\section{Stabilita}

Lemma \ref{lemma-sol-dist} nám teoreticky poskytuje spojitost řešící funkce v proměnné $x_0$, pro větší $t$ však kvůli exponenciálnímu růstu nemá význam. Budeme proto zkoumat okolnosti, za nichž existují odhady, které se nezhoršují pro $t \in \infty$.

\begin{definition}
	Nechť $f = f(x, t)$ je spojitá v otevřené $\Omega \in \R^{n+1}$ a navíc lokálně lipschitzovská vůči $x$. Nechť $\Omega \supset \{0\} \times I$ kde $I = (\tau, \infty)$ a nechť $f(0, t) = 0$ pro všechna $t \in I$. Řekneme, že nulové řešení rovnice $x' = f(t, x)$ \eqref{eq-ode} je
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \textit{stabilní}, jestliže pro všechna $t_0 \in I$ a $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že $|x_0| < \delta$ implikuje, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno a splňuje $|\varphi(t, t_0, x_0)| < \varepsilon$ pro $t \geq t_0$;
		\item \textit{nestabilní}, jestliže není stabilní;
		\item \textit{lokální atraktor}, jestliže $\forall t_0 \in I$ existuje $\eta > 0$ tak, že $|x_0| < \eta$ implikuj, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno pro všechna $t \geq t_0$ a navíc $\varphi(t, t_0, x_0) \to 0$ pro $t \to +\infty$;
		\item \textit{asymptoticky stabilní}, jestliže je stabilní a navíc lokální atraktor;
		\item \textit{uniformně stabilní}, jestliže pro všechna $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že pro všechna $t_0 \in I$ z $|x_0| < \delta$ plyne $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno a splňuje $|\varphi(t, t_0, x_0)| < \varepsilon$ pro $t \geq t_0$;
		\item \textit{uniformě asymptoticky stabilní}, jestliže je uniformně stabilní a navíc existuje $\eta < 0$ takové, že $\forall \varepsilon > 0$ existuje $T > 0$ takové, že pro všechna $t_0 \in I$ z $|x_0| < \eta$ plyne, že $\varphi(t, t_0, x_0)$ je definováno pro všechna $t \geq t_0$ a $|\varphi(t, t_0, x_0)| \leq \varepsilon|$ pro $t \geq t_0 + T$.
	\end{enumerate}
\end{definition}

Pojem asymptotické stability zavádíme proto, že lokální atraktor nutně nemusí implikovat stabilitu. Konstrukci takového řešení můžeme nahlédnout pomocí tzv. Vinogradovova systému.
V případě autonomní rovnice splývají pojmy (asymptotické) stability a uniformní (asymptotické) stability, neboť můžeme psát $\varphi(t, t_0, x_0) = \varphi(t - t_0, 0, x_0)$.

Obecněji řešeno, řešení $\tilde x(t)$ rovnice $x' = f(x, t)$ se nazve stabilní (resp. uniformně stabilní atd.), jestliže má analogickou vlastnost nulové řešení rovnice $u' = g(u, t)$ kde $g(u, t) = f(\tilde x(t) + u, t) - f(\tilde x(t), t)$.

V případě řešení lineární rovnice \eqref{eq-linear-ode}, tj. $x' = A(t)x + g(t)$ je stabilita ekvivalentní stabilitě libovolného řešení příslušné homogenní rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode}.

