\section{Cvičení 1}

\begin{example}
	Nalezneme $u: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ řešící rovnici $\pdv{u}{x} - 6x^2 \pdv{u}{y} = 0$ a splňující $u(x, 0) = u_0(x)$ pro danou funkci $u_0$.
\end{example}

\begin{proof}
	Řešme soustavu rovnic $\odv{x}{t} = 1, \odv{y}{t} = 6x^2$.

	Máme $\odv{x}{t} = 1$, tedy $x = t + c_1$, pak $\odv{y}{t} = 6(t+c_1)^2$, tedy $y = -2(t+c_1)^3 + c_2 = -2x^3 + c_2$. Máme, že $y + 2x^3$ je konstantní, tedy $u(x, y) = U(y + 2x^3)$. Dosazením počáteční podmínky dostáváme $u_0(x) = u(x, 0) = U(2x^3)$, tedy $U(z) = u_0(\sqrt[3]{\frac{z}{2}})$, z čehož máme $u(x, y) = u_0(\sqrt[3]{\frac{y+2x^3}{2}})$.
\end{proof}

\begin{example}
	Najděte $u: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ řešení $\pdv{u}{x} + y \pdv{u}{y} = 0$ takové, že $u(0, y) = \frac{1}{y}$.
\end{example}

\begin{proof}
	Máme soustavu ODR $\odv{x}{t} = 1, \odv{y}{t} = y$. Jejím řešením jsou funkce $x(t) = t + c_1$ a $y(t) = c_2 e^t$. Platí pro $y > 0, c_2 > 0$ vztah $\log y = c_2 + t$, tedy $x - \log y$ je konstantní funkce. Z toho máme, že $u(x, y) = U(x - \log y)$ a dosazením počáteční podmínky dostáváme $\frac{1}{y} = u(0, y) = U(-\log y) \Rightarrow U(z) = e^z$. Máme tedy $u(x, y) = \frac{1}{y}e^x$, obdobná myšlenka funguje i pro případ $y < 0$ (dostaneme stejný výsledek).
\end{proof}