preklepy

linearni-rovnice-konst-koef.tex

@@ -13,7 +13,7 @@ Myšlenkou studia těchto rovnic je analogie s rovnicí $x' = ax$ pro $a \in \R$
 	s konvencí $A^0 = I$.
 \end{definition}
 
-Řada s definice maticové exponenciály je dobře definovaná, neboť $\|\frac{1}{k!}A^k\| \leq \frac{1}{k!}\|A\|^k$, přičemž $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}c^k = e^c$ konverguje pro každé $c \in \R$. Navíc z tohoto odhadu dostáváme $\|e^A\| \leq e^{\|A\|}$.
+Řada z definice maticové exponenciály je dobře definovaná, neboť $\|\frac{1}{k!}A^k\| \leq \frac{1}{k!}\|A\|^k$, přičemž $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}c^k = e^c$ konverguje pro každé $c \in \R$. Navíc z tohoto odhadu dostáváme $\|e^A\| \leq e^{\|A\|}$.
 
 \begin{example}
 	Nechť $A = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$. Potom

maximalni-reseni.tex

@@ -54,7 +54,7 @@ Na závěr si uvedeme jednu důležitou větu, která nám poskytne představu o
 \begin{proof}
 	Pro spor budeme předpokládat, že takové $t_1$ neexistuje, chceme dojít ke sporu s maximalitou řešení. Mějme řešení $x$ na $(a, b)$ a $(x(t), t) \in K$ pro všechna $t \in [t_0, b)$. Ukážeme, že toto řešení můžeme prodloužit za $b$. Využijeme k tomu Lemma \ref{lemma-extension}.
 
-	Zřejmě platí $b < \infty$ (díky kompaktnosti $K$). Dále dokážeme, že existuje $\lim_{i \rightarrow b^-} x(t)$ pomocí Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Mějme $s, t \in (t_0, b)$. Dále díky Lagrangeově větě o střední hodnotě máme
+	Zřejmě platí $b < \infty$ (díky kompaktnosti $K$). Dále dokážeme, že existuje $\lim_{t \rightarrow b^-} x(t)$ pomocí Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Mějme $s, t \in (t_0, b)$. Dále díky Lagrangeově větě o střední hodnotě máme
 	$$ \| x(s) - x(t) \| \leq \| x'(\xi) \| | s - t | = \| f(x(\xi), \xi) \| | s - t | \leq M | s - t |, $$
 	kde poslední nerovnost plyne z toho, že funkce $f$ je omezená na kompaktu $K$ konstantou $M$. Nakonec $(x_0, b) = \lim_{t \rightarrow b^-} (x(t), t)$, tedy z uzavřenosti $K$ máme, že $(x_0, b) \in K \subset \Omega$.
 

zavislost-na-podmince.tex

@@ -41,7 +41,7 @@
 Jednoduchým důsledkem tohoto lemmatu je mj. jednoznačnost řešení (stačí uvažovat řešení s $x(t_0) = y(t_0)$).
 
 \begin{definition}
-	Nechť $f$ je spojitá a lokálně lipschitzovská vzhledem k $x$ v $\Omega$. Potom definujeme \textit{řešicí funcki} $\varphi : G \subset \mathbb{R}^{n + 2} \rightarrow \mathbb{R}^n$ předpisem $\varphi(t; t_0, x_0) := x(t)$, kde $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ je řešení splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$ a $t \in I$. Zde $G$ je maximální možná, tj. obsahuje všechny trojice $(t; t_0, x_0) \in \mathbb{R}^{n + 2}$ pro něž výraz $\varphi(t; t_0, x_0)$ má smysl.
+	Nechť $f$ je spojitá a lokálně lipschitzovská vzhledem k $x$ v $\Omega$. Potom definujeme \textit{řešicí funkci} $\varphi : G \subset \mathbb{R}^{n + 2} \rightarrow \mathbb{R}^n$ předpisem $\varphi(t; t_0, x_0) := x(t)$, kde $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ je řešení splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$ a $t \in I$. Zde $G$ je maximální možná, tj. obsahuje všechny trojice $(t; t_0, x_0) \in \mathbb{R}^{n + 2}$ pro něž výraz $\varphi(t; t_0, x_0)$ má smysl.
 \end{definition}
 
 Například, uvažujeme-li rovnici $x'(t) = x(t)$. Obecným řešením této rovnice je funkce $x(t) = ce^t$, vyřešením rovnice s počáteční podmínkou dostaneme řešicí funkci $\varphi(t; t_0, x_0) = x_0e^{t - t_0}$.