\section{Lineární rovnice s konstantními koeficienty}

\begin{definition}
	\textit{Lineární homogenní rovnice s konstantními koeficienty} a s maticí $A \in \R^{n\times n}$ je rovnice
	\begin{equation}\label{eq-linhom-const}x' = Ax.\end{equation}
\end{definition}

Myšlenkou studia těchto rovnic je analogie s rovnicí $x' = ax$ pro $a \in \R$, kde řešením je $x(t) = x_0e^{at}$. Ukážeme, že rovnice \eqref{eq-linhom-const} má řešení $x(t) = e^{At} x_0$.

\begin{definition}
	\textit{Maticovou exponenciálu} definujeme předpisem
	$$ e^A = \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!} A^k $$
	s konvencí $A^0 = I$.
\end{definition}

Řada s definice maticové exponenciály je dobře definovaná, neboť $\|\frac{1}{k!}A^k\| \leq \frac{1}{k!}\|A\|^k$, přičemž $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}c^k = e^c$ konverguje pro každé $c \in \R$. Navíc z tohoto odhadu dostáváme $\|e^A\| \leq e^{\|A\|}$.

\begin{example}
	Nechť $A = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$. Potom
		$$e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k = \sum_{k=0}^\infty \begin{pmatrix}\frac{2^k}{k!} & 0 \\ 0 & \frac{1^k}{k!}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^2 & 0\\0 & e\end{pmatrix}.$$
\end{example}

\begin{theorem}
	Nechť $U(t) = e^{tA}$. Pak $U(t)$ je fundamentální matice rovnice \eqref{eq-linhom-const} a platí $U(0) = I$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Řada konverguje pro všechny matice, tedy i pro matici $tA$, což znamená, že $U$ je dobře definovaná. Platí
	$$[U(t)]_{ij} = \left[\sum_{k=0}^\infty \frac{t^kA^k}{k!}\right]_{ij} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [A^k]_{ij} t^k. $$
	Toto je mocninná řada s poloměrem konvergence $\infty$, tedy ji můžeme derivovat člen po členu (nultý člen se zderivuje na nulu).
	$$U'(t) = \sum_{k=1}^\infty \frac{A^k}{k!} kt^{k-1} = \sum_{k=1}^\infty A \frac{1}{(k-1)!} A^{k-1}t^{k-1} = Ae^{tA} = A U(t).$$
	Vytknutí $A$ můžeme provést, neboť operátor násobení maticí $A$ je spojitý.

	Závěr ohledně $U(0)$ plyne z toho, že pro $t = 0$ je první člen sumy roven jednotkové matici a všechny ostatní jsou nulové.
\end{proof}

Z obecného tvaru řešení dostáváme, že $x(t) = \Phi(t) \Phi^{-1}(t_0) x_0$, přičemž $t_0 = 0$ a tedy $U(0) = U^{-1}(0) = I$. Z toho již plyne $x(t) = e^{tA} x_0$.

\begin{theorem}[Vlastnosti maticové exponenciály]
	Platí následující vlastnosti maticové exponenciály
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $e^{aI} = e^a I$ pro $a \in \R$;
		\item pokud $AB = BA$, pak $e^{A+B} = e^Ae^B$;
		\item $e^{C^{-1}AC} = C^{-1}e^AC$;
		\item $e^{-A} = (e^A)^{-1}$, speciálně $e^A$ je vždy regulární.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	Budeme dokazovat postupně.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Dosazením dostáváme
			$$ e^{aI} = \sum_{k=0}^\infty \frac{a}{k!} I = I \sum_{k=1}^\infty \frac{a}{k!} Ie^a. $$
		\item Nejprve ukážeme, že $Be^{tA} = e^{tA}B$. To plyne z toho, že
			$$Be^{tA} = B\sum_{k=0}^\infty \frac{t^kA^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty B\frac{t^kA^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^kA^k}{k!} B = e^{tA}B. $$
			Potom z definice $U(t) = e^{tA}e^{tB}$ a $U'(t) = Ae^{tA}e^{tB} + e^{tA}Be^{tB} = (A + B)U(t)$. Tedy $U(t)$ splňuje rovnici $x'(t) = (A+B)x(t)$, kterou také splňuje $\tilde U(t) = e^{(A+B)t}$. Z jednoznačnosti řešení této rovnice dostáváme $e^Ae^B = e^{A+B}$.
		\item Z definice rozepíšeme
			$$ e^{C^{-1}AC} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} (C^{-1}AC)^k = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} C^{-1}A^kC = $$
			$$ C^{-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}A^k C = C^{-1}e^A C. $$
		\item Okamžitě plyne z (ii), neboť $e^A e^{-A} = e^0 = I$
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}[Variace konstant pro \eqref{eq-linhom-const}]
	\label{thm-variation-hom-const}
	Nechť $A \in \R^{n \times n}$, $g(t): (a, b) \to \R^n$ je spojitá, $t_0 \in (a, b)$ a $x_0 \in \R^n$ jsou dána. Potom řešení rovnice
	$$ x' = Ax + g(t), x(t_0) = x_0$$
	má tvar
	$$ x(t) = e^{(t - t_0)A}x_0 + \int_{t_0}^t e^{(t - s)A} g(s) ds. $$
\end{corollary}

