From 3b1290814097fb6152ed7b02136adfb26915bcaf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Petr=20Veli=C4=8Dka?= Date: Thu, 27 Feb 2025 12:10:50 +0100 Subject: [PATCH] latex formatovani --- nahodne-jevy.tex | 97 +++++++++++++++++++++++-------------------- nahodne-veliciny.tex | 75 +++++++++++++++++---------------- skripta.pdf | Bin 121118 -> 121103 bytes 3 files changed, 92 insertions(+), 80 deletions(-) diff --git a/nahodne-jevy.tex b/nahodne-jevy.tex index c1a9bb9..5109ee8 100644 --- a/nahodne-jevy.tex +++ b/nahodne-jevy.tex @@ -12,11 +12,12 @@ Pro ilustraci uvedeme následující motivační příklad, kde podrobně popí Házíme dvakrát férovou mincí. Naším výběrovým prostorem bude množina $\Omega = \{PP, PO, OP, OO\}$. Událost, že první hod je panna, je tedy $A = \{PP, PO\}$. V tomto zápise písmeno $P$ odpovídá tomu, že padla panna, kdežto písmeno $O$ odpovídá orlu. Dále uvažujme jevy $H_1$ -- při prvním hodu padne panna, a $H_2$ -- při druhém hodu padne panna. Nechť jsou všechny výsledky stejně pravděpodobné (jinými slovy, mince je férová), potom pravděpodobnost, že padne alespoň jedna panna (tj. nastane jev $H_1 \cup H_2$) je $\frac{3}{4}$. - \begin{proof} - Zřejmě z předchozího máme $H_1 = \{PP, PO\}$ a $H_2 = \{OP, PP\}$. Pravděpodobnost spočteme jako podíl velikosti $|H_1 \cup H_2| = 3$ a velikosti celého prostoru $|\Omega| = 4$. - \end{proof} \end{example} +\begin{proof} + Zřejmě z předchozího máme $H_1 = \{PP, PO\}$ a $H_2 = \{OP, PP\}$. Pravděpodobnost spočteme jako podíl velikosti $|H_1 \cup H_2| = 3$ a velikosti celého prostoru $|\Omega| = 4$. +\end{proof} + Tato jednoduchá intuice však selže v případě nekonečné (nespočetné) množiny $\Omega$, neboť jak již čtenář jistě ví z přednášky základů teorie míry, na nespočetné množině neexistuje ``rozumný" způsob, jak měřit množiny. Musíme proto pracovat pouze s jistou třídou podmnožin $\Omega$, které budeme říkat $\sigma$-algebra. \begin{definition} @@ -53,33 +54,36 @@ Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pra \item Pro $A \in \mathcal{A}$ platí $P(A^C) = 1 - P(A)$, \item Pro $A, B \in \mathcal{A}, A \subset B$ platí $P(A) \leq P(B)$. \end{enumerate} - \begin{proof} - \begin{enumerate} - \item Uvažujme posloupnost $A_1 = \Omega, A_2 = A_3 = \dots = \emptyset$. Potom z vlastnosti (ii) z definice máme, že $P(\Omega) = P(\Omega \cup \emptyset \cup \emptyset \dots) = P(\Omega) + \sum_{n=2}^\infty P(\emptyset)$. Tedy $\sum_{n=2}^\infty P(\emptyset) = 0$, což může nastat pouze v případě $P(\emptyset) = 0$ (jde o součet nekonečně mnoha nezáporných čísel). - \item Nechť $A_1 = A, A_2 = B, A_i = \emptyset$ pro $i > 2$. Tvrzení plyne přímo z vlastnosti (ii) z definice pravděpodobnostní míry a již dokázané vlastnosti 1. - \item $1 = P(\Omega) = P(A \cup A^C) = P(A) + P(A^C)$. Tato rovnost platí, neboť množina je vždy disjunktní se svým komplementem. - \item $P(B) = P(A \cup B\setminus A) = P(A) + P(B\setminus A)$. Jelikož funkce $P$ je nezáporná, snadno vidíme, že $P(B) \geq P(A)$. - \end{enumerate} - \end{proof} \end{observation} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Uvažujme posloupnost $A_1 = \Omega, A_2 = A_3 = \dots = \emptyset$. Potom z vlastnosti (ii) z definice máme, že $P(\Omega) = P(\Omega \cup \emptyset \cup \emptyset \dots) = P(\Omega) + \sum_{n=2}^\infty P(\emptyset)$. Tedy $\sum_{n=2}^\infty P(\emptyset) = 0$, což může nastat pouze v případě $P(\emptyset) = 0$ (jde o součet nekonečně mnoha nezáporných čísel). + \item