\section{Jednoznačnost řešení}

V této kapitole se budeme věnovat otázce jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic. V praxi to často požadujeme, například proto, aby nějaká simulace byla deterministická.

\begin{definition}
	Řekneme, že rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost \textit{globální jednoznačnosti}, jestliže pro libovolná řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0)$ pro nějaké $t_0 \in I \cap J$, potom $x(t) = y(t)$ pro všechna $t \in I \cap J$.

	Řekneme, že rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost \textit{lokální jednoznačnosti}, jestliže pro libovolná řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0)$ pro nějaké $t_0 \in I \cap J$ existuje $\delta > 0$ takové, že $x(t) = y(t)$ pro všechna $t \in (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$.
\end{definition}

\begin{theorem}
	Rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost globální jednoznačnosti právě tehdy, když má vlastnost lokální jednoznačnosti.
\end{theorem}
\begin{proof}
	Implikace směrem doprava je triviální (funkce, které se rovnají na celé množině se nutně musí rovnat i na nějakém okolí zkoumaného bodu).

	Pro důkaz opačné implikace nechť máme dvě řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0) = x_0$ pro nějaké $t_0 \in I \cap J$. Bez újmy na obecnosti nechť $I \cup J = (a, b)$. Položme $M = \{t : x(t) = y(t)\}$. Tato množina je díky předpokladu neprázdná, nechť $c := \sup M$.

	Pro spor předpokládejme, že $c < b$. Potom platí $x(c) = \lim_{t\rightarrow c^-} x(t) = \lim_{t\rightarrow c^-} y(t)$, což se díky spojitosti $y$ rovná $y(c)$. Tedy $c$ je maximum $M$. Ale díky lokální jednoznačnosti existuje okolí bodu $(x(c), c)$, na kterém platí $x = y$. Tedy $x(c + \delta) = y(c + \delta)$ pro nějaké $\delta > 0$, což je spor s tím, že $c = \sup M$.
\end{proof}

\begin{definition}
	Funkce $f$ se nazývá \textit{lokálně lipschitzovská vzhledem k $x$} v $\Omega$, jestliže pro každé $(x_0, t_0) \in \Omega$ existují $L$ a $\delta > 0$ takové, že
	$$ | f(x, t) - f(y, t) | \leq L|x - y|$$
	pro všechna $(x, t), (y, t) \in U(x_0, \delta) \times (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$.
\end{definition}

\begin{theorem}
	Nechť $f$ je lokálně lipschitzovská vzhledem k $x$ v $\Omega$. Potom rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost lokální jednoznačnosti.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Volme $(x_0, t_0) \in \Omega$ a dvě řešení $(x, I), (y, J)$ taková, že $x(t_0) = y(t_0) = x_0$. Vezmeme $\delta_1 > 0$ tak, aby $f$ byla lipschitzovská na $\delta_1$-okolí $(x_0, t_0)$.
	Nechť $\delta \leq \frac{1}{2L}$ je takové, že navíc $\delta < \delta_1$ a $t$ takové, aby $(x(t), t), (y(t), t) \in U(x_0, \delta) \times (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$. Potom platí
	$$ \| x(t) - y(t) \| = \| x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (x_0 + \int_{t_0}^t f(y(s),s) ds ) \| \leq $$
	$$ \left| \int_{t_0}^t \| f(x(s), s) - f(y(s), s) \| ds\right| \leq \left| \int_{t_0}^t L\|x(s) - y(s)\| ds \right| \leq L\cdot\gamma\cdot\delta \leq \frac{\gamma}{2}$$
	pro $\gamma := \sup \| x(s) - y(s) \|$. To platí pro všechna $t$, tedy $\gamma = \sup \|x(t) - y(t)\| \leq \frac{\gamma}{2}$, z čehož plyne $\gamma = 0$, což implikuje rovnost $x(t)$ a $y(t)$.
\end{proof}

Zavedeme značení $f \in C_x^1(\Omega)$, jestliže $\pdv{f}{x_i}$ existují a jsou spojité v $\Omega$ pro každé $i$.

\begin{lemma}
	Nechť $f \in C_x^1(\Omega)$. Potom $f$ je lokálně lipschitzovská vzhledem k $x$ v $\Omega$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Mějme $(x_0, t_0) \in \Omega$. Nechť $\delta > 0$ je takové, že množina
	$$M = \overline{U(x_0, \delta) \times (t_0 - \delta, t_0 + \delta)}$$ je podmnožinou $\Omega$. Z kompaktnosti $M$ máme, že parciální derivace $\pdv{f}{x_i}$ jsou omezené konstantou $K$.

	Dále mějme dva body $(x, t),(y,t) \in M$. Potom $|f(x,t) - f(y, t)| = |f(x + 0(y - x), t) - f(x + 1(y - x)t)| = |\left[f(x+s(y - x), t)\right]^1_0| = |\int_0^1 \odv*{f(x+s(y-x),t)}{s} ds|$. Pro derivaci $f$ platí $\odv*{f(x + s(y - x), t)}{s} = \sum_{i=1}^n \pdv{f}{x_i}(x + s(y - x), t) (y_i - x_i)$. Z toho máme, že
	$$\left|\int_0^1 \odv*{f(x+s(y-x),t)}{s} ds\right| \leq \int_0^1 \sum_{i=1}^n K|y_i - x_i| ds = \sum_{i=1}^n K \max_i |y_i - x_i| = $$
	$$n K \max |y_i - x_i| \leq nK | y - x |,$$
	kde poslední nerovnost plyne z faktu, že $|y -x| = \sqrt{\sum_{i = 1}^n |y_i - x_i|^2}$.

	Tedy $f$ je lokálně lipschitzovská s konstantou $n \cdot K$.
\end{proof}

\textit{Rule of thumb (just for fun)}: platí $f$ spojitá $\Rightarrow$ existuje řešení, $f \in C^1 \Rightarrow$ řešení je určeno jednoznačně.

\hfill \textit{konec 2. přednášky (28.2.2025)}