\begin{theorem}
	Je dána rovnice $x' = A(t) x$, kde $A(t)$ je spojitá v $I = (\tau, \infty)$. Nechť $\Phi(t)$ je (libovolná) fundamentální matice. Potom nulové řešení je
	\begin{enumerate}
		\item stabilní, právě když pro $\forall t_0 \in I$ je $\|\Phi(t)\|$ omezená v $[t_0, \infty)$;
		\item asymptoticky stabilní, právě když $\|\Phi(t)\| \to 0$ pro $t \to \infty$;
		\item uniformně stabilní, právě když existuje $c > 0$ takové, že pro všechna $s < t \in I$ je $\|\Phi(t)\Phi^{-1}(s)\| \leq c$.
		\item uniformně asymptoticky stabilní, právě když existují kladná $\alpha$ a $c$ taková, že pro všechna $s < t \in I$ je $\|\Phi(t)\Phi^{-1}(s)\| \leq ce^{-\alpha(t-s)}$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}
	Nechť $A$ je konstantní matice. Potom nulové řešení rovnice $x' = Ax$ je
	\begin{enumerate}
		\item (uniformně) stabilní, právě když $\Re \lambda \leq 0$ pro všechna vlastní čísla $\lambda \in \sigma(A)$, přičemž $\Re \lambda = 0$ pouze pro polojednoduchá vlastní čísla (tedy příslušné Jordanovy buňky mají velikost 1).
		\item (uniformě) asymptoticky stabilní, právě když $\Re \lambda \leq 0$ pro všechna vlastní čísla $\lambda \in \sigma(A)$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	Plyne ihned z tvaru maticové exponenciály.
\end{proof}

Matice $A$ splňující $\Re \lambda < 0$ pro všechna $\lambda \in \sigma(A)$ se nazývá \textit{Hurwitzowská}.

\begin{lemma}
	\label{lemma-sol-eq-est}
	Je dána rovnice $x' = Ax + r(x, t)$. Nechť existují kladná $\alpha, c$ tak, že $\|e^{tA}\| \leq ce^{-t\alpha}$ pro $t \geq 0$. Nechť dále $r(x, t): \R^{n+1} \to \R^n$ je spojitá a $|r(x, t)| \leq \gamma |x|$ pro všechna $x, y$ kde $\gamma < \frac{\alpha}{c}$. Pak každé řešení splňuje
	$$ |x(t)| \leq c|x(t_0)| \exp(-\beta(t - t_0)) $$
	pro $t \geq t_0$, kde $\beta = \alpha - c\gamma > 0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Nechť $x$ řeší $x' = Ax + r(x, t)$ na $(0, +\infty)$. Pak $x$ řeší $x' = Ax + g(t)$, kde $g(t) := r(x(t), t)$. Z variace konstant (Důsledek \ref{thm-variation-hom-const}) dostáváme, že
	$$ x(t) = e^{(t - t_0)A} x_0 + \int_{t_0}^t e^{(t-s)A} g(s) ds. $$
	Pro $t > t_0$ dostaneme
	$$ \|x(t)\| \leq ce^{-(t-t_0)\alpha} \|x_0\| + \int_{t_0}^t ce^{-(t-s)\alpha} \gamma \|x(s)\| ds. $$
	Jinými slovy,
	$$ \|x(t)\| e^{t\alpha} \leq ce^{t_0\alpha} \|x_0\| + \int_{t_0}^t ce^{-(t-s)\alpha} \gamma \|x(s)\| ds. $$
	Z Gronwallova lemmatu (Lemma \ref{lemma-gronwall}) dostáváme
	$$ e^{t\alpha} \| x(t) \| \leq ce^{t_0\alpha} \|x_0\| e^{c\gamma(t - t_0}. $$
	Po opětovném přenásobení exponenciálou nakonec máme
	$$ \|x(t)\| \leq c \|x_0\| e^{(t - t_0)(c\gamma - \alpha)} = ce^{-\beta(t - t_0)} \| x_0 \|. $$
\end{proof}

\hfill \textit{konec 8. přednášky (11.4.2025)}

\begin{theorem}[o linearizované stabilitě]
	\label{thm-linearized-stability}
	Je dána rovnice $x' = f(x)$. Nechť $f(x_0) = 0$ a $f(x)$ je $C^1$ na okolí $x_0$ a nechť $\Re\lambda < 0$ pro každé $\lambda \in \sigma(A)$, kde $A = \nabla f(x_0)$. Potom $x_0$ je (uniformně) asymptoticky stabilní.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Bez újmy na obecnosti uvažujme $x_0 = 0$. Dále definujeme $g(x) = f(x) - Ax$. Potom naši rovnici přepíšeme do tvaru $x' = Ax + g(x)$.

