\section{Lokální existence řešení}

Diferenciální rovnice nás doprovází v každé oblasti lidského života. Neexistuje obecná teorie, která by nám umožnila vyřešit všechny diferenciální rovnice najednou. Musíme se proto omezit jen na část rovnic.

\begin{convention}
V této přednášce budeme studovat systém rovnic
\begin{equation}
	\label{eq-ode}
	x' = f(x, t)
\end{equation}
	za trvalého předpokladu $\Omega \in \mathbb{R}^{n+1}$ otevřená, $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ spojitá.
\end{convention}

\begin{definition}
	Buď $I$ otevřený interval. Funkci $x(t): I \rightarrow \mathbb{R}^n$ nazveme \textit{řešením} diferenciální rovnice \eqref{eq-ode} v $\Omega$, jestliže pro všechna $t \in I$ platí
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(x(t),t)\in \Omega$,
		\item existuje vlastní $x'(t)$,
		\item $x'(t) = f(x(t),t)$.
	\end{enumerate}
\end{definition}

Takto definované řešení je nutně spojité a má spojitou derivaci (je třídy $C^1$), tzv. klasické řešení. Dále si poznamenejme, že platí tzv. princip nalepování: Pokud máme $x(t)$ řešení na $(a, t_0)$ a na $(t_0, b)$, pak už je řešením na celém $(a, b)$. To plyne z toho, že $x'_- (t_0) = \lim_{t\rightarrow t_0^-} x'(t) = \lim_{t\rightarrow t_0^-} f(x(t), t) = f(x(t_0), t_0)$, přičemž tatáž rovnost platí i pro derivaci zprava.

\begin{lemma}
	Nechť $I$ je otevřený interval, $x(t): I \rightarrow \mathbb{R}^n$ spojitá splňující $(x(t), t) \in \Omega$ pro každé $t \in I$ a nechť $t_0 \in I$. Potom je ekvivalentní
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $x$ je řešení (\ref{eq-ode}) splňující $x(t_0) = x_0$,
		\item pro každé $t \in I$ platí $x(t) = x_0 + \int^t_{t_0} f(x(s), s)ds$.
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
	Víme, že platí $x'(s) = f(x(s), s)$ pro všechna $s \in I$, což je spojitá funkce, kterou můžeme zintegrovat na $[t_0, t]$.
	Potom z Newtonova-Leibnizova vzorce máme $x(t) - x(t_0) = \int_{t_0}^t x'(s) ds = \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$. Tedy $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$.

	Pro důkaz opačné strany si uvědomíme, ze pro každé $t\in I$ je pravá strana diferencovatelná, tedy $x'(t) = f(x(t), t)$ a po dosazení $t = t_0$ dostáváme $x(t_0) = x_0$.
\end{proof}

Teď si zadefinujeme několik pojmů, které charakterizují množiny funkcí, které se chovají jistým způsobem podobně nebo stejně.

\begin{definition}
	Řekneme, že funkce množiny $M \subset C(K, \mathbb{R}^n)$ jsou
	\begin{enumerate}
		\item \textit{stejně spojité}, jestliže pro každé $x \in K$ a každé $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ (společné pro všechny funkce) takové, že $\| f(x) - f(y) \| < \varepsilon$ pro všechna $y \in (x - \delta, x + \delta)$ a všechny $f \in M$.
		\item \textit{stejně omezené}, jestliže existuje $C > 0$ takové, že $\|f\| \leq C$ pro všechna $f \in M$.
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}[Arzela-Ascoli]
	\label{thm-arzela}
	Nechť funkce $x_n(t)$ jsou stejně omezené a stejně spojité na $[0, T]$. Potom z nich lze vybrat stejnoměrně konvergující posloupnost. \textit{(bez důkazu)}
\end{theorem}

Následující věta nám říká, že na nějakém okolí libovolného bodu existuje řešení zkoumané diferenciální rovnice.

\begin{theorem}[Peano]
	\label{thm-peano}
	Nechť $(x_0, t_0) \in \Omega$. Pak existuje $\delta > 0$ a funkce $x(t): (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \rightarrow \mathbb{R}^n$, která je řešením \eqref{eq-ode} a splňuje $x(t_0) = x_0$.
\end{theorem}

