prednaska 7.3.2025

zavislost-na-podmince.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\section{Závislost na počáteční podmínce}
+
+\begin{lemma}[Gronwall]
+	Nechť $w(t), g(t)$ jsou nezáporné a spojité na nějakém intervalu $I$ a nechť $t_0 \in I, K \geq 0$. Nechť pro každé $t \in I$ platí
+	$$ w(t) \leq K + \left| \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds \right|. $$
+	Potom pro každé $t \in I$ platí
+	$$ w(t) \leq K \exp\left(\left| \int_{t_0}^t g(s) ds \right|\right) .$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Definujeme $\Phi(t) := K + \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds + \varepsilon$ pro $t > t_0$. Okamžitě z předpoklady vidíme, že $w(t) \leq \Phi(t)$. Zderivujeme funkci $\Phi(t)$, dostáváme
+	$\Phi'(t) = w(t) g(t) \leq \Phi(t) g(t)$ což po vydělení $\Phi(t)$ (je nenulové díky přičtení $\varepsilon$) nám dává $\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \leq g(t)$, což můžeme přeintegrovat od $t_0$ do $t$, čímž dostaneme
+	$\int_{t_0}^t \frac{\Phi'(s)}{\Phi(s)} ds \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Po vyčíslení integrálů dostaneme
+	$ \log (\Phi(t) - \Phi(t_0)) \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Jelikož $\exp$ je rostoucí funkce, můžeme psát $ \frac{\Phi(t)}{\Phi(t_0)} \leq \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$.
+
+	Nakonec dostáváme $w(t) \leq \Phi(t) \leq (K+\varepsilon) \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$. Požadované tvrzení získáme posláním $\varepsilon$ do $0$.
+\end{proof}
+
+\hfill \textit{konec 3. přednášky (7.3.2025)}
+