Nechť $A_1 = A, A_2 = B, A_i = \emptyset$ pro $i > 2$. Tvrzení plyne přímo z vlastnosti (ii) z definice pravděpodobnostní míry a již dokázané vlastnosti 1. + \item $1 = P(\Omega) = P(A \cup A^C) = P(A) + P(A^C)$. Tato rovnost platí, neboť množina je vždy disjunktní se svým komplementem. + \item $P(B) = P(A \cup B\setminus A) = P(A) + P(B\setminus A)$. Jelikož funkce $P$ je nezáporná, snadno vidíme, že $P(B) \geq P(A)$. + \end{enumerate} +\end{proof} + \begin{lemma}{\textbf{(Pravděpodobnost sjednocení)}} Pro libovolné $A, B \in \mathcal{A}$ platí $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$. - \begin{proof} - Rozepíšeme $A \cup B = (A \cap B^C) \cup (A \cap B) \cup (A^C \cap B)$. Tyto tři množiny jsou zřejmě po dvou disjunktní. Dále díky aditivitě pravděpodobnosti máme $P(A \cup B) = P(A\cap B^C) + P(A \cap B) + P(A^C\cap B) + P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. - \end{proof} \end{lemma} +\begin{proof} + Rozepíšeme $A \cup B = (A \cap B^C) \cup (A \cap B) \cup (A^C \cap B)$. Tyto tři množiny jsou zřejmě po dvou disjunktní. Dále díky aditivitě pravděpodobnosti máme $P(A \cup B) = P(A\cap B^C) + P(A \cap B) + P(A^C\cap B) + P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. +\end{proof} + \begin{theorem}{\textbf{(Spojitost pravděpodobnosti)}} Buď $A_n \uparrow A$ nebo $A_n \downarrow A$ pro $A_n, A \in \mathcal{A}$. Potom platí $P(A_n) \rightarrow P(A)$. - \begin{proof} - Nechť $A_n \uparrow A$. Potom z definice $A_1 \subset A_2 \dots$ a platí $A = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$. - Definujme posloupnost $B_n$: $B_1 = A_1, B_n = A_n\setminus A_{n-1}$. Potom $B_i$ jsou po dvou disjunktní a platí $A_n = \bigcup_{i=1}^{n}B_i$. Zřejmě také platí $A \equiv \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=1}^\infty B_n$. Pak $P(A_n) = P(\bigcup_{i=1}^n B_i) = \sum_{i=1}^n P(B_i)$. Z toho již můžeme odvodit $\lim_{n\rightarrow\infty} P(A_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n P(B_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B_i) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i) = P(A)$. - - Případ klesající $A_n$ se dokáže analogicky, stačí uvažovat $C_n = A_n^C$. - \end{proof} \end{theorem} +\begin{proof} + Nechť $A_n \uparrow A$. Potom z definice $A_1 \subset A_2 \dots$ a platí $A = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$. + Definujme posloupnost $B_n$: $B_1 = A_1, B_n = A_n\setminus A_{n-1}$. Potom $B_i$ jsou po dvou disjunktní a platí $A_n = \bigcup_{i=1}^{n}B_i$. Zřejmě také platí $A \equiv \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=1}^\infty B_n$. Pak $P(A_n) = P(\bigcup_{i=1}^n B_i) = \sum_{i=1}^n P(B_i)$. Z toho již můžeme odvodit $\lim_{n\rightarrow\infty} P(A_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n P(B_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B_i) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i) = P(A)$. + + Případ klesající $A_n$ se dokáže analogicky, stačí uvažovat $C_n = A_n^C$. +\end{proof} + \hfill \textit{konec 1. přednášky (17.2.2025)} \newpage Uvedeme si ještě jeden příklad ilustrující intuitivní chápání pravděpodobnosti a zavedeme první takzvané pravděpodobnostní rozdělení. Uvažujme případ, že prostor $\Omega$ je konečný. Nechť všechny výsledky jsou stejně pravděpodobné, pak platí @@ -101,11 +105,12 @@ Je důležité si uvědomit, že disjunktní události s kladnou pravděpodobnos \begin{example} Házíme férovou mincí 10krát. Nechť $A$ je