\section{Floquetova teorie}

V této kapitole se budeme zabývat lineární rovnicí
\begin{equation}
	\label{eq-linear-periodic}
	x' = A(t)x + b(t)
\end{equation}
a příslušnou homogenní rovnicí
\begin{equation}
	\label{eq-linhom-periodic}
	x' = A(t)x
\end{equation}
pro $T$-periodické funkce $A \in C(\R, \R^{n\times n})$ a $b \in C(\R, \R^n)$. Budeme zkoumat periodicitu a stabilitu řešení této rovnice.

\begin{observation}
	\begin{enumerate}[(i)]
	\item Pro každou počáteční podmínku $x_0 \in \R^n$ existuje právě jedno maximální řešení obou těchto rovnic a to je definované na celém $\R$.
	\item Buď $x$ řešení \eqref{eq-linear-periodic} a definujeme $y(t) := x(t + T)$. Potom $y$ je také řešení dané rovnice. Skutečně, platí
	$$y'(t) = x'(t + T) = A(t+T)x(t+T) + b(t+T) = A(t)y(t) + b(t).$$
	\item Řešení $x$ je $T$-periodické právě tehdy, když $x(T) = x(0)$. Implikace $\implies$ je triviální, pro důkaz té opačné můžeme definovat $y(t) := x(t + T)$, což je díky již dokázanému také řešení a $y(0) = x(T) = x(0)$. Z jednoznačnosti řešení se tyto dvě řešení musí rovnat, tedy máme $x(t) = y(t) = x(t + T)$ pro všechna $t$.
	\item Nechť $\Phi$ je fundamentální matice \eqref{eq-linhom-periodic} taková, že $\Phi(0) = I$. Potom řešení $x$ rovnice \eqref{eq-linhom-periodic} je periodické právě tehdy když $\Phi(T)x_0 = x_0$, jinými slovy, $x_0$ je vlastní vektor matice $\Phi(T)$ příslušný vlastnímu číslu $1$.
	\end{enumerate}
\end{observation}

\begin{definition}
	Nechť $\Phi$ je fundamentální matice \eqref{eq-linhom-periodic} taková, že $\Phi(0) = I$. Pak matici $C = \Phi(T)$ nazveme \textit{maticí monodromie}.
\end{definition}

Dle předchozího pozorování není těžké zpozorovat, že počet periodických řešení naší úlohy úzce souvisí s dimenzí jádra matice $C - I$, tedy násobností vlastního čísla $1$ matice $C$.

\begin{lemma}[Maticový logaritmus]
	\label{lemma-matrix-log}
	Nechť $A \in \R^{n\times n}$ je regulární. Pak existuje matice $B \in \C^{n\times n}$ splňující $e^B = A$. Tato matice $B$ nemusí být určena jednoznačně.
\end{lemma}

Ústřední větou celé Floquetovy teorie je následující věta, která nám umožňuje jistým způsobem charakterizovat chování fundamentální matice pro rovnici \eqref{eq-linhom-periodic}.

\begin{theorem}[Floquet]
	\label{thm-floquet}
	Existuje $Q \in C(\R, \R^{n\times n})$ $T$-periodická, $Q(t)$ regulární pro všechna $t \in \R$ a $B \in \C^{n\times n}$ tak, že
	$$ \Phi(t) = Q(t)e^{tB} \quad\forall t \in \R. $$
	Zde $\Phi(t)$ je fundamentální matice úlohy \eqref{eq-linhom-periodic} taková, že $\Phi(0) = I$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Nechť $C = \Phi(T)$ je matice monodromie. Z Lemmatu \ref{lemma-matrix-log} nalezneme komplexní matici $\tilde B \in \C^{n \times n}$ takovou, že $e^{\tilde B} = C$ a položíme $B = \frac{1}{T}\tilde B$ (tedy $e^{T\cdot B} = C$ z vlastností exponenciály).

