oprava preklepu v dukazu vety

zavislost-na-podmince.tex

@@ -50,7 +50,7 @@ Například, uvažujeme-li rovnici $x'(t) = x(t)$. Obecným řešením této rov
 \begin{proof}
 	Intermezzo: otevřenost $G$ znamená, že pro každé $(x_0, t_0) \in \Omega$ a $t$ existuje $r > 0$ takové, že pokud $\| (y_0, s_0) - (t_0, x_0) \|$, potom řešení $y$ procházející bodem $(y_0, s_0)$ je definované v bodech $(t - r, t + r)$, spojitost pak odpovídá tomu, že toto řešení bude po celou dobu ``blízko" toho původního.
 
-	Bez újmy na obecnosti nechť $t_0 > t$. Vezměme $(t; t_0, x_0) \in G$, buď $x$ maximální řešení s počáteční podmínkou $x(t_0), x$. Pak $[t_0, t] \subset D_x$ (řešení je definováno na celém tomto intervalu). Vezměme $\delta > 0$ tak malé, aby $[t_0, t + 2\delta] \subset D_x$ a zároveň $K_\delta := \{ (y, s) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : s \in [t_0 - \delta, t + \delta] \land |y - x(s)| \leq \delta \} \subset \Omega$. Takto definovaná množina $K_\delta$ je kompaktní a tedy $f$ je na $K_\delta$ omezená konstantou $c_0$ (spojitá funkce na kompaktu) díky čemuž z lokální lipschitzovskosti plyne globální $L$-lipschitzovskost vzhledem k $x$.
+	Bez újmy na obecnosti nechť $t_0 > t$. Vezměme $(t; t_0, x_0) \in G$, buď $x$ maximální řešení s počáteční podmínkou $x(t_0) = x_0$. Pak $[t_0, t] \subset D_x$ (řešení je definováno na celém tomto intervalu). Vezměme $\delta > 0$ tak malé, aby $[t_0, t + 2\delta] \subset D_x$ a zároveň $K_\delta := \{ (y, s) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : s \in [t_0 - \delta, t + \delta] \land |y - x(s)| \leq \delta \} \subset \Omega$. Takto definovaná množina $K_\delta$ je kompaktní a tedy $f$ je na $K_\delta$ omezená konstantou $c_0$ (spojitá funkce na kompaktu) díky čemuž z lokální lipschitzovskosti plyne globální $L$-lipschitzovskost vzhledem k $x$.
 
 	Dokážeme, že řešení ``blízko" toho původního neopustí ``rouru" $K_\delta$. Zvolme $\varepsilon > 0$ takové, aby $\varepsilon < \frac{\delta}{2(1 + c_0)e^{L(t - t_0 + 2\delta)}}$. Vezměme $y_0, s_0$ tak, aby $|s_0 - t_0| < \varepsilon$, $|x_0 - y_0| < \varepsilon$. Dále vezmeme $y$ maximální řešení s podmínkou $y(s_0) = y_0$. Chceme dokázat, že $y$ je definované aspoň na intervalu $[s_0, t + \delta]$ a platí $|y(s) - x(s)| \leq \delta$ pro všechna $s \in [s_0, t + \delta]$.