107 lines
7.4 KiB
TeX
107 lines
7.4 KiB
TeX
\section{Lokální existence řešení}
|
|
|
|
Diferenciální rovnice nás doprovází v každé oblasti lidského života. Neexistuje obecná teorie, která by nám umožnila vyřešit všechny diferenciální rovnice najednou. Musíme se proto omezit jen na část rovnic.
|
|
|
|
\begin{convention}
|
|
V této přednášce budeme studovat systém rovnic
|
|
\begin{equation}
|
|
\label{eq-ode}
|
|
x' = f(x, t)
|
|
\end{equation}
|
|
za trvalého předpokladu $\Omega \in \mathbb{R}^{n+1}$ otevřená, $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ spojitá.
|
|
\end{convention}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Buď $I$ otevřený interval. Funkci $x(t): I \rightarrow \mathbb{R}^n$ nazveme \textit{řešením} diferenciální rovnice \eqref{eq-ode} v $\Omega$, jestliže pro všechna $t \in I$ platí
|
|
\begin{enumerate}[(i)]
|
|
\item $(x(t),t)\in \Omega$,
|
|
\item existuje vlastní $x'(t)$,
|
|
\item $x'(t) = f(x(t),t)$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
Takto definované řešení je nutně spojité a má spojitou derivaci (je třídy $C^1$), tzv. klasické řešení. Dále si poznamenejme, že platí tzv. princip nalepování: Pokud máme $x(t)$ řešení na $(a, t_0)$ a na $(t_0, b)$, pak už je řešením na celém $(a, b)$. To plyne z toho, že $x'_- (t_0) = \lim_{t\rightarrow t_0^-} x'(t) = \lim_{t\rightarrow t_0^-} f(x(t), t) = f(x(t_0), t_0)$, přičemž tatáž rovnost platí i pro derivaci zprava.
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
Nechť $I$ je otevřený interval, $x(t): I \rightarrow \mathbb{R}^n$ spojitá splňující $(x(t), t) \in \Omega$ pro každé $t \in I$ a nechť $t_0 \in I$. Potom je ekvivalentní
|
|
\begin{enumerate}[(i)]
|
|
\item $x$ je řešení (\ref{eq-ode}) splňující $x(t_0) = x_0$,
|
|
\item pro každé $t \in I$ platí $x(t) = x_0 + \int^t_{t_0} f(x(s), s)ds$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
Víme, že platí $x'(s) = f(x(s), s)$ pro všechna $s \in I$, což je spojitá funkce, kterou můžeme zintegrovat na $[t_0, t]$.
|
|
Potom z Newtonova-Leibnizova vzorce máme $x(t) - x(t_0) = \int_{t_0}^t x'(s) ds = \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$. Tedy $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds$.
|
|
|
|
Pro důkaz opačné strany si uvědomíme, ze pro každé $t\in I$ je pravá strana diferencovatelná, tedy $x'(t) = f(x(t), t)$ a po dosazení $t = t_0$ dostáváme $x(t_0) = x_0$.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
Teď si zadefinujeme několik pojmů, které charakterizují množiny funkcí, které se chovají jistým způsobem podobně nebo stejně.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Řekneme, že funkce množiny $M \subset C(K, \mathbb{R}^n)$ jsou
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \textit{stejně spojité}, jestliže pro každé $x \in K$ a každé $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že $\| f(x) - f(y) \| < \epsilon$ pro všechna $y \in (x - \delta, x + \delta)$ a všechny $f \in M$.
|
|
\item \textit{stejně omezené}, jestliže existuje $C > 0$ takové, že $\|f\| \leq C$ pro všechna $f \in M$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{theorem}[Arzela-Ascoli]
|
|
\label{thm-arzela}
|
|
Nechť funkce $x_n(t)$ jsou stejně omezené a stejně spojité na $[0, T]$. Potom z nich lze vybrat stejnoměrně konvergující posloupnost. \textit{(bez důkazu)}
|
|
\end{theorem}
|
|
|
|
Následující věta nám říká, že na nějakém okolí libovolného bodu existuje řešení zkoumané diferenciální rovnice.
|
|
|
|
\begin{theorem}[Peano]
|
|
\label{thm-peano}
|
|
Nechť $(x_0, t_0) \in \Omega$. Pak existuje $\delta > 0$ a funkce $x(t): (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \rightarrow \mathbb{R}^n$, která je řešením \eqref{eq-ode} a splňuje $x(t_0) = x_0$.
|
|
\end{theorem}
|
|
|
|
K důkazu této věty budeme potřebovat pomocné lemma:
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{lemma-special-solution}
|
|
Pokud $\Omega = \mathbb{R}^{n+1}$ a $f$ je omezená na $\Omega$, pak pro každé $T > 0$ existuje řešení \eqref{eq-ode} na $(t_0 - T, t_0 + T)$ splňující $x(t_0) = x_0$.