	O matici $A$ můžeme říct, že $\|e^{tA}\| \leq ce^{-\alpha t}$. Přesněji řečeno, nechť $\lambda_0 := \max \{\Re\lambda: \lambda\in\sigma(A)\}$. Nechť $-\alpha \in (\lambda_0, 0)$ a k tomuto $\alpha$ nalezneme $c > 0$ takové, že platí výše uvedená rovnost. Existenci takového $c$ nám zaručuje Důsledek \ref{corollary-existence-of-constant}.

	Dále o funkci $g$ víme, že $g(x) = o(\|x\|)$ a $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{\|x\|} = 0$. Nechť $\gamma < \frac{\alpha}{c}$, vezmeme $\delta > 0$ dost malé, aby $\frac{\|g(x)\|}{\|x\|} < \gamma$ na $B(0, \delta)$. Pak na tomto okolí platí $\|g(x)\| \leq \delta\|x\|$.

	Použijeme seřezávací funkci
	$$\eta(t) = \begin{cases}1, t < \frac{\delta}{2};\\
		0, t > \delta;\\
		\textit{spojité prodloužení na }(\frac{\delta}{2}, \delta).
	\end{cases}.$$
	Dále definujeme $h(x) := \eta(\|x\|)g(x)$. Podíváme se na rovnici $x' = Ax + h(x)$. Pro $\|x\| < \frac{\delta}{2}$ platí $h(x) = g(x)$, dále pro $\|x\| > \delta$ je $h(x)$ nulová a nakonec pro $\|x\| \in [\frac{\delta}{2}, \delta]$ platí $\|h(x)\| \leq \|g(x)\|$. Tato porušená rovnice již splňuje předpoklad Lemmatu \ref{lemma-sol-eq-est}. Aplikací tohoto lemmatu dostáváme odhad na řešení této porušené rovnice.
	$$\|x(t)\| \leq c\|x(t_0)\| e^{-\beta(t - t_0)}, \beta > 0. $$
	Vezmeme $x(t_0)$ dost malé, potom díky předchozímu odhadu funkce $x$ zůstane v $B(0, \frac{\delta}{2})$ pro všechna $t \geq 0$, tedy $h(x) = g(x)$, z čehož nakonec dostáváme, že $x$ řeší i původní rovnici $x' = Ax + g(x)$. Tím jsme dokázali, že řešení začínající blízko nuly zkolabují v nekonečnu, což je právě definice asymptotické stability.
\end{proof}

\begin{theorem}[o linearizované nestabilitě]
	\label{thm-linearized-instability}
	Je dána rovnice $x' = f(x)$. Nechť $f(x_0) = 0$ a $f(x)$ je $C^1$ na okolí $x_0$ a nechť existuje vlastní číslo $\lambda \in \sigma(A)$ takové, že $\Re\lambda > 0$, kde $A = \nabla f(x_0)$. Potom $x_0$ je (uniformně) asymptoticky stabilní.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Idea důkazu: nejdříve si matici $A$ převedeme do Jordanova kanonického tvaru, poté si ukážeme, že řešení ``se drží" nestabilního směru. Nakonec důkaz formálně dokončíme pomocí věty o opuštění kompaktu (Věta \ref{thm-leaving-compact}).

