diff --git a/floquetova-teorie.tex b/floquetova-teorie.tex
new file mode 100644
index 0000000..29b9e05
--- /dev/null
+++ b/floquetova-teorie.tex
@@ -0,0 +1,96 @@
+\section{Floquetova teorie}
+
+V této kapitole se budeme zabývat lineární rovnicí
+\begin{equation}
+	\label{eq-linear-periodic}
+	x' = A(t)x + b(t)
+\end{equation}
+a příslušnou homogenní rovnicí
+\begin{equation}
+	\label{eq-linhom-periodic}
+	x' = A(t)x
+\end{equation}
+pro $T$-periodické funkce $A \in C(\R, \R^{n\times n})$ a $b \in C(\R, \R^n)$. Budeme zkoumat periodicitu a stabilitu řešení této rovnice.
+
+\begin{observation}
+	\begin{enumerate}[(i)]
+	\item Pro každou počáteční podmínku $x_0 \in \R^n$ existuje právě jedno maximální řešení obou těchto rovnic a to je definované na celém $\R$.
+	\item Buď $x$ řešení \eqref{eq-linear-periodic} a definujeme $y(t) := x(t + T)$. Potom $y$ je také řešení dané rovnice. Skutečně, platí
+	$$y'(t) = x'(t + T) = A(t+T)x(t+T) + b(t+T) = A(t)y(t) + b(t).$$
+	\item Řešení $x$ je $T$-periodické právě tehdy, když $x(T) = x(0)$. Implikace $\implies$ je triviální, pro důkaz té opačné můžeme definovat $y(t) := x(t + T)$, což je díky již dokázanému také řešení a $y(0) = x(T) = x(0)$. Z jednoznačnosti řešení se tyto dvě řešení musí rovnat, tedy máme $x(t) = y(t) = x(t + T)$ pro všechna $t$.
+	\item Nechť $\Phi$ je fundamentální matice \eqref{eq-linhom-periodic} taková, že $\Phi(0) = I$. Potom řešení $x$ rovnice \eqref{eq-linhom-periodic} je periodické právě tehdy když $\Phi(T)x_0 = x_0$, jinými slovy, $x_0$ je vlastní vektor matice $\Phi(T)$ příslušný vlastnímu číslu $1$.
+	\end{enumerate}
+\end{observation}
+
+\begin{definition}
+	Nechť $\Phi$ je fundamentální matice \eqref{eq-linhom-periodic} taková, že $\Phi(0) = I$. Pak matici $C = \Phi(T)$ nazveme \textit{maticí monodromie}.
+\end{definition}
+
+Dle předchozího pozorování není těžké zpozorovat, že počet periodických řešení naší úlohy úzce souvisí s dimenzí jádra matice $C - I$, tedy násobností vlastního čísla $1$ matice $C$.
+
+\begin{lemma}[Maticový logaritmus]
+	\label{lemma-matrix-log}
+	Nechť $A \in \R^{n\times n}$ je regulární. Pak existuje matice $B \in \C^{n\times n}$ splňující $e^B = A$. Tato matice $B$ nemusí být určena jednoznačně.
+\end{lemma}
+
+Ústřední větou celé Floquetovy teorie je následující věta, která nám umožňuje jistým způsobem charakterizovat chování fundamentální matice pro rovnici \eqref{eq-linhom-periodic}.
+
+\begin{theorem}[Floquet]
+	\label{thm-floquet}
+	Existuje $Q \in C(\R, \R^{n\times n})$ $T$-periodická, $Q(t)$ regulární pro všechna $t \in \R$ a $B \in \C^{n\times n}$ tak, že
+	$$ \Phi(t) = Q(t)e^{tB} \quad\forall t \in \R. $$
+	Zde $\Phi(t)$ je fundamentální matice úlohy \eqref{eq-linhom-periodic} taková, že $\Phi(0) = I$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Nechť $C = \Phi(T)$ je matice monodromie. Z Lemmatu \ref{lemma-matrix-log} nalezneme komplexní matici $\tilde B \in \C^{n \times n}$ takovou, že $e^{\tilde B} = C$ a položíme $B = \frac{1}{T}\tilde B$ (tedy $e^{T\cdot B} = C$ z vlastností exponenciály).
+
+	Definujeme $Q(t) := \Phi(t)e^{-tB}$. Tato matice je regulární, spojitá a splňuje $\Phi(t) = Q(t)e^{tB}$. Dokážeme, že je $T$-periodická. K tomu budeme potřebovat funkci $\Psi(t) := \Phi(t + T)$. Platí
+	$$ \Psi'(t) = \Phi'(t + T) = A(t + T)\Phi(t + T) = A(t)\Phi(t), $$
+	tedy $\Psi$ je taky fundamentální matice a platí $\Psi(0) = \Phi(t) = C$. Zároveň také $\Phi(t)C$ je fundamentální maticí \eqref{eq-linhom-periodic} a $\Phi(0)C = C$. Z jednoznačnosti dostáváme, že $\Psi(t) = \Phi(t) C$ pro všechna $t \in \R$. Nakonec
+	$$ Q(t + T) = \Phi(t + T)e^{-(t + T)B} = \Psi(t) e^{-TB}e^{-tB} = \Phi(t) C C^{-1} e^{-tB} = Q(t), $$
