\section{Závislost na počáteční podmínce}

\begin{lemma}[Gronwall]
	\label{lemma-gronwall}
	Nechť $w(t), g(t)$ jsou nezáporné a spojité na nějakém intervalu $I$ a nechť $t_0 \in I, K \geq 0$. Nechť pro každé $t \in I$ platí
	$$ w(t) \leq K + \left| \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds \right|. $$
	Potom pro každé $t \in I$ platí
	$$ w(t) \leq K \exp\left(\left| \int_{t_0}^t g(s) ds \right|\right) .$$
\end{lemma}

\begin{proof}
	Definujeme $\Phi(t) := K + \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds + \varepsilon$ pro $t > t_0$ (důkaz pro $t \leq t_0$ se udělá obdobně). Okamžitě z předpokladů vidíme, že $w(t) \leq \Phi(t)$. Zderivujeme funkci $\Phi(t)$, dostáváme
	$\Phi'(t) = w(t) g(t) \leq \Phi(t) g(t)$ což po vydělení $\Phi(t)$ (je nenulové díky přičtení $\varepsilon$) nám dává $\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \leq g(t)$, což můžeme přeintegrovat od $t_0$ do $t$, čímž dostaneme
	$\int_{t_0}^t \frac{\Phi'(s)}{\Phi(s)} ds \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Po vyčíslení integrálů dostaneme
	$ \log \Phi(t) - \log \Phi(t_0) \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Jelikož $\exp$ je rostoucí funkce, můžeme psát $ \frac{\Phi(t)}{\Phi(t_0)} \leq \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$.

	Nakonec dostáváme $w(t) \leq \Phi(t) \leq (K+\varepsilon) \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$. Požadované tvrzení získáme posláním $\varepsilon$ do $0$.
\end{proof}

\hfill \textit{konec 3. přednášky (7.3.2025)}

\begin{lemma}
	\label{lemma-sol-dist}
	Nechť $f$ je globálně $L$-lipschitzovská v $\Omega$ vzhledem k $x$. Potom pro libovolná dvě řešení $(x, I), (y, J)$ v $\Omega$ a body $t, t_0 \in I \cap J$ platí
	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq \| x(t_0) - y(t_0) \| \exp(L|t - t_0|). $$
\end{lemma}

\begin{proof}
	Můžeme psát
	\begin{align*}
		\| x(t) - y(t) \| &= \left\| x(t_0) + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (y(t_0) + \int_{t_0}^t f(y(s), s) ds) \right\| \leq \\
		&\leq \left\| x(t_0) - y(t_0) \right\| + \left\| \int_{t_0}^t \left| f(x(s), s) - f(y(s), s) \right| ds \right\| \leq \\
		&\leq \left\| x(t_0) - y(t_0) \right\| + \left\| \int_{t_0}^t L | x(s) - y(s) | ds \right\|.
	\end{align*}

	Poté z Gronwallova lemmatu dostáváme, že
	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq \| x(t_0) - y(t_0) \| e^{|\int_{t_0}^t L ds|} = \| x(t_0) - y(t_0) \| e^{|t - t_0| L}, $$
	kde funkci $w(s)$ ze znění lemmatu odpovídá výraz $\|x(s) - y(s)\|$ a $K = \| x(t_0) - y(t_0) \|$.
\end{proof}

Jednoduchým důsledkem tohoto lemmatu je mj. jednoznačnost řešení (stačí uvažovat řešení s $x(t_0) = y(t_0)$).

\begin{definition}
	Nechť $f$ je spojitá a lokálně lipschitzovská vzhledem k $x$ v $\Omega$. Potom definujeme \textit{řešicí funcki} $\varphi : G \subset \mathbb{R}^{n + 2} \rightarrow \mathbb{R}^n$ předpisem $\varphi(t; t_0, x_0) := x(t)$, kde $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ je řešení splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$ a $t \in I$. Zde $G$ je maximální možná, tj. obsahuje všechny trojice $(t; t_0, x_0) \in \mathbb{R}^{n + 2}$ pro něž výraz $\varphi(t; t_0, x_0)$ má smysl.
\end{definition}