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
Řešme ``porušenou" úlohu $P_\lambda$: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ a $x(t) = x_0$ pro $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
|
|
Na $I_1 := (t_0, t_0 + \lambda]$ definujeme $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda, s) ds$.
|
|
Na $I_2 := (t_0 + \lambda, t_0 + 2\lambda]$ definujeme $x(t)$ obdobně a indukcí pokračujeme dokud $t_0 + k\lambda$ nebude větší než $T$.
|
|
Tímto je ``porušená" úloha vyřešena na $[t_0-\lambda, t_0 + T]$.
|
|
|
|
Položme $\lambda = \frac{1}{n}$ pro $n = 1,2,\dots$. Pišme dále jen $x_n$ namísto $x_{1/n}$, tedy řešení úloh $P_\frac{1}{n}$ tvoří posloupnost funkcí.
|
|
Ukážeme, že jsou stejně spojité a stejně omezené.
|
|
Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
|
|
Stejnou spojitost máme z odhadu $\| x_n(t) - x_n(r) \| = \| \int_r^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq |t - r| \cdot K$. V poslední nerovnosti jsme odhadli integrál součinem délky intervalu a konstantou omezenosti funkce $f$. Stačí položit $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$, potom $\|x_n(t) - x_r(t)\| < \delta K = \varepsilon$.
|
|
|
|
Tedy dle Věty \ref{thm-arzela} můžeme z posloupnosti $x_n$ vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost $x_{n_k}$. Zbývá dokázat, že její limita řeší naši rovnici.
|
|
|
|
\hfill \textit{konec 1. přednášky (21.2.2025)}
|
|
|
|
Zřejmě pro $k \rightarrow \infty$ platí $x_{n_k} \rightarrow x(t)$ a pokud $\int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n}), s) ds$ konverguje k $\int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}),s)ds$, máme hotovo.
|
|
Tato vlastnost plyne z toho, že $\| \int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s) ds\| \leq \int_{t_0}^t \| f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) \| + \| f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s \| ds$.
|
|
|
|
Jelikož $f$ je spojitá, musí být stejnoměrně spojitá na kompaktní množině $[t_0, t_0 + T] \times \overline{B(0, r) \cap \Omega}$, jinými slovy platí, že pro $\varepsilon > 0$ existuje $\delta$ takové, že pro každé dva body $x, y$ takové, že $\|x - y\| < \delta$ máme, že $f(x, s) - f(y, \hat(s))$.
|
|
|
|
Ze stejnoměrné konvergence $x_{n_k}$ máme, že pro $\delta > 0$ existuje $k_0$ takové, že pro všechna $k \geq k_0$ platí $\|x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}) - x(s - \frac{1}{n_k})\|<\delta$.
|
|
|
|
Jelikož $x$ je spojitá, na kompaktním intervalu $[t_0, t_0 + T]$ je také stejnoměrně spojitá. Potom pro $\delta> 0$ existuje $k_1$ takové, že pro všechna $k \geq k_1$ platí $\| x(s - \frac{1}{n_k} - x(s) \| < \delta$.
|
|
|
|
Potom pro všechna $k \geq \max\{k_0, k_1\}$ platí, že náš integrál je menší nebo roven $\int_{t_0}^t \varepsilon + \varepsilon ds \leq T\cdot 2\varepsilon$, tedy jsme opravdu nalezli požadované řešení.
|
|
|
|
Existence řešení na $[t_0- T, t_0]$ se ukáže podobně.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{proof}[Důkaz Věty \ref{thm-peano}]
|
|
Uvažujme dvě koule kolem bodu $(x_0, t_0)$ takové, že $K_1 \subset K_2 \subset \Omega$.
|
|
Definujeme $\tilde{f}(x, t) = \begin{cases}
|
|
f(x, t) \text{ v } K_1,\\
|
|
\text{spojitě v } K_2 \setminus K_1\\
|
|
0, (x, t) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus K_2
|
|
\end{cases}$.
|
|
|
|
Z Lemmatu \ref{lemma-special-solution} máme, že rovnice $x' = \tilde{f(x, t)}$ má řešení $x$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$. Nazveme toto řešení $\tilde{x}$. Potom ze spojitosti $\tilde{x}$. Tedy existuje $\delta > 0$ takové, že graf $\tilde{x}$ na $(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$ leží v $K_1$. Restrikce $\tilde{x}$ na tento interval nám tedy dává řešení původní rovnice.
|
|
\end{proof}
|