K důkazu této věty budeme potřebovat pomocné lemma:

\begin{lemma}
	\label{lemma-special-solution}
	Pokud $\Omega = \mathbb{R}^{n+1}$ a $f$ je omezená na $\Omega$, pak pro každé $T > 0$ existuje řešení \eqref{eq-ode} na $(t_0 - T, t_0 + T)$ splňující $x(t_0) = x_0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Řešme ``porušenou" úlohu $P_\lambda$: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ kde dodefinováváme funkci $x(t) = x_0$ na intervalu $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
	Na $I_1 := (t_0, t_0 + \lambda]$ definujeme $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$.
	Na $I_2 := (t_0 + \lambda, t_0 + 2\lambda]$ definujeme $x(t)$ obdobně a indukcí pokračujeme dokud $t_0 + k\lambda$ nebude větší než $T$.
	Tímto je ``porušená" úloha vyřešena na $[t_0-\lambda, t_0 + T]$.

	Položme $\lambda = \frac{1}{n}$ pro $n = 1,2,\dots$. Pišme dále jen $x_n$ namísto $x_{1/n}$, tedy řešení úloh $P_\frac{1}{n}$ tvoří posloupnost funkcí.

	Ukážeme, že jsou stejně spojité a stejně omezené.
	Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0  + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \| \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
	Stejnou spojitost máme z odhadu $\| x_n(t) - x_n(r) \| = \| \int_r^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq |t - r| \cdot K$. V poslední nerovnosti jsme odhadli integrál součinem délky intervalu a konstantou omezenosti funkce $f$. Stačí položit $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$, potom $\|x_n(t) - x_n(r)\| < \delta K = \varepsilon$.

	Tedy dle Věty \ref{thm-arzela} můžeme z posloupnosti $x_n$ vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost $x_{n_k}$. Zbývá dokázat, že její limita řeší naši rovnici.

	\hfill \textit{konec 1. přednášky (21.2.2025)}

	Zřejmě pro $k \rightarrow \infty$ platí $x_{n_k} \rightarrow x(t)$ a pokud $\int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) ds$ konverguje k $\int_{t_0}^t f(x(s),s)ds$, máme hotovo.
	Skutečně, $\| \int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s) ds\| \leq \int_{t_0}^t \| f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) \| + \| f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s)  \| ds$.

	Jelikož $f$ je spojitá, musí být stejnoměrně spojitá na kompaktní množině $[t_0, t_0 + T] \times \overline{B(0, r) \cap \Omega}$, jinými slovy platí, že pro $\varepsilon > 0$ existuje $\delta$ takové, že pro každé dva body $x, y$ takové, že $\|x - y\| < \delta$ máme, že $|f(x, s) - f(y, s)| < \varepsilon$. Ze stejnoměrné konvergence $x_{n_k}$ máme, že pro $\delta > 0$ existuje $k_0$ takové, že pro všechna $k \geq k_0$ platí $\|x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}) - x(s - \frac{1}{n_k})\|<\delta$. Jelikož $x$ je spojitá, na kompaktním intervalu $[t_0, t_0 + T]$ je také stejnoměrně spojitá. Potom pro $\delta> 0$ existuje $k_1$ takové, že pro všechna $k \geq k_1$ platí $\| x(s - \frac{1}{n_k}) - x(s) \| < \delta$.

	Potom pro všechna $k \geq \max\{k_0, k_1\}$ platí, že náš integrál je menší nebo roven $\int_{t_0}^t \varepsilon + \varepsilon ds \leq T\cdot 2\varepsilon$, tedy jsme opravdu nalezli požadované řešení.

	Existence řešení na $[t_0 - T, t_0]$ se ukáže podobně.
\end{proof}

\begin{proof}[Důkaz Věty \ref{thm-peano}]
	Uvažujme dvě (uzavřené) koule kolem bodu $(x_0, t_0)$ takové, že $K_1 \subsetneq K_2 \subset \Omega$.
	Definujeme $\tilde{f}(x, t) = \begin{cases}
	f(x, t) \text{ v } K_1,\\
	\text{spojitě v } K_2 \setminus K_1,\\
	0, (x, t) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus K_2.
	\end{cases}$
	Tato funkce je na $\Omega$ spojitá a omezená.

	Z Lemmatu \ref{lemma-special-solution} máme, že rovnice $x' = \tilde{f}(x, t)$ má řešení $x$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$. Nazveme toto řešení $\tilde{x}$. Potom ze spojitosti $\tilde{x}$ existuje $\delta > 0$ takové, že graf $\tilde{x}$ na $(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$ leží v $K_1$. Restrikce $\tilde{x}$ na tento interval nám tedy dává řešení původní rovnice.
\end{proof}