Například, uvažujeme-li rovnici $x'(t) = x(t)$. Obecným řešením této rovnice je funkce $x(t) = ce^t$, vyřešením rovnice s počáteční podmínkou dostaneme řešicí funkci $\varphi(t; t_0, x_0) = x_0e^{t - t_0}$.

\begin{theorem}
	\label{thm-cont-dep}
	Množina $G$ z předchozí definice je otevřená a $\varphi$ je spojitá na $G$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Intermezzo: otevřenost $G$ znamená, že pro každé $(x_0, t_0) \in \Omega$ a $t$ existuje $r > 0$ takové, že pokud $\| (y_0, s_0) - (t_0, x_0) \|$, potom řešení $y$ procházející bodem $(y_0, s_0)$ je definované v bodech $(t - r, t + r)$, spojitost pak odpovídá tomu, že toto řešení bude po celou dobu ``blízko" toho původního.

	Bez újmy na obecnosti nechť $t_0 > t$. Vezměme $(t; t_0, x_0) \in G$, buď $x$ maximální řešení s počáteční podmínkou $x(t_0) = x_0$. Pak $[t_0, t] \subset D_x$ (řešení je definováno na celém tomto intervalu). Vezměme $\delta > 0$ tak malé, aby $[t_0, t + 2\delta] \subset D_x$ (to můžeme, neboť $D_x$ je otevřená) a zároveň $K_\delta := \{ (y, s) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : s \in [t_0 - \delta, t + \delta] \land |y(s) - x(s)| \leq \delta \} \subset \Omega$. Takto definovaná množina $K_\delta$ je kompaktní a tedy $f$ je na $K_\delta$ omezená konstantou $c_0$ (spojitá funkce na kompaktu) díky čemuž z lokální lipschitzovskosti plyne globální $L$-lipschitzovskost vzhledem k $x$.

	Dokážeme, že řešení ``blízko" toho původního neopustí ``rouru" $K_\delta$. Zvolme $\varepsilon > 0$ takové, aby $\varepsilon < \frac{\delta}{2(1 + c_0)e^{L(t - t_0 + 2\delta)}}$. Vezměme $y_0, s_0$ tak, aby $|s_0 - t_0| < \varepsilon$, $|x_0 - y_0| < \varepsilon$. Dále vezmeme $y$ maximální řešení s podmínkou $y(s_0) = y_0$. Chceme dokázat, že $y$ je definované aspoň na intervalu $[s_0, t + \delta]$ a platí $|y(s) - x(s)| \leq \delta$ pro všechna $s \in [s_0, t + \delta]$.

	Můžeme psát
	$$ |y(s_0) - x(s_0)| \leq |y(s_0) - x(t_0)| + |x(t_0) - x(s_0)| \leq $$
	$$ |y_0 - x_0| + |x'(\xi)| |t_0 - s_0| \leq (1 + c_0) \varepsilon, $$
	kde $\xi$ je konstanta z Lagrangeovy věty, která ve vícerozměrném prostoru platí pouze jako neostrá nerovnost.

	Dále odhadujme (použijeme Lemma \ref{lemma-sol-dist})
	$$ |y(s) - x(s)| \leq |y(s_0) - x(s_0)| e^{L|s - s_0|} \leq (1 + c_0) \varepsilon e^{L|s - s_0|} \leq (1+c_0)\varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta)}, $$
	kde uvažujeme pouze body $s$, pro které existuje $y(s)$ a $y$ leží v $K_\delta$ na $[s_0, s]$. Z volby $\varepsilon$ dostáváme navíc
	\begin{equation}
		\label{eq-estimate-thm-sol-fun}
		|y(s) - x(s)| \leq (1 + c_0) \varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta)} < \frac{\delta}{2}.
	\end{equation}

