\section{Lineární rovnice}

\begin{definition}
	\textit{Normu matice} $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ definujeme
	$$ \| A \| = \sup \{ |Ax|; x \in \mathbb{R}^n, |x| \leq 1 \}, $$
	kde $|x| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ je norma vektoru $x \in \mathbb{R}^n$.
\end{definition}

\begin{theorem}[Vlastnosti normy matice]
	\label{thm-matrix-norm-properties}
	Nechť $A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$. Potom:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\| A \| \geq 0$ a $\|A \| = 0$ právě když $A = 0$.
		\item $\| aA \| = |a| \| A \|$ pro všechna $a \in \mathbb{R}$.
		\item $\| A + B \| \leq \|A\| + \|B\|$.
		\item $\| AB \| \leq \|A\|\|B\|$.
		\item $|Ax| \leq \|A\| |x|$ pro $x \in \mathbb{R}^n$.
		\item Je-li $A$ regulární, pak $Ay \geq \frac{|y|}{\|A^{-1}\|}$ pro $y \in \mathbb{R}^n$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	První tři vlastnosti říkají, že operátor $\|\cdot\|$ je norma (cvičení).

	Dokážeme vlastnost (v). Případ $x = 0$ je triviální, nechť tedy $x \neq 0$. Položme $y = \frac{x}{|x|}$. Potom můžeme psát
	$$ |Ax| = |A(|x|y)| = \left||x|Ay\right| = |x| |Ay| \leq |x| \|A\|. $$

	K důkazu vlastnosti (iv) můžeme psát
	$ |ABx| \leq \|A\|\|B\||x| $, kde jsme dvakrát použili již dokázanou vlastnost (v).
	Potom
	$$ \|AB\| = \sup_{|x| \leq 1} |ABx| \leq \sup_{|x| \leq 1} \|A\|\|B\||x| \leq \|A\|\|B\|\cdot1. $$

	Nakonec, pro vlastnost (vi) položme $v := Ay$, tedy $y = A^{-1} v$. Potom
	$$ |y| = |A^{-1} v| \leq \|A^{-1}\| |v| = \|A^{-1}\| |Ay|, \textrm{ tedy } |Ay| \geq \frac{|y|}{\|A^{-1}\|}, $$
	čímž je důkaz ukončen.
\end{proof}

\begin{definition}
	\textit{Lineární rovnicí} rozumíme rovnici
	\begin{equation}
		\label{eq-linear-ode}
		x' = A(t)x + g(t), x(t_0) = x_0,
	\end{equation}
	kde $A(t): (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}, g(t): (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^n$ jsou spojité.
\end{definition}

V přednášce MA3 jste již studovali tento typ rovnic, teď se však budeme věnovat obecnějšímu případu, kdy $A$ a $g$ závisí na $t$.

\begin{theorem}
	\label{thm-unique-sol-lineq}
	Nechť $t_0 \in (a, b), x_0 \in \mathbb{R}^n$ je dáno. Pak existuje jediné řešení rovnice \eqref{eq-linear-ode} definované na celém $(a, b)$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Rovnice \eqref{eq-linear-ode} je ekvivalentní rovnici \eqref{eq-ode}, kde $f(x, t) = A(t)\cdot x + g(t)$. Můžeme psát
	$$ |f(x, t) - f(y, t)| = |A(t)x - A(t)y| \leq \|A(t)\| |x - y|. $$
	Funkce $A(t)$ je omezená na kompaktních intervalech, tedy $f$ je lipschitzovská. Tedy pro každou počáteční podmínku existuje právě jedno maximální řešení. Dokážeme, že toto řešení je definované na celém $(a, b)$.

