\section{První integrál}

V celé této kapitole budeme uvažovat autonomní rovnici
\begin{equation}
	\label{eq-auto}
	x' = f(x)
\end{equation}
pro $f$ spojitou a lokálně lipschitzovskou.

\begin{definition}
	Funkci $U: \Omega \to \R$ nazveme \textit{prvním integrálem} rovnice \eqref{eq-auto}, jestliže $U \in C^1(\Omega)$ a je nekonstantní a zároveň $t \mapsto U(x(t))$ je konstantní pro každé řešení $x$ dané rovnice v $\Omega$.
\end{definition}

Například, máme-li rovnici $x'' + kx = 0$ (lze pomocí ní popsat kmitání pružiny s hybností $k > 0$), funkce $V(x', x) = \frac{1}{2}x'^2 + \frac{k}{2} x^2$ je jejím prvním integrálem, neboť tato funkce je zřejmě hladká a nekonstantní a
$$ \odv*{V(x'(t), x(t))}{t} = x'\cdot x'' + kxx' = x'(x'' + kx) = 0. $$

\begin{theorem}[Charakterizace prvních integrálů pomocí orbitálních derivací]
	\label{thm-first-integral}
	Buď $\Omega \subset \R^n$ otevřená, $f: \Omega \to \R^n$ spojitá a $U: \Omega \to \R$ je třídy $C^1$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Pro všechna řešení $x$ rovnice \eqref{eq-auto} je $t \mapsto U(x(t))$ konstantní;
		\item $\nabla U(\xi)f(\xi) = 0$ pro všechna $\xi \in \Omega$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	(ii) $\implies$ (i): Přímým výpočtem dostaneme $\odv*{U(x, t)}{t} = \nabla U(x(t)) \cdot x'(t) = \nabla U(x(t))f(x(t)) = 0$.

	(i) $\implies$ (ii): Mějme bod $\xi \in \Omega$. Dle Peanovy věty (Věta \ref{thm-peano}) bodem $\xi$ prochází nějaké řešení $x$ takové, že $x(0) = \xi$. Z toho již dostáváme, že $\nabla U(\xi) \cdot f(\xi) = \odv*{U(x(t))}{t}_{t=0} = 0$.
\end{proof}

\begin{definition}
	První integrály $U_1, \dots, U_k$ jsou \textit{lineárně nezávislé} v bodě $x_0$, jestliže matice $\pdv{U_i}{x_j}_{i=1,\dots,k}^{j=1,\dots,n}$ má v tomto bodě hodnost $k$.
\end{definition}

Je dobré si uvědomit, že prvních integrálů, které jsou lineárně nezávislé v bodě $x_0$, může být nejvýše $n - 1$, což plyne z Věty \ref{thm-first-integral}, a to tak, že pro každý první integrál platí $\nabla U_i(x_0) \perp f(x_0) \neq 0$ a v prostoru dimenze $n$ existuje přesně $n - 1$ lineárně nezávislých vektorů kolmých na daný vektor.

Metodu prvních integrálů budeme používat k redukci počtu rovnic v soustavách ODR. Skutečně, mějme soustavu
$$ \begin{cases}x' = f(x, y);\\y' = g(x, y),\end{cases}$$
a nechť $V(x, y) = K$ je její první integrál. Ve většině případů z toho můžeme vyjádřit $x$ jakožto funkci $x = h(y, K)$, což po dosazení do druhé rovnice nám dává
$$ y' = g(h(y, K), y), $$
čímž jsme zredukovali počet rovnic na jednu. K přesné formulaci právě popsaného postupu použijeme následující větu.

\begin{theorem}[O snížení řádu]
	\label{thm-first-int-solution}
	Nechť $U_1, \dots, U_k$ jsou první integrály \eqref{eq-auto} lineárně nezávislé v bodě $x_0$. Potom řešení procházející bodem $x_0$ lze \textit{lokálně} popsat pomocí $(n - k)$ rovnic $z' = g(z)$, $z \in \R^{n-k}$, $g: \R^{n-k} \to \R^{n-k}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Označme $K_i = U_i(x_0)$ a $\Gamma = \{x \in \R^n: U_i(x) = K_i \text{ pro } i = 1,\dots,k\}$. Víme, že $\nabla U_1(x_0), \dots \nabla U_k(x_0)$ jsou lineárně nezávislé vektory, to znamená, že matice $\pdv{U_i}{x_j}_{i=1,\dots,k}^{j=1,\dots,n}$ má $k$ lineárně nezávislých sloupců. Bez újmy na obecnosti nechť toto jsou sloupce $1, \dots, k$. Označme $x = (x_1, \dots, x_k, y)$, kde $x \in \R^n$ a pro $y \in \R^{n-k}$ platí $y = (x_{k+1}, \dots, x_n)$.

	Jelikož matice $\pdv{U_i}{x_j}_{i=1,\dots,k}^{j=1,\dots,k}$ je regulární, díky větě o implicitních funkcích existují konstanty $\delta, \Delta > 0$ takové, že pro každé $y$ z $\delta$-okolí bodu $x_0$ existuje právě jedna $k$-tice $(x_1, \dots, x_k)$ z $\Delta$-okolí $x_0$ (uvažujeme restrikci na prvních $k$ souřadnic) taková, že platí $U_i(x_1, \dots, x_k, y) = K_i$ pro všechna $i = 1, \dots, k$. Pokud příslušnou $k$-tici označíme jako $(\varphi_1(y), \dots, \varphi_k(y))$, potom funkce $\varphi$ je třídy $C^1$.

	Z výše uvedeného dostáváme, že pokud $(x_1(t), \dots, x_n(t))$ je řešení rovnice \eqref{eq-auto}, potom pro $i \geq k + 1$ platí
	$$ x_i'(t) = f_i(x_1(t), \dots, x_n(t)) = f_i(\varphi_1(y(t)), \dots, \varphi_k(y(t)), y(t)) =: \tilde f_i(y(t)). $$

	Tímto jsme získali požadovanou soustavu rovnic
	$$ (x_{k+1}', \dots, x_n') = y' = \tilde f(y(t)), \tilde f: \R^{n-k} \to \R^{n-k}.$$
\end{proof}

\begin{theorem}[Existence lineárně nezávislých prvních integrálů]
	Nechť $f \in C^1(\Omega)$, $f(x_0) \neq 0$. Potom má rovnice $x' = f(x)$ na okolí $x_0$ $(n - 1)$ prvních integrálů, které jsou lineárně nezávislé v bodě $x_0$.
\end{theorem}

Právě vybudovanou teorii můžeme využít k aplikaci takzvané metody charakteristik, což je matematický aparát, který nám umožňuje přecházet mezi autonomními ODR a jistou třídou lineárních parciálních diferenciálních rovnic (podrobnosti viz přednáška Úvod do parciálních diferenciálních rovnic\footnote{pokud ji zrovna učí někdo příčetný}).

\hfill \textit{konec 10. přednášky (2.5.2025)}