	Bez újmy na obecnosti uvažujme $x_0 = 0$. Nechť tedy $A = VJV^{-1}$ je převod matice $A$ do Jordanova tvaru. Přenásobíme matici $J$ zprava maticí $H = \diag(\eta, \eta^2,\dots,\eta^n)$ a zleva maticí $H^{-1} = \diag(\eta^{-1}, \dots, \eta^{-1})$. Dostáváme matici v Jordanově kanonickém tvaru, kde místo jedniček máme $\eta$. Potom $A = (VH) \tilde J (VH)^{-1}$
	Můžeme psát
	$$ x' = Ax + g(x) = (VH)\tilde J (VH)^{-1}x + g(x). $$
	Nechť $y := (VH)^{-1}x$, potom
	$$ y' = (VH)^{-1}x' = \tilde Jy + (VH)^{-1}g(VHy). $$
	Označme $\tilde g(y) := g(VHy)$. Dostali jsme tedy rovnici $y' = \tilde Jy + \tilde g(y)$. Platí $\tilde g(y) = o(\|y\|)$ (plyne z toho, že $g(x) = o(\|x\|)$).

	Mějme vektor $y = (y_1, \dots, y_n)$. Nechť $z = (z_1, \dots, z_j)$ jsou nestabilní směry a $w = (w_{j+1}, \dots, w_n)$ jsou stabilní a centrální směry. Potom nechť $\varphi(t) := \sum_{i=1}^j |z_i|^2$ a $\psi(t) := \sum_{i=j+1}^n |w_i|^2$. Můžeme psát $\varphi(t) = \sum_{i=1}^j z_i \bar z_i$ a analogicky pro $w_i$. Implicitně zde předpokládáme závislost na čase. Dále definujeme $Z := \{ (z, w) \in \R^n: \varphi(t) \geq \psi(t) \}$.

	Nechť $\lambda_0 := \min\{ \Re\lambda; \lambda \in \sigma(A), \Re\lambda > 0\}$. Vezmeme $\eta = \frac{\lambda_0}{6}$ a $\delta > 0$ takové, aby $\|\tilde g(y)\| \leq \eta \|y\|$ pro všechna $y \in B_\delta$. Dále definujeme $K := Z \cap \overline{B_\delta}$.

	Uvažujme řešení $y(t) = (z(t), w(t))$, pro které budeme odhadovat. Ukážeme, že platí, že pokud $\varphi(t_1) - \psi(t_1) > 0$, potom $\varphi(t) - \psi(t) > 0$ pro všechna $t > t_1$, dokud jsme v $B_\delta$. Ukážeme, že $(\varphi(t) - \psi(t))' > 0$.

	Můžeme psát
	\begin{align*}
		\varphi'(t) &= \odv*{\sum_{i=1}^j z_i \bar z_i}{t} = \sum_{i=1}^j z_i'(t) \bar z_i(t) + z_i(t) \bar z_i'(t) = \sum_{i=1}^j 2\Re z_i z_i'\\
	&= 2\Re \left( \sum_{i=1}^j z_i \lambda_i z_i + \left(\sum_{i=1}^j z_i \mu z_{i+1} \right)  + \sum_{i=1}^j z_i \tilde g_i(z, w) \right).
	\end{align*}
	Z toho máme, že
	\begin{align*}
		\varphi'(t) &= \sum_{i=1}^j 2\Re \bar \lambda_i |z_i|^2 + 2\Re \sum_{i=1}^j z_i \mu \bar z_{i+1} + 2\Re \sum_{i=1}^j z_i \overline{\tilde g_i(z, w)}\\
		&\geq 2\lambda_0 \sum_{i=1}^j |z_i|^2 - \left|2\Re \sum_{i=1}^j z_i \mu \bar z_{i+1}\right| - \left| 2\Re \sum_{i=1}^j z_i \overline{\tilde g_i(z, w)}\right|.
	\end{align*}
	Dále platí (AG-nerovnost)
	$$ \left| \sum_{i=1}^j \eta z_i \bar z_{i+1} \right| \leq \sum_{j=1}^i \eta \frac{1}{2} (|z_i|^2 + |z_{i+1}|^2) \leq \eta \frac{1}{2} (\varphi(t) + \varphi(t)) = \eta \varphi(t) $$
	a také
	$$ \left| \sum_{i=1}^j z_i \overline{\tilde g_i(z, w)} \right| \leq \frac{1}{2} \sum_{i=1}^j (|z_i|^2\eta + \frac{1}{\eta}|\tilde g_i (z, w)|^2) = \frac{1}{2} \eta \varphi(t) + \eta \varphi(t), $$
	neboť $\sum |g_i|^2 = |g(y)|^2 < \eta^2 |y|^2 \leq 2\eta^2 |z|^2 = 2\eta^2 \varphi(t)$.