	\hfill \textit{konec 5. přednášky (21.3.2025)}

	Předpokládejme, že řešení není definované na celém $(a, b)$. Potom existují $\alpha, \beta \in (a, b)$ takové, že řešení je definováno na $(\alpha, \beta)$. Toto řešení musí opustit každý kompakt, tedy mimo jiné i $K = [t_0, \beta]\times \overline{B(0, R)}$, kde $R$ je dostatečně velké.
	Řešení $x$ splňuje 
	$$ |x(t)| \leq |x(t_0)| + \int_{t_0}^t (\| A(s)\| |x(s)| + |g(s)|) ds \overset{\begin{subarray}{c}\|A(s)\| \leq L\\|g(s)| \leq \tilde{C}\\|x(t_0)|=C\end{subarray}}{\leq} C + \int_{t_0}^t (L|x(s)| + \tilde C) ds \leq $$
	Z Gronwallova lemmatu dostaneme
	$$ \leq C + \tilde{C}(\beta - t_0) + \int_{t_0}^t L|x(s)| ds \implies |x(t)| \leq \underbrace{C + \tilde C(\beta - t_0) e^{L(\beta - t_0)}}_{R}. $$
	Došli jsme ke sporu s Větou \ref{thm-leaving-compact}, neboť řešení $x$ nemůže opustit kompakt $K$.
\end{proof}

Důležitá poznámka: řešení existuje globálně na oboru spojitosti $A(t), g(t)$. Ve skutečnosti předchozí věta i pro nelineární rovnice $x' = f(x, t)$ se sublineární pravou stranou, tj. pokud $|f(x, t)| \leq a(t)|x| + g(t)$, kde $a(\cdot), g(\cdot)$ jsou spojité.

\begin{definition}
	\textit{Homogenní rovnicí} rozumíme rovnici \eqref{eq-linear-ode} pro $g(t) \equiv 0$, tj.
	\begin{equation}
		\label{eq-homogenous-linear-ode}
		x' = A(t)x, x(t_0) = x_0.
	\end{equation}
\end{definition}

Použijeme znalosti lineární algebry k tomu, abychom mohli formalizovat postup řešení lineárních ODR.

\begin{theorem}
	Množina $\mathcal{R}_H$ řešení homogenní rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode} bez zadané počáteční podmínky tvoří $n$-dimenzionální podprostor $C^1((a, b), \mathbb{R}^n)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Jádro lineárního zobrazení $Lx := x' - Ax$ je vektorový prostor. Dokážeme, že má dimenzi $n$. Nechť $i = 1,\dots,n$ a $x(t_0) = e_i$, pro tuto počáteční podmínku dostaneme řešení $x^i$. Potom $\{x^1, \dots, x^n\}$ tvoří bázi prostoru všech řešení. Skutečně, tyto vektory jsou lineárně nezávislé, mějme lineární kombinaci $c_1 x^1 + \dots + c_n x^n = 0$, speciálně v čase $t_0$ máme $c_1 e^1 + \dots + c_n x^n$, což implikuje, že $c_i = 0$ pro každé $i$. Navíc vezmeme libovolné řešení $z' = A(t) z$, opět zkoumejme stav v čase $t_0$. Máme $z(t_0) = d_1e^1 + \dots d_ne^n$ pro vhodná $d_1, \dots, d_n$. Definujme $y(t) := d_1 x^1(t) + \dots + d_n x^n(t)$, tedy $y$ řeší rovnici $y' = Ay$ a $y(t_0) = z(t_0)$, z čehož díky jednoznačnosti řešení dostáváme $y = z$. Nalezli jsme $n$-prvkovou bázi, tedy prostor $\mathcal{R}_H$ má dimenzi $n$.
\end{proof}

\begin{definition}
	\textit{Fundamentální systémem} pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode} rozumíme libovolnou bázi $\mathcal{R}_H$. Matice, jejíž sloupce tvoří prvky libovolného fundamentálního systému, nazýváme \textit{fundamentální maticí} pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode}.
\end{definition}