+	čímž je důkaz ukončen.
+\end{proof}
+
+Floquetova transformace $y(t) = Q^{-1}(t)x(t)$ převádí řešení \eqref{eq-linhom-periodic} na řešení úlohy $y' = By$, což je rovnice s konstantními koeficienty. Platí
+$$ y(t) = Q^{-1}(t)\Phi(t)x_0 = Q^{-1}(t)Q(t) e^{tB}x_0 = e^{tB}x_0. $$
+Položíme-li $t = kT + s$, kde $k \in \Z$ a $s \in [0, T)$, pak
+\begin{align*}
+	x(t) &= \Phi(t)x_0 = Q(t)e^{tB}x_0 = Q(s) e^{(kT+s)B}x_0 = \\
+	&= Q(s)e^{sB}(e^{TB})^k x_0 = \Phi(s)C^k x_0.
+\end{align*}
+Matici $C^k$ můžeme relativně snadno spočítat pomocí převodu na Jordanův kanonický tvar, což v praxi často výrazně zjednodušuje výpočty.
+
+\begin{corollary}
+	Pokud pro spektrum matice monodromie platí $\sigma(C) \in \{z \in \C: |z| < 1\}$, pak máme asymptotickou stabilitu.
+\end{corollary}
+
+\begin{theorem}[Existence periodických řešení]
+	Nechť matice $A(t)$ je spojitá a $T$-periodická. Potom je ekvivalentní:
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item rovnice \eqref{eq-linear-periodic} (nehomogenní) má právě jedno $T$-periodické řešení pro každou $b \in C(\R, \R^n)$ $T$-periodickou;
+		\item rovnice \eqref{eq-linhom-periodic} (homogenní) má pouze triviální $T$-periodické řešení;
+		\item $1 \not\in \sigma(C)$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	(ii) $\equiv$ (ii): $x$ je $T$-periodické řešení právě tehdy když $x(T) = x(0)$, coz nastane právě tehdy když $Cx_0 = x_0$.
+
+	(i) $\implies$ (ii): Předpokládejme, že $x$ je $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic} a pro spor předpokládejme, že $y$ je netriviální $T$-periodické řešení homogenní rovnice, tedy $x + y$ je $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic}, ale $x + y \neq x$, což je spor s jednoznačností řešení nehomogenní úlohy.
+
+	(iii) $\implies$ (i): Řešení nehomogenní úlohy můžeme explicitně zapsat ve tvaru $x(t) = \Phi(t)x_0 + \int_0^t \Phi(t) \Phi^{-1}(s) b(s) ds$. Dokážeme, že toto je jediné $T$-periodické řešení úlohy \eqref{eq-linear-periodic}. Můžeme psát $x(T) = Cx_0 + y$, kde $y = \int_{0^T}\Phi(T)\Phi^{-1}(s)b(s) ds$, tedy $x(T) = x_0$ právě tehdy, když $-y = (C - I)x_0$. Dle předpokladu v (iii) je matice $C - I$ regulární, tedy existuje právě jedno $x_0$ splňující danou podmínku, proto $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic} je určeno jednoznačně.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}[Stabilita pro periodické lineární rovnice]
+	Nulové řešení \eqref{eq-linhom-periodic} je (asymptoticky) stabilní, právě když nulové řešení $y' = By$ je (asymptoticky) stabilní.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+	Z Floquetovy věty (Věta \ref{thm-floquet}) a poznámky o Floquetově transformaci víme, že $x(t) = Q(t)e^{tB}x_0 = Q(t) y(t)$. Potom
+	$$ \|x(t)\| \leq \|Q(t)\|\|y(t)\| \leq \max_{t \in [0, T]} \|Q(t)\| \|y(t)\| = K \|y(t)\|$$
+	a obdobně
+	$$ \|y(t)\| \leq \|Q^{-1}(t)\|\|x(t)\| \leq \tilde K \|x(t)\|.$$
+\end{proof}
+
+\hfill \textit{konec 12. přednášky (16.5.2025)}
diff --git a/skripta.pdf b/skripta.pdf
index a31b916..ca4b4d2 100644
Binary files a/skripta.pdf and b/skripta.pdf differ
diff --git a/skripta.tex b/skripta.tex
index f69ee3f..31eabd6 100644
--- a/skripta.tex
+++ b/skripta.tex
@@ -27,8 +27,10 @@
 \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
 \DeclareMathOperator{\diag}{diag}
 
+\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
 \newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
 \newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}
 
 \DeclarePairedDelimiter\inner{\langle}{\rangle}
 
@@ -52,5 +54,6 @@
 \include{stabilita}
 \include{prvni-integral}
 \include{ljapunovske-funkce}
+\include{floquetova-teorie}
 
 \end{document}