	Celkově tedy máme, že $\varphi'(t) \geq (2\lambda_0 - 2\eta -3\eta) \varphi(t) \geq 7\eta \varphi(t)$, jelikož $\lambda_0 > 3\eta$. Obdobně budeme postupovat s odhadem pro $\psi'(t)$. Můžeme psát
	\begin{align*}
		\psi'(t) &= 2\Re \sum_{i=j+1}^n w_i \bar w_i' = 2\Re \sum_{i=j+1}^n w_i \overline{(\lambda_i w_i + \eta w_{i+1} + \tilde g_i(z, w))}\\
		&= 2\Re \left(\lambda_i \sum_{i=j+1}^n |w_i|^2 + \sum_{i=j+1}^n w_i \eta \bar w_{i+1} + \sum_{i=j+1}^n w_i \overline{\tilde g_i(z, w)} \right)\\
		&\leq 2\eta \frac{1}{2}\left(\sum_{i=j+1}^n \left(|w_i|^2 + |w_{i+1}|^2\right) + \sum_{i=j+1}^n \left(|w_i|^2\eta + \frac{1}{\eta}|\bar g_i^2(z, w)|\right)\right)\\
		&\leq 2\eta \psi(t) + \eta \psi(t) + 2\eta \varphi(t) \leq 5\eta \varphi(t),
	\end{align*}
	přičemž v poslední nerovnosti jsme využili faktu, že $\psi(t) < \varphi(t)$. Z těchto dvou právě dokázaných nerovností již plyne $\varphi'(t) - \psi'(t) \geq 2\eta\varphi(t) > 0$.

	Z nerovnosti pro $\varphi'(t)$ platí $\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)} \geq 7 \eta$. Zintegrováním dostaneme následující nerovnost pro funkci $\varphi$:
	$$ \varphi(t) \geq e^{7\eta (t - t_0)} \varphi(t_0). $$

	Nechť $y(0) = (z(0), w(0)) \in K$. Potom existuje $T > 0$ takové, že platí nerovnost $e^{7\eta(T - t_0)} \| \varphi_z(t_0) \|^2 > \delta^2$. Uvažujme kompakt $C := K \times [t_0, T + \varepsilon]$. Naše řešení $y$ tento kompakt opustí. Buď $t_1 = \inf \{ t \geq t_0; (y(t), t) \in C\}$.

	Pak $t_1 < T + \varepsilon$. Skutečně, nechť $t_1 \geq T + \varepsilon$, potom $\|y(t_1)\|^2 \geq \varphi_z(t_1) \geq e^{7\eta (t_1 - t_0)} \varphi_z(t_0) > \delta^2$. To je spor s předpokladem, že $t_1$ je infimum. Jistě platí $y(t_0) \in \delta K$. Funkce $\varphi - \psi$ je rostoucí, tedy $\varphi(t_0) - \psi(t_0) \geq \varphi(0) - \psi(0)$. Z toho již plyne, že $|y(t_0)| = \delta$. Dostali jsme, že řešení $y$ opustí otevřenou kouli o poloměru $\delta$, což je přesně to, co jsme chtěli dokázat v této větě.
\end{proof}

\hfill \textit{konec 9. přednášky (25.4.2025)}
