preklepy

maximalni-reseni.tex

@@ -54,7 +54,7 @@ Na závěr si uvedeme jednu důležitou větu, která nám poskytne představu o
 \begin{proof}
 	Pro spor budeme předpokládat, že takové $t_1$ neexistuje, chceme dojít ke sporu s maximalitou řešení. Mějme řešení $x$ na $(a, b)$ a $(x(t), t) \in K$ pro všechna $t \in [t_0, b)$. Ukážeme, že toto řešení můžeme prodloužit za $b$. Využijeme k tomu Lemma \ref{lemma-extension}.
 
-	Zřejmě platí $b < \infty$ (díky kompaktnosti $K$). Dále dokážeme, že existuje $\lim_{i \rightarrow b^-} x(t)$ pomocí Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Mějme $s, t \in (t_0, b)$. Dále díky Lagrangeově větě o střední hodnotě máme
+	Zřejmě platí $b < \infty$ (díky kompaktnosti $K$). Dále dokážeme, že existuje $\lim_{t \rightarrow b^-} x(t)$ pomocí Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Mějme $s, t \in (t_0, b)$. Dále díky Lagrangeově větě o střední hodnotě máme
 	$$ \| x(s) - x(t) \| \leq \| x'(\xi) \| | s - t | = \| f(x(\xi), \xi) \| | s - t | \leq M | s - t |, $$
 	kde poslední nerovnost plyne z toho, že funkce $f$ je omezená na kompaktu $K$ konstantou $M$. Nakonec $(x_0, b) = \lim_{t \rightarrow b^-} (x(t), t)$, tedy z uzavřenosti $K$ máme, že $(x_0, b) \in K \subset \Omega$.