Další otázka, kterou se budeme zabývat, je hledání maticové exponenciály. K tomu použijeme takzvaný Jordanův kanonický tvar matice.

\begin{theorem}
	Nechť $A \in \R^{n \times n}$, $J$ její Jordanův kanonický tvar, $A = VJV^{-1}$ a $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ je diagonála $J$. Potom $e^{tA} = Ve^{tJ}V^{-1}$, kde matici $e^{tJ}$ definujeme jako $diag(e^{t\lambda_1}, \dots, e^{t\lambda_n})$, přičemž $P(t)$ je blokově diagonální matice se stejně velkými a stejně uspořádanými bloky jako $J$ a blok velikosti $k$ matice $P(t)$ je roven
	$$ \begin{pmatrix}
	1 & t & \frac{1}{2}t^2 & \cdots & \frac{1}{(k-1)!}t^{k-1} \\
	0 & 1 & t & \cdots & \frac{1}{(k-2)!}t^{k-2} \\
	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		0 & 0 & 0 & \cdots & 1
	\end{pmatrix}$$
\end{theorem}

\begin{corollary}
	\label{corollary-existence-of-constant}
	Buď $a = \max\{\Re \lambda: \lambda \in \sigma(A)\}$ a $m$ velikost největší Jordanovy buňky příslušné k vlastnímu číslu $\Re \lambda = a$.
	Pak existuje $M > 0$, že $\|e^{tA}\| \leq Mt^{m-1}e^{at}$ pro všechna $t \geq 0$. Speciálně, pro všechna $\tilde a > a$ existuje $\tilde M > 0$ takové, že $\|e^{tA}\| \leq \tilde M e^{t\tilde a}$.
\end{corollary}

\hfill \textit{konec 7. přednášky (4.4.2025)}

\begin{definition}
	Pro matici $A \in \R^{n \times n}$ a její spektrum $\sigma(A)$ definujeme $\sigma_-(A) = \sigma(A) \cap \{\Re < 0\}$, $\sigma_0(A) = \sigma(A) \cap \{\Re = 0\}$, $\sigma_+(A) = \sigma(A) \cap \{\Re > 0\}$. Příslušné podprostory generované příslušnými (zobecněnými) vlastními vektory značíme $X_-(A), X_0(A), X_+(A)$ (nazýváme je \textit{stabilní, centrální} a \textit{nestabilní} podprostor).
\end{definition}

Zřejmě $\R^n = X_+(A) \oplus X_-(A) \oplus X_0(A)$. Tyto prostory jsou invariantní vzhledem k $A$ a též vzhledem k $e^{tA}$.

\begin{theorem}[Asymptotické chování podprostorů]
	Nechť $A$ je daná matice. Potom existují kladná $\alpha, \beta, M$ a $c$ taková, že platí:
	\begin{enumerate}
		\item Pokud $x_0 \in X_-(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq ce^{-\alpha t}|x_0|$ pro každé $t \geq 0$.
		\item Pokud $x_0 \in X_+(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq ce^{\beta t}|x_0|$ pro každé $t \leq 0$.
		\item Pokud $x_0 \in X_0(A)$, pak $|e^{tA}x_0| \leq c(1 + |t|)^M|x_0|$ pro každé $t \in \R$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	Nejdříve nechť $x_0 \in X_-(A)$. Potom $x_0 = \sum_{i=1}^k a_i v_i$, kde $v_i$ jsou zobecněné vlastní vektory příslušné $\lambda_i \in \sigma_-(A)$.
	Dále máme, že $e^{tA} x_0 = Ve^{tJ}V^{-1} x_0$. Spočteme $V^{-1}x_0$. Jestliže $v$ je sloupec matice $V$, potom $V^{-1}v$ je jeden ze sloupců jednotkové matice, tedy má tvar $(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)^T$.
	Tedy $V^{-1}x_0$ má nenulové hodnoty jen v řádcích příslušných $\Re \lambda < 0$. Můžeme odhadovat normu
	$$ \|e^{tA} x_0 \| \leq \|V\|\|e^{tJ} \text{: řádky s } e^{-at}\| \| V^{-1} x_0\| \leq C e^{-\alpha t} \|x_0\|. $$
	Zde jsme využili faktu, že ``polynom" $e^{-\lambda t} t^k$ lze odhadnout $e^{-\lambda t} t^k \leq e^{(-\lambda + \varepsilon)t}c$ pro vhodná $c$ a $\varepsilon$.

	Důkaz ostatních implikací je podobný.
\end{proof}

V předchozí větě platí i opačná implikace, a to ve smyslu, že uvedené vlastnosti charakterizují dané podprostory.