událost ``padla aspoň jedna panna". Pak platí $P(A) = 1 - (1/2)^{10}$. - \begin{proof} - Nechť $T_j$ je událost, že při $j$-tém hodu padne orel. Můžeme psát $P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - P(\text{samé orly}) = 1 - P(T_1 \cap \dots \cap T_{10})$. Dále díky nezávislosti (v tomto případě jde o nezávislost předpokládanou) jevů $T_j$ máme $1 - P(T_1 \cap \dots \cap T_{10}) = 1 - P(T_1)\cdots P(T_{10}) = 1 - (1/2)^{10} \approx 0.999$. - \end{proof} \end{example} +\begin{proof} + Nechť $T_j$ je událost, že při $j$-tém hodu padne orel. Můžeme psát $P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - P(\text{samé orly}) = 1 - P(T_1 \cap \dots \cap T_{10})$. Dále díky nezávislosti (v tomto případě jde o nezávislost předpokládanou) jevů $T_j$ máme $1 - P(T_1 \cap \dots \cap T_{10}) = 1 - P(T_1)\cdots P(T_{10}) = 1 - (1/2)^{10} \approx 0.999$. +\end{proof} + Dalším silným nástrojem v teorii pravděpodobnosti je podmíněná pravděpodobnost, která nám poskytuje odpověď na otázku ``Pokud vím, že nastala událost $B$, jaká je pravděpodobnost události $A$?". \begin{definition} @@ -121,16 +126,17 @@ Poznamenejme si několik základních vlastností podmíněné pravděpodobnosti \item Události $A$ a $B$ jsou nezávislé právě tehdy, když $P(A|B) = P(A)$ (předpokládáme nenulovost $P(B)$). \item $P(A\cap B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$ v případě, že $P(A)P(B) > 0$. \end{enumerate} - \begin{proof} - Vlastnosti (iii) a (iv) plynou přímo z definice vynásobením vhodnou konstantou. - - Vlastnost (ii) se dokáže následujícím protipříkladem, uvažujme hod dvěma férovými mincemi. Nechť $H_1$ je událost ``padla aspoň jedna panna" a $H_2$ událost ``padly dvě panny". Potom $P(H_1|H_2) = 1$ ale $P(H_2|H_1) = \frac{1}{3}$. Důkaz obecného vztahu je ponechán čtenáři jako snadné (ale užitečné) cvičení. - - Nakonec, vlastnost (i) je důsledkem toho, že pro libovolnou množinu $A \in \mathcal{A}$ je $A \cap B$ měřitelná, a navíc pro libovolný systém po dvou disjunktních množin $A_i, i \in \mathbb{N}$ platí $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i | B) = \frac{1}{P(B)} P\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \cap B\right) = $\\ - $\frac{1}{P(B)} P\left(\bigcup_{i=1}^\infty (A_i \cap B)\right) = \frac{1}{P(B)} \sum_{i=1}^\infty P(A_i \cap B) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i|B)$. - \end{proof} \end{observation} +\begin{proof} + Vlastnosti (iii) a (iv) plynou přímo z definice vynásobením vhodnou konstantou. + + Vlastnost (ii) se dokáže následujícím protipříkladem, uvažujme hod dvěma férovými mincemi. Nechť $H_1$ je událost ``padla aspoň jedna panna" a $H_2$ událost ``padly dvě panny". Potom $P(H_1|H_2) = 1$ ale $P(H_2|H_1) = \frac{1}{3}$. Důkaz obecného vztahu je ponechán čtenáři jako snadné (ale užitečné) cvičení. + + Nakonec, vlastnost (i) je důsledkem toho, že pro libovolnou množinu $A \in \mathcal{A}$ je $A \cap B$ měřitelná, a navíc pro libovolný systém po dvou disjunktních množin $A_i, i \in \mathbb{N}$ platí $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i | B) = \frac{1}{P(B)} P\left(\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \cap B\right) = $\\ + $\frac{1}{P(B)} P\left(\bigcup_{i=1}^\infty (A_i \cap B)\right) = \frac{1}{P(B)} \sum_{i=1}^\infty P(A_i \cap B) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i|B)$. +\end{proof} + Použití podmíněné pravděpodobnosti v praxi však někdy může vést k neintuitivním výsledkům, které ilustruje následující příklad. \begin{example} @@ -162,22 +168,24 @@ Na závěr uvedeme dvě velmi užitečné věty, které se často používají v \label{thm-complete-probability} Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Potom pro libovolnou událost $B \in \mathcal{A}$ platí: $$P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i) P(A_i).