	Maximální řešení $y$ opustí kompakt (Věta \ref{thm-leaving-compact}) $K_\delta$ někde za časem $s_0$. Označme $\gamma$ čas prvního opuštění (přesněji řečeno infimum všech časů, kdy to už není v tom kompaktu). Na intervalu $[s_0, \gamma]$ platí odhad \eqref{eq-estimate-thm-sol-fun}, tedy $|y(\gamma) - x(\gamma)| < \frac{\delta}{2}$, z čehož máme $\gamma = t + \delta$, to znamená, že kompakt nemůžeme opustit jinak než za časem $t$. Tím jsme dokázali otevřenost $G$.

	Dokážeme spojitost $\varphi$ na $G$. Vezměme dva body $(t; t_0, x_0)$ a $(s; s_0, y_0)$ jako minule a uvažujme rozdíl
	$$ | \varphi(t;t_0, x_0) - \varphi(s, s_0, y_0) | \leq |\varphi(t; t_0, x_0) - \varphi(s; t_0, x_0)| + $$
	$$|\varphi(s; t_0, x_0) - \varphi(s; s_0, y_0)| \leq |x(t) - x(s)| + |x(s) - y(s)| \leq $$
	$$ c_0(t - s) + |x(s_0) - y(s_0)e^{L|s - s_0|}| \leq c_0|t - s| + (1 + c_0)e^{L|s - s_0|} |x_0 - y_0|,$$
	čímž jsme ukázali lipschitzovskost, a tedy spojitost $\varphi$ na $G$.
\end{proof}

Z hlediska praktických aplikací často uvažujeme rovnici \eqref{eq-ode} ve tvaru $x' = f(x, t, \lambda)$ závislém na hodnotě parametru $\lambda$. Přidejme druhou rovnici $\lambda' = 0$ a počáteční podmínky $x(t_0) = 0$ a $\lambda(t_0) = \lambda_0$, čímž jsme závislost na parametru převedli na závislost na počáteční podmínce (v případě, že $f$ je závisí na $\lambda$ lipschitzovsky).

Označme pro účely následující věty $\pdv{}{w}$ derivaci ve směru $w \in \mathbb{R}^n$ dle proměnné $x_0$.

\begin{theorem}
	Nechť $f \in C_x^1(\Omega), w \in \mathbb{R}^n$. Potom $\pdv{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$ existuje v každém bodě $G$. Označíme-li $x(t) = \varphi(t, t_0, x_0)$ a $u(t) = \pdv{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$, pak funkce $u$ je řešením rovnice ve variacích
	\begin{equation}
		\label{eq-thm-diff-dep}
		u' = \nabla_x f(x(t), t)u, u(t_0) = w.
	\end{equation}
\end{theorem}

\hfill \textit{konec 4. přednášky (14.3.2025)}

\begin{proof}
	Větu dokážeme za silnějšího předpokladu $f \in C_x^2(\Omega)$.

	Vezmeme pevně bod $(x_0, t_0)$ a víme, že tímto bodem prochází právě jedno maximální řešení, označíme ho $x(t)$. Dále označme $A(t) = \nabla_x f(x(t), t)$. Potom $A(t)$ je matice $n \times n$. Vezmeme pevné $w \in \mathbb{R}^n$ a označme $u(t)$ maximální řešení počáteční úlohy \eqref{eq-thm-diff-dep}. 

	Dle Věty \ref{thm-unique-sol-lineq} existuje právě jedno řešení a je definované na celém intervalu, kde je definovaná $A(t)$. Chceme dokázat, že $u(t) = \pdv*{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$.
	Z definice máme, že
	$$ \pdv*{\varphi}{w}(t, t_0, x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} (\varphi(t, t_0, x_0 + hw) - \varphi(t, t_0, x_0). $$
	Vezmeme $t$ pevné tak, aby $(t, t_0, x_0) \in G$, tedy $x(t)$ je dobře definované. Vezmeme dost malé $h$ tak, aby $\varphi(t, t_0, x_0 + hw)$ bylo definované. Položme $y_h(t) := \varphi(t, t_0, x_0 + hw)$.
	
