_i(x) = K_i \text{ pro } i = 1,\dots,k\}$. Víme, že $\nabla U_1(x_0), \dots \nabla U_k(x_0)$ jsou lineárně nezávislé vektory, to znamená, že matice $\pdv{U_i}{x_j}_{i=1,\dots,k}^{j=1,\dots,n}$ má $k$ lineárně nezávislých sloupců. Bez újmy na obecnosti nechť toto jsou sloupce $1, \dots, k$. Označme $x = (x_1, \dots, x_k, y)$, kde $x \in \R^n$ a pro $y \in \R^{n-k}$ platí $y = (x_{k+1}, \dots, x_n)$.
+
+	Jelikož matice $\pdv{U_i}{x_j}_{i=1,\dots,k}^{j=1,\dots,k}$ je regulární, díky větě o implicitních funkcích existují konstanty $\delta, \Delta > 0$ takové, že pro každé $y$ z $\delta$-okolí bodu $x_0$ existuje právě jedna $k$-tice $(x_1, \dots, x_k)$ z $\Delta$-okolí $x_0$ (uvažujeme restrikci na prvních $k$ souřadnic) taková, že platí $U_i(x_1, \dots, x_k, y) = K_i$ pro všechna $i = 1, \dots, k$. Pokud příslušnou $k$-tici označíme jako $(\varphi_1(y), \dots, \varphi_k(y))$, potom funkce $\varphi$ je třídy $C^1$.
+
+	Z výše uvedeného dostáváme, že pokud $(x_1(t), \dots, x_n(t))$ je řešení rovnice \eqref{eq-auto}, potom pro $i \geq k + 1$ platí
+	$$ x_i'(t) = f_i(x_1(t), \dots, x_n(t)) = f_i(\varphi_1(y(t)), \dots, \varphi_k(y(t)), y(t)) =: \tilde f_i(y(t)). $$
+
+	Tímto jsme získali požadovanou soustavu rovnic
+	$$ (x_{k+1}', \dots, x_n') = y' = \tilde f(y(t)), \tilde f: \R^{n-k} \to \R^{n-k}.$$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[Existence lineárně nezávislých prvních integrálů]
+	Nechť $f \in C^1(\Omega)$, $f(x_0) \neq 0$. Potom má rovnice $x' = f(x)$ na okolí $x_0$ $(n - 1)$ prvních integrálů, které jsou lineárně nezávislé v bodě $x_0$.
+\end{theorem}
+
+Právě vybudovanou teorii můžeme využít k aplikaci takzvané metody charakteristik, což je matematický aparát, který nám umožňuje přecházet mezi autonomními ODR a jistou třídou lineárních parciálních diferenciálních rovnic (podrobnosti viz přednáška Úvod do parciálních diferenciálních rovnic\footnote{pokud ji zrovna učí někdo příčetný}).
+
+\hfill \textit{konec 10. přednášky (2.5.2025)}

skripta.tex

@@ -47,5 +47,6 @@
 \include{linearni-rovnice}
 \include{linearni-rovnice-konst-koef}
 \include{stabilita}
+\include{prvni-integral}
 
 \end{document}

stabilita.tex

@@ -144,3 +144,9 @@ Matice $A$ splňující $\Re \lambda < 0$ pro všechna $\lambda \in \sigma(A)$ s
 \end{proof}
 
 \hfill \textit{konec 9. přednášky (25.4.2025)}
+
+Na závěr této kapitoly si uvedeme jednu větu bez důkazu, která se hodí k vyšetřování stability na okolí stacionárních bodů.
+
+\begin{theorem}[Hartman-Grobman]
+	Uvažujme autonomní rovnici $x' = f(x)$. Nechť $x_0$ je hyperbolický stacionární bod této rovnice (tedy $\sigma(\nabla f(x_0)) \cap i\R = \emptyset$). Pak existuje okolí $U$ bodu $x_0$ a okolí $V$ bodu $0 \in \R^n$ a homeomorfismus $\phi: U \to V$ při kterém se řešení rovnice $x' = f(x)$ zobrazí na řešení rovnice $x' = Ax$, kde $A = \nabla f(x_0)$.
+\end{theorem}