\section{Lokální existence řešení}

Diferenciální rovnice nás doprovází v každé oblasti lidského života. Neexistuje obecná teorie, která by nám umožnila vyřešit všechny diferenciální rovnice najednou. Musíme se proto omezit jen na část rovnic.

\begin{convention}
V této přednášce budeme studovat systém rovnic
\begin{equation}
	\label{eq-ode}
	x' = f(x, t)
\end{equation}
	za trvalého předpokladu $\Omega \in \mathbb{R}^{n+1}$ otevřená, $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ spojitá.
\end{convention}

\begin{definition}
	Buď $I$ otevřený interval. Funkci $x(t): I \rightarrow \mathbb{R}^n$ nazveme \textit{řešením} diferenciální rovnice (\ref{eq-ode}) v $\Omega$, jestliže pro všechna $t \in I$ platí
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(x(t),t)\in \Omega$,
		\item existuje vlastní $x'(t)$,
		\item $x'(t) = f(x(t),t)$.
	\end{enumerate}
\end{definition}

Takto definované řešení je nutně spojité a má spojitou derivaci (je třídy $C^1$), tzv. klasické řešení. Dále si poznamenejme, že platí tzv. princip nalepování: Pokud máme $x(t)$ řešení na $(a, t_0)$ a na $(t_0, b)$, pak už je řešením na celém $(a, b)$. To plyne z toho, že $x'_- (t_0) = \lim_{t\rightarrow t_0^-} x'(t) = \lim_{t\rightarrow t_0^-} f(x(t), t) = f(x(t_0), t_0)$, přičemž tatáž rovnost platí i pro derivaci zprava.

\begin{lemma}
	Nechť $I$ je otevřený interval, $x(t): I \rightarrow \mathbb{R}^n$ spojitá splňující $(x(t), t) \in \Omega$ pro každé $t \in I$ a nechť $t_0 \in I$. Potom je ekvivalentní
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $x$ je řešení (\ref{eq-ode}) splňující $x(t_0) = x_0$,
		\item pro každé $t \in I$ platí $x(t) = x_0 + \int^t_{t_0} f(x(s), s)ds$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Víme, že platí $x'(s) = f(x(s), s)$ pro všechna $s \in I$, což je spojitá funkce, kterou můžeme zintegrovat na $[t_0, t]$.
		Potom z Newtonova-Leibnizova vzorce máme $x(t) - x(t_0) = \int_{t_0}^t x'(s) ds = \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$. Tedy $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$.

		Pro důkaz opačné strany si uvědomíme, ze pro každé $t\in I$ je pravá strana diferencovatelná, tedy $x'(t) = f(x(t), t)$ a po dosazení $t = t_0$ dostáváme $x(t_0) = x_0$.
	\end{proof}
\end{lemma}

Teď si zadefinujeme několik pojmů, které charakterizují množiny funkcí, které se chovají jistým způsobem podobně nebo stejně.

\begin{definition}
	Řekneme, že funkce množiny $M \subset C(K, \mathbb{R}^n)$ jsou
	\begin{enumerate}
		\item \textit{stejně spojité}, jestliže pro každé $x \in K$ a každé $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že $\| f(x) - f(y) \| < \epsilon$ pro všechna $y \in (x - \delta, x + \delta)$ a všechny $f \in M$.
		\item \textit{stejně omezené}, jestliže existuje $C > 0$ takové, že $\|f\| \leq C$ pro všechna $f \in M$.
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}{\textbf{(Arzela-Ascoli)}}
	\label{thm-arzela}
	Nechť funkce $x_n(t)$ jsou stejně omezené a stejně spojité na $[0, T]$. Potom z nich lze vybrat stejnoměrně konvergující posloupnost. \textit{(bez důkazu)}
\end{theorem}

Následující věta nám řiká, že na nějakém okolí libovolného bodu existuje řešení zkoumané diferenciální rovnice.

\begin{theorem}{\textbf{(Peano)}}
	\label{thm-peano}
	Nechť $(x_0, t_0) \in \Omega$. Pak existuje $\delta > 0$ a funkce $x(t): (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \rightarrow \mathbb{R}^n$, která je řešením (\ref{eq-ode}) a splňuje $x(t_0) = x_0$.
	\begin{proof}
		Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení:
		\begin{lemma}
			Pokud $\Omega = \mathbb{R}^{n+1}$ a $f$ je omezená na $\Omega$, pak pro každé $T > 0$ existuje řešení (\ref{eq-ode}) na $(t_0 - T, t_0 + T)$ splňující $x(t_0) = x_0$.
			\begin{proof}
				Řešme ``porušenou" úlohu $(P_\lambda)$: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ a $x(t) = x_0$ pro $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
				Na $I_1 := (t_0, t_0 + \lambda]$ definujeme $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda, s) ds$.
				Na $I_2 := (t_0 + \lambda, t_0 + 2\lambda]$ definujeme $x(t)$ obdobně a indukcí pokračujeme až do nekonečna.
				Tímto je ``porušená" úloha vyřešena na $[t_0-\lambda, t_0 + T]$.

				Položme $\lambda = \frac{1}{n}$ pro $n = 1,2,\dots$. Pišme dále jen $x_n$ namísto $x_{1/n}$, tedy máme posloupnost funkcí. 
				Ukážeme, že jsou stejně spojité a stejně omezené.
				Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0  + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
				Stejnou spojitost máme z odhadu $\| x_n(t) - x_n(r) \| = \| \int_r^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq |t - r| \cdot K$. V poslední nerovnosti jsme odhadli integrál součinem délky intervalu a konstantou omezenosti funkce $f$. Stačí položit $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$, potom $\|x_n(t) - x_r(t)\| < \delta K = \epsilon$.
				
				Tedy dle Věty \ref{thm-arzela} můžeme z posloupnosti $x_n$ vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost. Zbývá dokázat, že její limita řeší naši rovnici.

				\hfill \textit{konec 1. přednášky (21.2.2025)}
			\end{proof}
		\end{lemma}
	\end{proof}
\end{theorem}