	Definujeme funkci $\eta_h(t) = \frac{1}{h}(y_h(t) - x(t)) - u(t)$. Ukážeme, že $\lim_{h \rightarrow 0} \eta_h(t) = 0$. Pišme
	$$ \eta'_h(t) = \frac{1}{h}(y_h'(t) - x'(t)) - u'(t) = \frac{1}{h} (f(y_h(t), t) - f(x(t), t)) - \nabla_x f(x(t), t) u(t). $$
	Použijeme Taylorův rozvoj prvního řádu pro funkci $f$, dostaneme
	$$ \eta'_h(t) = \frac{1}{h} (\nabla_x f(x(t), t) (y_h(t) - x(t)) + $$ 
	$$ \frac{1}{2}(y_h(t) - x(t))^T \pdv*[order={2}]{f}{x}(x(t), t) (y_n(t) - x(t)) - \nabla_x f(t, x(t)) u(t). $$
	Tedy máme, že 
		$$ \eta_h'(t) = \nabla_x f(x(t), t) \left[\frac{1}{h}(y_h(t) - x(t)) - u(t)\right] + \frac{1}{h} z_n(t).$$
	Potom $\eta_h'(t) = A(t)\eta_h(t) + z_n(t)$.

	Pro $h$ malé je vše v $K_\delta$ z Věty \ref{thm-cont-dep}. Na $K_\delta$ jsou $\nabla_x f$ a $\nabla^2_x f$ omezené $\leq M$. Zde předpokládáme, že $f \in C_x^2(\Omega)$.
	Potom z Lemmatu \ref{lemma-sol-dist} můžeme psát
	$$ \| z_h(t) \| \leq \frac{1}{2} M \| y_h(t) - x(t) \|^2 \leq \frac{1}{2}M \|y_h(t_0) - x(t_0) \|^2 e^{2M|t - t_0|} \leq Ch^2 \|w\|^2. $$

	Uvědomíme si, že $\eta_h(t_0) = 0$ a napíšeme integrální rovnici odpovídající diferenciální rovnici pro $\eta'_h$
	$$ \eta_h(t) = \eta_h(t_0) + \int_{t_0}^t A(s) \eta_h(s) + z_n(s) ds, $$
	Tedy $\| \eta_h(t) \| \leq \left| \int_{t_0}^t M \| \eta_h(s) \| + Chds \right| = C|t - t_0| h + \left|\int_{t_0}^t M \| \eta_h(s) ds \right|$.
	Použijeme Gronwallovo lemma (Lemma \ref{lemma-gronwall}), dostaneme.
	$$ \| \eta_h(t) \| \leq \tilde{C} h e^{M|t - t_0|}, $$
	tedy $\eta_h(t) \rightarrow 0$ pro $h \rightarrow 0$, čímž je důkaz ukončen.
\end{proof}

Ukážeme si jednu aplikaci následující věty pro výpočet derivace řešící funkce.

\begin{example}
	Mějme rovnici $x' = x$, její řešící funkce má tvar $\varphi(t, t_0, x_0) = x_0 e^{t - t_0}$. Potom $\odv*{\varphi(t, t_0, x_0)}{x} = e^{t - t_0}$. Totéž můžeme spočítat z předchozí věty. Hledaná funkce řeší diferenciální rovnici $u' = u$ s počáteční podmínkou $u(t_0) = t$. Jejím řešením je $e^{t - t_0}$, což jsme chtěli dokázat.
\end{example}

Za uvedených předpokladů dokonce $\odv{\varphi}{w}$ závisí spojitě na $x_0$ tj. řešicí funkce je diferencovatelná (má totální diferenciál) vzhledem k $x_0$. Lze též ukázat, že $\varphi$ je diferencovatelná vůči $t$ a $t_0$.