Uvedeme si několik poznámek k definici fundamentální matice. Je-li $\Phi(t)$ nějaká fundamentální matice, pak
\begin{itemize}
	\item $\Phi(t)$ splňuje ``maticový tvar \eqref{eq-homogenous-linear-ode}", tedy $\Phi'(t) = A\Phi(t)$.
	\item $\Phi(t)$ je regulární pro každé $t \in (a, b)$.
	\item Obecné řešení \eqref{eq-homogenous-linear-ode} má tvar $\Phi(t) c$, kde $c \in \mathbb{R}^n$.
	\item $\tilde{\Phi}(t) := \Phi(t) \Phi^{-1}(t_0)$ je také fundamentální matice, která navíc splňuje $\tilde{\Phi}(t_0) = I$.
\end{itemize}

\begin{theorem}[Variace konstant]
	\label{thm-variation-of-constants}
	Nechť $\Phi(t)$ je libovolná fundamentální matice pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode}. Potom řešení nehomogenní rovnice \eqref{eq-linear-ode} lze napsat ve tvaru
	$$ x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x_0 + \Phi(t) \int_{t_0}^t \Phi^{-1}(s) g(s) ds $$
	pro $t \in (a, b)$
\end{theorem}

\begin{proof}
	Zderivováním dostaneme $x' = A(t) x + g(t)$, dále stačí ověřit počáteční podmínku dosazením.
\end{proof}

\begin{definition}
	\textit{Wronského determinant} (Wronskián) rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode} je reálná funkce $w(t) := \det(\Phi(t))$, kde $\Phi$ je libovolná fundamentální matice příslušné rovnice.
\end{definition}

\begin{theorem}[Liouvilleova formule]
	\label{thm-liouville-formula}
	Nechť $\Phi(t)$ je maticové řešení \eqref{eq-homogenous-linear-ode} a nechť $w(t) = \det \Phi(t)$. Potom
	$$ w(t) = w(t_0) \exp \left( \int_{t_0}^t \tr A(s) ds \right), $$
	kde $\tr A$ je stopa matice $A$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Dokazovaná rovnost je ekvivalentní s
	$$ w'(t) = w(t_0) \exp\left( \int_{t_0}^t \tr A(s) ds \right) \tr A(t) $$
	a tedy
	$$ w'(t) = \tr A(t) w(t), w(t_0) = w(t_0) $$
	Dále
	$$ \odv*{\det \Phi(t)}{t} = \odv*{\sum_\sigma (-1)^{\sgn \sigma} \Phi_{1, \sigma(1)}(t) \dots \Phi_{n, \sigma(n)}(t)}{t} = $$
	$$ \sum_{k = 1}^n \sum_\sigma (-1)^{\sgn \sigma} \overbrace{\Phi \dots \Phi}^{\Phi' \text{ je v $k$-tém řádku }} = \sum_{k=1}^n \det D_k, $$
	kde $D_k$ je matice $\Phi$ se zderivovaným $k$-tým řádkem.

	\hfill \textit{konec 6. přednášky (28.3.2025)}

	Dále si uvědomíme, že $\Phi'(t) = A(t)\Phi(t)$, přičemž násobení maticí zleva provádí řádkové úpravy na matici $\Phi(t)$. Konkrétně $\varphi_k^{j\prime}(t) = \sum_{i=1}^n a_{ki}(t)\varphi_i^j(t)$.

	Platí $\det D_k = A_{kk}(t) \det \Phi(t)$ (vlastnosti determinantu). Z toho dostáváme, že $w'(t) = \det \Phi(t) \sum_{k=1}^n A_{kk}(t) = w(t) = \tr A(t)$.
\end{proof}

Pokud $\tr A(t) > 0$, potom wronskián roste, $=0$ množina možných hodnot řešení zachovává objem a pro $\tr A(t) <0$ v průběhu času objem klesá.

\begin{example}
	Řešme rovnici
	$$ \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}' = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}. $$
		Dostáváme $x' = 2x, y' = -2y$, tedy $x = x(0)e^{2t}, y = y(0)e^{-2t}$. Nechť $x(0), y(0) \in [0, 1]$. Potom pro fixní $t_1 > 0$ dostáváme $x(t_1) \in [0, e^{2t_1}], y(t_1) \in [0, e^{-2t_1}]$. Obsah tohoto obdélníku je $e^{2t_1}e^{-2t_1} = 1$. Tedy, obsah je konstantní, což odpovídá pozorování z věty, neboť stopa matice ze zadání je nulová.
\end{example}

\begin{example}
	Mějme rovnici $x' = f(t, x)$. Ukážeme si, že roli stopy matice z předchozího příkladu tu hraje divergence $f$ v proměnné $x$.
\end{example}
