\section{Lineární rovnice}

\begin{definition}
	\textit{Normu matice} $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ definujeme
	$$ \| A \| = \sup \{ |Ax|; x \in \mathbb{R}^n, |x| \leq 1 \}, $$
	kde $|x| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ je norma vektoru $x \in \mathbb{R}^n$.
\end{definition}

\begin{theorem}[Vlastnosti normy matice]
	\label{thm-matrix-norm-properties}
	Nechť $A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$. Potom:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\| A \| \geq 0$ a $\|A \| = 0$ právě když $A = 0$.
		\item $\| aA \| = |a| \| A \|$ pro všechna $a \in \mathbb{R}$.
		\item $\| A + B \| \leq \|A\| + \|B\|$.
		\item $\| AB \| \leq \|A\|\|B\|$.
		\item $|Ax| \leq \|A\| |x|$ pro $x \in \mathbb{R}^n$.
		\item Je-li $A$ regulární, pak $Ay \geq \frac{|y|}{\|A^{-1}\|}$ pro $y \in \mathbb{R}^n$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	První tři vlastnosti říkají, že operátor $\|\cdot\|$ je norma (cvičení).

	Dokážeme vlastnost (v). Případ $x = 0$ je triviální, nechť tedy $x \neq 0$. Položme $y = \frac{x}{|x|}$. Potom můžeme psát
	$$ |Ax| = |A(|x|y)| = \left||x|Ay\right| = |x| |Ay| \leq |x| \|A\|. $$

	K důkazu vlastnosti (iv) můžeme psát
	$ |ABx| \leq \|A\|\|B\||x| $, kde jsme dvakrát použili již dokázanou vlastnost (v).
	Potom
	$$ \|AB\| = \sup_{|x| \leq 1} |ABx| \leq \sup_{|x| \leq 1} \|A\|\|B\||x| \leq \|A\|\|B\|\cdot1. $$

	Nakonec, pro vlastnost (vi) položme $v := Ay$, tedy $y = A^{-1} v$. Potom
	$$ |y| = |A^{-1} v| \leq \|A^{-1}\| |v| = \|A^{-1}\| |Ay|, \textrm{ tedy } |Ay| \geq \frac{|y|}{\|A^{-1}\|}, $$
	čímž je důkaz ukončen.
\end{proof}

\begin{definition}
	\textit{Lineární rovnicí} rozumíme rovnici
	\begin{equation}
		\label{eq-linear-ode}
		x' = A(t)x + g(t), x(t_0) = x_0,
	\end{equation}
	kde $A(t): (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}, g(t): (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^n$ jsou spojité.
\end{definition}

V přednášce MA3 jste již studovali tento typ rovnic, teď se však budeme věnovat obecnějšímu případu, kdy $A$ a $g$ závisí na $t$.

\begin{theorem}
	\label{thm-unique-sol-lineq}
	Nechť $t_0 \in (a, b), x_0 \in \mathbb{R}^n$ je dáno. Pak existuje jediné řešení rovnice \eqref{eq-linear-ode}, definované na celém $(a, b)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Rovnice \eqref{eq-linear-ode} je ekvivalentní rovnici \eqref{eq-ode}, kde $f(x, t) = A(t)\cdot x + g(t)$. Můžeme psát
	$$ |f(x, t) - f(y, t)| = |A(t)x - A(t)y| \leq \|A(t)\| |x - y|. $$
	Funkce $A(t)$ je omezená na kompaktních intervalech, tedy $f$ je lipschitzovská. Tedy pro každou počáteční podmínku existuje právě jedno maximální řešení. Dokážeme, že toto řešení je definované na celém $(a, b)$.

	\hfill \textit{konec 5. přednášky (21.3.2025)}

\end{proof}