$$ - \begin{proof} - Definujme posloupnost množin $C_i = B \cap A_i$ pro $i\in \mathbb{N}$. Zjevně $\{C_i, i \in \mathbb{N}\}$ je disjunktní pokrytí $B$. Potom $P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(C_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i)P(A_i)$. - \end{proof} \end{theorem} +\begin{proof} + Definujme posloupnost množin $C_i = B \cap A_i$ pro $i\in \mathbb{N}$. Zjevně $\{C_i, i \in \mathbb{N}\}$ je disjunktní pokrytí $B$. Potom $P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(C_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i)P(A_i)$. +\end{proof} + \begin{theorem}{\textbf{(Bayes)}} \label{thm-bayes} Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Mějme událost $B \in \mathcal{A}$ s nenulovou pravděpodobností. Potom platí: $$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B|A_j)P(A_j)}.$$ - \begin{proof} - Přímým výpočtem dostáváme - $$P(A_i|B) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B|A_j) P(A_j)},$$ - kde poslední rovnost získáme aplikací \textit{Věty \ref{thm-complete-probability}}. - \end{proof} \end{theorem} +\begin{proof} + Přímým výpočtem dostáváme + $$P(A_i|B) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)} = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B|A_j) P(A_j)},$$ + kde poslední rovnost získáme aplikací \textit{Věty \ref{thm-complete-probability}}. +\end{proof} + Použití Bayesovy věty si ukážeme na následujícím příkladu. \begin{example} @@ -192,9 +200,10 @@ Použití Bayesovy věty si ukážeme na následujícím příkladu. \begin{theorem}{\textbf{(O postupném podmiňování)}} Nechť $\{A_i\}_{i=1}^n$ jsou náhodné jevy takové, že $P(\bigcap_{i=1}^n) > 0$. Pak platí $$ P(\bigcap_{i=1}^n A_i ) = P(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_1). $$ - \begin{proof} - Dokazujeme indukcí podle počtu náhodných jevů. Z definice podmíněné pravděpodobnosti víme, že $P(A_2 \cap A_1) = P(A_2 | A_1) P(A_1)$. Dále - $$P\left(\bigcap_{i=1}^n\right) = P\left(A_n \cap \left(\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i\right)\right) = P\left(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}\right) P\left(\bigcap_{i=1}^{n-1}\right),$$ - čímž je důkaz ukončen. - \end{proof} \end{theorem} + +\begin{proof} + Dokazujeme indukcí podle počtu náhodných jevů. Z definice podmíněné pravděpodobnosti víme, že $P(A_2 \cap A_1) = P(A_2 | A_1) P(A_1)$. Dále + $$P\left(\bigcap_{i=1}^n\right) = P\left(A_n \cap \left(\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i\right)\right) = P\left(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}\right) P\left(\bigcap_{i=1}^{n-1}\right),$$ + čímž je důkaz ukončen. +\end{proof} diff --git a/nahodne-veliciny.tex b/nahodne-veliciny.tex index eeb4b6f..6145235 100644 --- a/nahodne-veliciny.tex +++ b/nahodne-veliciny.tex @@ -30,27 +30,27 @@ Máme tedy jakýsi obraz míry $P$ v zobrazení $P_X$ čímž se $(\Omega, \math Buď $g$ měřitelná funkce na měřitelném prostoru $(\mathbb{M}, \mathcal{M})$ a $X: (\Omega, \mathcal{A}, P) \rightarrow (\mathbb{M}, \mathcal{M})$. Nechť $P_X$ je míra na $\mathcal{M}$ indukovaná zobrazením $X$, tedy $P_X(M) = P[X^{-1}(M)]$ pro $M \in \mathcal{M}$. Potom, je-li aspoň jedna strana definována, platí $$\int_\Omega g[X(\omega)] dP(\omega) = \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x).