	Definujeme $Q(t) := \Phi(t)e^{-tB}$. Tato matice je regulární, spojitá a splňuje $\Phi(t) = Q(t)e^{tB}$. Dokážeme, že je $T$-periodická. K tomu budeme potřebovat funkci $\Psi(t) := \Phi(t + T)$. Platí
	$$ \Psi'(t) = \Phi'(t + T) = A(t + T)\Phi(t + T) = A(t)\Phi(t), $$
	tedy $\Psi$ je taky fundamentální matice a platí $\Psi(0) = \Phi(t) = C$. Zároveň také $\Phi(t)C$ je fundamentální maticí \eqref{eq-linhom-periodic} a $\Phi(0)C = C$. Z jednoznačnosti dostáváme, že $\Psi(t) = \Phi(t) C$ pro všechna $t \in \R$. Nakonec
	$$ Q(t + T) = \Phi(t + T)e^{-(t + T)B} = \Psi(t) e^{-TB}e^{-tB} = \Phi(t) C C^{-1} e^{-tB} = Q(t), $$
	čímž je důkaz ukončen.
\end{proof}

Floquetova transformace $y(t) = Q^{-1}(t)x(t)$ převádí řešení \eqref{eq-linhom-periodic} na řešení úlohy $y' = By$, což je rovnice s konstantními koeficienty. Platí
$$ y(t) = Q^{-1}(t)\Phi(t)x_0 = Q^{-1}(t)Q(t) e^{tB}x_0 = e^{tB}x_0. $$
Položíme-li $t = kT + s$, kde $k \in \Z$ a $s \in [0, T)$, pak
\begin{align*}
	x(t) &= \Phi(t)x_0 = Q(t)e^{tB}x_0 = Q(s) e^{(kT+s)B}x_0 = \\
	&= Q(s)e^{sB}(e^{TB})^k x_0 = \Phi(s)C^k x_0.
\end{align*}
Matici $C^k$ můžeme relativně snadno spočítat pomocí převodu na Jordanův kanonický tvar, což v praxi často výrazně zjednodušuje výpočty.

\begin{corollary}
	Pokud pro spektrum matice monodromie platí $\sigma(C) \in \{z \in \C: |z| < 1\}$, pak máme asymptotickou stabilitu.
\end{corollary}

\begin{theorem}[Existence periodických řešení]
	Nechť matice $A(t)$ je spojitá a $T$-periodická. Potom je ekvivalentní:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item rovnice \eqref{eq-linear-periodic} (nehomogenní) má právě jedno $T$-periodické řešení pro každou $b \in C(\R, \R^n)$ $T$-periodickou;
		\item rovnice \eqref{eq-linhom-periodic} (homogenní) má pouze triviální $T$-periodické řešení;
		\item $1 \not\in \sigma(C)$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	(ii) $\Leftrightarrow$ (iii): $x$ je $T$-periodické řešení právě tehdy když $x(T) = x(0)$, coz nastane právě tehdy když $Cx_0 = x_0$.

	(i) $\implies$ (ii): Předpokládejme, že $x$ je $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic} a pro spor předpokládejme, že $y$ je netriviální $T$-periodické řešení homogenní rovnice, tedy $x + y$ je $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic}, ale $x + y \neq x$, což je spor s jednoznačností řešení nehomogenní úlohy.

	(iii) $\implies$ (i): Řešení nehomogenní úlohy můžeme explicitně zapsat ve tvaru $x(t) = \Phi(t)x_0 + \int_0^t \Phi(t) \Phi^{-1}(s) b(s) ds$. Dokážeme, že toto je jediné $T$-periodické řešení úlohy \eqref{eq-linear-periodic}. Můžeme psát $x(T) = Cx_0 + y$, kde $y = \int_{0^T}\Phi(T)\Phi^{-1}(s)b(s) ds$, tedy $x(T) = x_0$ právě tehdy, když $-y = (C - I)x_0$. Dle předpokladu v (iii) je matice $C - I$ regulární, tedy existuje právě jedno $x_0$ splňující danou podmínku, proto $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic} je určeno jednoznačně.
\end{proof}

\begin{corollary}[Stabilita pro periodické lineární rovnice]
	Nulové řešení \eqref{eq-linhom-periodic} je (asymptoticky) stabilní, právě když nulové řešení $y' = By$ je (asymptoticky) stabilní.
\end{corollary}

\begin{proof}
	Z Floquetovy věty (Věta \ref{thm-floquet}) a poznámky o Floquetově transformaci víme, že $x(t) = Q(t)e^{tB}x_0 = Q(t) y(t)$. Potom
	$$ \|x(t)\| \leq \|Q(t)\|\|y(t)\| \leq \max_{t \in [0, T]} \|Q(t)\| \|y(t)\| = K \|y(t)\|$$
	a obdobně
	$$ \|y(t)\| \leq \|Q^{-1}(t)\|\|x(t)\| \leq \tilde K \|x(t)\|.$$
\end{proof}

\hfill \textit{konec 12. přednášky (16.5.2025)}
