prednaska 11.4.2025

linearni-rovnice-konst-koef.tex

@@ -62,6 +62,7 @@ Z obecného tvaru řešení dostáváme, že $x(t) = \Phi(t) \Phi^{-1}(t_0) x_0$
 \end{proof}
 
 \begin{corollary}[Variace konstant pro \eqref{eq-linhom-const}]
+	\label{thm-variation-hom-const}
 	Nechť $A \in \R^{n \times n}$, $g(t): (a, b) \to \R^n$ je spojitá, $t_0 \in (a, b)$ a $x_0 \in \R^n$ jsou dána. Potom řešení rovnice
 	$$ x' = Ax + g(t), x(t_0) = x_0$$
 	má tvar
@@ -86,3 +87,30 @@ Další otázka, kterou se budeme zabývat je hledání maticové exponenciály.
 \end{corollary}
 
 \hfill \textit{konec 7. přednášky (4.4.2025)}
+
+\begin{definition}
+	Pro matici $A \in \R^{n \times n}$ a její spektrum $\sigma(A)$ definujeme $\sigma_-(A) = \sigma(A) \cap \{\Re < 0\}$, $\sigma_0(A) = \sigma(A) \cap \{\Re = 0\}$, $\sigma_+(A) = \sigma(A) \cap \{\Re > 0\}$. Příslušné podprostory generované příslušnými (zobecněnými) vlastními vektory značíme $X_-(A), X_0(A), X_+(A)$ (nazýváme je \textit{stabilní, centrální} a \textit{nestabilní} podprostor).
+\end{definition}
+
+Zřejmě $\R^n = X_+(A) \oplus X_-(A) \oplus X_0(A)$. Tyto prostory jsou invariantní vzhledem k $A$ a též vzhledem k $e^{tA}$.
+
+\begin{theorem}[Asymptotické chování podprostorů]
+	Nechť $A$ je daná matice. Potom existují kladná $\alpha, \beta, M$ a $c$ taková, že platí:
+	\begin{enumerate}
+		\item Pokud $x_0 \in X_-(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq ce^{-\alpha t}|x_0|$ pro každé $t \geq 0$.
+		\item Pokud $x_0 \in X_+(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq ce^{\beta t}|x_0|$ pro každé $t \leq 0$.
+		\item Pokud $x_0 \in X_0(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq c(1 + |t|)^M|x_0|$ pro každé $t \in \R$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Nejdříve nechť $x_0 \in X_-(A)$. Potom $x_0 = \sum_{i=1}^k a_i v_i$, kde $v_i$ jsou zobecněné vlastní vektory příslušné $\lambda_i \in \sigma_-(A)$.
+	Dále máme, že $e^{tA} x_0 = Ve^{tJ}V^{-1} x_0$. Spočteme $V^{-1}x_0$. Jestliže $v$ je sloupec matice $V$, potom $V^{-1}v$ je jeden ze sloupců jednotkové matice, tedy má tvar $(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)^T$.
+	Tedy $V^{-1}x_0$ má nenulové hodnoty jen v řádcích příslušných $\Re \lambda < 0$. Můžeme odhadovat normu
+	$$ \|e^{tA} x_0 \| \leq \|V\|\|e^{tJ} \text{: řádky s } e^{-at}\| \| V^{-1} x_0\| \leq C e^{-\alpha t} \|x_0\|. $$
+	Zde jsme využili faktu, že ``polynom" $e^{-\lambda t} t^k$ lze odhadnout $e^{-\lambda t} t^k \leq e^{(-\lambda + \varepsilon)t}c$ pro vhodná $c$ a $\varepsilon$.
+
+	Důkaz ostatních implikací je podobný.
+\end{proof}
+
+V předchozí větě platí i opačná implikace, a to ve smyslu, že uvedené vlastnosti charakterizují dané podprostory.