\section{Maximální řešení}

V této kapitole se budeme věnovat otázce rozšíření řešení na co největší podmnožinu prostoru, v němž toto řešení hledáme. Bez újmy na obecnosti budeme dále předpokládat, že $f$ je spojitá (ne nutně lipschitzovská) na $\Omega$ (což znamená, že nutně nemusíme mít jednoznačnost řešení).

\begin{definition}
	Řešení $(\hat{x}, \hat{I})$ diferenciální rovnice \eqref{eq-ode} nazýváme \textit{prodloužením} řešení $(x, I)$, jestliže $\hat{I} \supset I$ a $\hat{x}(t) = x(t)$ pro každé $t \in I$. Řešení $(x, I)$ se nazve \textit{maximální}, jestliže nemá žádné netriviální ($\hat{I} \supsetneq I$) prodloužení.
\end{definition}

\begin{theorem}
	\label{thm-max-extension}
	Každé řešení rovnice \eqref{eq-ode} má alespoň jedno maximální prodloužení.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Mějme řešení $(x, I)$ takové, že $I = (a, b)$. Budeme induktivně prodlužovat za bod $b$ (na druhou stranu se to pak udělá analogicky). Položme $x_0 = x$, $b_0 = b$, $I_0 = I$. V $n$-tém kroku dostaneme řešení $(x_n, I_n)$, kde $I_n = (a, b_n)$. Dále definujeme $\omega_n = \sup \{z > b_n; (x_n, I_n) \text{ lze prodloužit na } (a, z) \}$. Pokud příslušná množina je prázdná, jsme hotovi, neboť řešení již nejde prodloužit, tedy je maximální.

	V opačném případě můžeme definovat $b_{n + 1} = \frac{b_n + \omega_n}{2}$ (pokud $\omega_n < \infty$), případně $b_{n + 1} = b_n + 1$. Tímto postupem získáme rostoucí posloupnost $b_n$, která musí mít limitu. Označme tuto limitu $\beta$. Dále položme $\tilde{I} = (a, \beta)$, $\tilde{x} = x_n(t)$, pro všechna $t \in \tilde{I}$ zvolím $n$ tak, aby $t \in I_n$. Na volbě $n$ nezáleží, neboť na příslušných intervalech jsou funkce $x_n$ stejné.

	Dokážeme, že takto definované řešení $(\tilde{x}, \tilde{I})$ je maximální. Pro spor budeme předpokládat, že existuje rozšíření na $(a, \hat{\beta})$ takové, že $\hat{\beta} > \beta$. Okamžitě vidíme, že $\beta < \infty$. Vezmeme $n$ takové, aby $\beta - b_n < \hat{\beta} - \beta$ a $\beta - b_n < 1$ (existuje díky tomu, že $b_n$ konvergují k $\beta$). V tom případě $(x_n, I_n)$ má prodloužení až do $\hat{\beta}$, tedy $\omega_n \geq \hat{\beta}$. Pak ale (pokud $\omega_n = \infty$) $b_{n + 1} = b_n + 1 > \beta$, máme spor, případně pro $\omega_n$ konečné máme $b_{n + 1} = \frac{b_n + \omega_n}{2} > \frac{2\beta - \hat{\beta} + \hat{\beta}}{2} = \beta$, opět jsme došli ke sporu.
\end{proof}

V případě $f$ lipschitzovské se důkaz dá výrazně zjednodušit. Budeme uvažovat všechna prodloužení řešení $x$ (platí jednoznačnost), dostaneme lineárně uspořádanou množinu, potom díky Zornovu lemmatu existuje maximální prvek.

\begin{theorem}[Picard]
	\label{thm-picard}
	Nechť $f \in C_x^1(\Omega)$. Pak pro každé $(x_0, t_0) \in \Omega$ existuje právě jedno maximální řešení $x$ diferenciální rovnice \eqref{eq-ode} v $\Omega$ splňující $x(t_0) = x_0$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Plyne z Peanovy věty (Věta \ref{thm-peano}) a Věty \ref{thm-max-extension}. Jednoznačnost plyne z rule of thumb v kapitole 2.
\end{proof}

\begin{lemma}
	\label{lemma-extension}
	Řešení $(x, I)$ diferenciální rovnice \eqref{eq-ode} lze prodloužit za bod $b$ právě tehdy, když platí všechny
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $b < \infty$;
		\item existuje $\lim_{t \rightarrow b^{-}} x(t) =: x_0 \in \mathbb{R}^n$;
		\item $(x_0, b) \in \Omega$.
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
	Nutnost těchto podmínek plyne triviálně z podstaty prodloužení (cvičení). Dokážeme, že jde o podmínky postačující. Nechť tedy máme $(x_0, b)$ jako novou počáteční podmínku, dle Peanovy vety existuje řešení $\hat{x}$ na $(b - \delta, b + \delta)$ splňující tuto počáteční podmínku. Definujeme $\hat{x}(t) = \begin{cases} x(t), t < b \\ \tilde{x}(t), t \geq b \end{cases}$. Potom $\hat{x}$ je řešení (díky principu nalepování) a navíc prodlužuje $x$ za bod $b$, což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}

Na závěr si uvedeme jednu důležitou větu, která nám poskytne představu o tom, jak vypadají maximální řešení diferenciálních rovnic.

\begin{theorem}[Opuštění kompaktu]
	\label{thm-leaving-compact}
	Nechť $K \subset \Omega$ je kompaktní, nechť $(x, I)$ je maximální řešení rovnice \eqref{eq-ode} splňující $(x(t_0), t_0) \in K$ pro nějaké $t_0 \in I$. Potom existují $t_1 > t_0 > t_2$ taková, že $(x(t_1), t_1) \notin K$ a $(x(t_2), t_2) \notin K$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Pro spor budeme předpokládat, že takové $t_1$ neexistuje, chceme dojít ke sporu s maximalitou řešení. Mějme řešení $x$ na $(a, b)$ a $(x(t), t) \in K$ pro všechna $t \in [t_0, b)$. Ukážeme, že toto řešení můžeme prodloužit za $b$. Využijeme k tomu Lemma \ref{lemma-extension}.

	Zřejmě platí $b < \infty$ (díky kompaktnosti $K$). Dále dokážeme, že existuje $\lim_{t \rightarrow b^-} x(t)$ pomocí Bolzanovy-Cauchyovy podmínky. Mějme $s, t \in (t_0, b)$. Dále díky Lagrangeově větě o střední hodnotě máme
	$$ \| x(s) - x(t) \| \leq \| x'(\xi) \| | s - t | = \| f(x(\xi), \xi) \| | s - t | \leq M | s - t |, $$
	kde poslední nerovnost plyne z toho, že funkce $f$ je omezená na kompaktu $K$ konstantou $M$. Nakonec $(x_0, b) = \lim_{t \rightarrow b^-} (x(t), t)$, tedy z uzavřenosti $K$ máme, že $(x_0, b) \in K \subset \Omega$.

	Zjistili jsme, že řešení lze prodloužit za bod $b$, což je spor s jeho maximalitou. Důkaz pro $t_2$ se udělá obdobně.
\end{proof}