formatovani

lokalni-existence.tex

@@ -28,14 +28,15 @@ Takto definované řešení je nutně spojité a má spojitou derivaci (je tří
 		\item $x$ je řešení (\ref{eq-ode}) splňující $x(t_0) = x_0$,
 		\item pro každé $t \in I$ platí $x(t) = x_0 + \int^t_{t_0} f(x(s), s)ds$.
 	\end{enumerate}
-	\begin{proof}
-		Víme, že platí $x'(s) = f(x(s), s)$ pro všechna $s \in I$, což je spojitá funkce, kterou můžeme zintegrovat na $[t_0, t]$.
-		Potom z Newtonova-Leibnizova vzorce máme $x(t) - x(t_0) = \int_{t_0}^t x'(s) ds = \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$. Tedy $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$.
-
-		Pro důkaz opačné strany si uvědomíme, ze pro každé $t\in I$ je pravá strana diferencovatelná, tedy $x'(t) = f(x(t), t)$ a po dosazení $t = t_0$ dostáváme $x(t_0) = x_0$.
-	\end{proof}
 \end{lemma}
 
+\begin{proof}
+	Víme, že platí $x'(s) = f(x(s), s)$ pro všechna $s \in I$, což je spojitá funkce, kterou můžeme zintegrovat na $[t_0, t]$.
+	Potom z Newtonova-Leibnizova vzorce máme $x(t) - x(t_0) = \int_{t_0}^t x'(s) ds = \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$. Tedy $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$.
+
+	Pro důkaz opačné strany si uvědomíme, ze pro každé $t\in I$ je pravá strana diferencovatelná, tedy $x'(t) = f(x(t), t)$ a po dosazení $t = t_0$ dostáváme $x(t_0) = x_0$.
+\end{proof}
+
 Teď si zadefinujeme několik pojmů, které charakterizují množiny funkcí, které se chovají jistým způsobem podobně nebo stejně.
 
 \begin{definition}
@@ -56,27 +57,31 @@ Následující věta nám říká, že na nějakém okolí libovolného bodu exi
 \begin{theorem}{\textbf{(Peano)}}
 	\label{thm-peano}
 	Nechť $(x_0, t_0) \in \Omega$. Pak existuje $\delta > 0$ a funkce $x(t): (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \rightarrow \mathbb{R}^n$, která je řešením (\ref{eq-ode}) a splňuje $x(t_0) = x_0$.
-	\begin{proof}
-		Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení:
-		\begin{lemma}
-			Pokud $\Omega = \mathbb{R}^{n+1}$ a $f$ je omezená na $\Omega$, pak pro každé $T > 0$ existuje řešení (\ref{eq-ode}) na $(t_0 - T, t_0 + T)$ splňující $x(t_0) = x_0$.
-			\begin{proof}
-				Řešme ``porušenou" úlohu $(P_\lambda)$: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ a $x(t) = x_0$ pro $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
-				Na $I_1 := (t_0, t_0 + \lambda]$ definujeme $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda, s) ds$.
-				Na $I_2 := (t_0 + \lambda, t_0 + 2\lambda]$ definujeme $x(t)$ obdobně a indukcí pokračujeme až do nekonečna.
-				Tímto je ``porušená" úloha vyřešena na $[t_0-\lambda, t_0 + T]$.
-
-				Položme $\lambda = \frac{1}{n}$ pro $n = 1,2,\dots$. Pišme dále jen $x_n$ namísto $x_{1/n}$, tedy máme posloupnost funkcí. 
-				Ukážeme, že jsou stejně spojité a stejně omezené.
-				Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0  + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
-				Stejnou spojitost máme z odhadu $\| x_n(t) - x_n(r) \| = \| \int_r^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq |t - r| \cdot K$. V poslední nerovnosti jsme odhadli integrál součinem délky intervalu a konstantou omezenosti funkce $f$. Stačí položit $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$, potom $\|x_n(t) - x_r(t)\| < \delta K = \varepsilon$.
-				
-				Tedy dle Věty \ref{thm-arzela} můžeme z posloupnosti $x_n$ vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost. Zbývá dokázat, že její limita řeší naši rovnici.
-
-				\hfill \textit{konec 1. přednášky (21.2.2025)}
-
-			\end{proof}
-		\end{lemma}
-	\end{proof}
 \end{theorem}
 
+K důkazu této věty budeme potřebovat pomocné lemma:
+
+\begin{lemma}
+	Pokud $\Omega = \mathbb{R}^{n+1}$ a $f$ je omezená na $\Omega$, pak pro každé $T > 0$ existuje řešení (\ref{eq-ode}) na $(t_0 - T, t_0 + T)$ splňující $x(t_0) = x_0$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+	Řešme ``porušenou" úlohu: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ a $x(t) = x_0$ pro $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
+	Na $I_1 := (t_0, t_0 + \lambda]$ definujeme $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda, s) ds$.
+	Na $I_2 := (t_0 + \lambda, t_0 + 2\lambda]$ definujeme $x(t)$ obdobně a indukcí pokračujeme dokud $t_0 + k\lambda$ nebude větší než $T$.
+	Tímto je ``porušená" úloha vyřešena na $[t_0-\lambda, t_0 + T]$.
+
+	Položme $\lambda = \frac{1}{n}$ pro $n = 1,2,\dots$. Pišme dále jen $x_n$ namísto $x_{1/n}$, tedy máme posloupnost funkcí. 
+	Ukážeme, že jsou stejně spojité a stejně omezené.
+	Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0  + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
+	Stejnou spojitost máme z odhadu $\| x_n(t) - x_n(r) \| = \| \int_r^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq |t - r| \cdot K$. V poslední nerovnosti jsme odhadli integrál součinem délky intervalu a konstantou omezenosti funkce $f$. Stačí položit $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$, potom $\|x_n(t) - x_r(t)\| < \delta K = \varepsilon$.
+	
+	Tedy dle Věty \ref{thm-arzela} můžeme z posloupnosti $x_n$ vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost. Zbývá dokázat, že její limita řeší naši rovnici.
+	
+	\hfill \textit{konec 1. přednášky (21.2.2025)}
+
+\end{proof}
+
+% \begin{proof}[Důkaz Věty \ref{thm-peano}]
+% \end{proof}
+