$$ - - \begin{proof} - Důkaz této věty je poměrně technický, hlavní ideou je ``klasický" postup z teorie míry postupným důkazem nejdříve pro charakteristickou funkci, poté pro jednoduchou měřitelnou (nabývající jen konečně mnoha hodnot), pak pro nezápornou měřitelnou a na závěr pro obecnou měřitelnou funkci. - - Nechť $g = \chi_B, B \in \mathcal{M}$. Tedy $g(X(\omega)) = 1$ pro $X(\omega) \in B$ (a všude jinde nulová), tedy pro $\omega \in X^{-1}(B)$. Potom máme - $$ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]. $$ - Pro pravou stranu máme - $$ \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x) = \int_B dP_X(x) = P_X(B) = P[X^{-1}(B)].$$ - - Dále nechť $g$ je jednoduchá měřitelná, tedy $g(\cdot) = \sum_{k = 1}^{n} c_k \chi_{B_k}(\cdot)$ pro $n \in \mathbb{N}$, $c_k \in \mathbb{R}$ a $B_k \in \mathcal{M}$ pro všechna $k$. - Z linearity integrálu plyne (vytkneme sumu) $ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]$. - - Je-li $g$ nezáporná měřitelná, potom existuje posloupnost $g_n$ jednoduchých měřitelných funkcí takových, že $g_n \nearrow g$. Potom dle Léviho věty o monotonní konvergenci máme - $$\int_\Omega g[X(\omega)] dP(\omega) = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega g_n[X(\omega)] dP(\omega) $$ - $$ = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\mathbb{M} g_n(x) dP_X(x) = \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x),$$ - kde třetí rovnost plyne z již dokázané části pro jednoduché měřitelné funkce. - - Nakonec, pro $g$ měřitelnou existuje rozklad $g = g^+ - g^-$ takový, že $g^+, g^-$ jsou nezáporné měřitelné, tedy požadované tvrzení plyne z části pro nezáporné měřitelné funkce. - \end{proof} \end{theorem} +\begin{proof} + Důkaz této věty je poměrně technický, hlavní ideou je ``klasický" postup z teorie míry postupným důkazem nejdříve pro charakteristickou funkci, poté pro jednoduchou měřitelnou (nabývající jen konečně mnoha hodnot), pak pro nezápornou měřitelnou a na závěr pro obecnou měřitelnou funkci. + + Nechť $g = \chi_B, B \in \mathcal{M}$. Tedy $g(X(\omega)) = 1$ pro $X(\omega) \in B$ (a všude jinde nulová), tedy pro $\omega \in X^{-1}(B)$. Potom máme + $$ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]. $$ + Pro pravou stranu máme + $$ \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x) = \int_B dP_X(x) = P_X(B) = P[X^{-1}(B)].$$ + + Dále nechť $g$ je jednoduchá měřitelná, tedy $g(\cdot) = \sum_{k = 1}^{n} c_k \chi_{B_k}(\cdot)$ pro $n \in \mathbb{N}$, $c_k \in \mathbb{R}$ a $B_k \in \mathcal{M}$ pro všechna $k$. + Z linearity integrálu plyne (vytkneme sumu) $ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]$. + + Je-li $g$ nezáporná měřitelná, potom existuje posloupnost $g_n$ jednoduchých měřitelných funkcí takových, že $g_n \nearrow g$. Potom dle Léviho věty o monotonní konvergenci máme + $$\int_\Omega g[X(\omega)] dP(\omega) = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega g_n[X(\omega)] dP(\omega) $$ + $$ = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\mathbb{M} g_n(x) dP_X(x) = \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x),$$ + kde třetí rovnost plyne z již dokázané části pro jednoduché měřitelné funkce. + + Nakonec, pro $g$ měřitelnou existuje rozklad $g = g^+ - g^-$ takový, že $g^+, g^-$ jsou nezáporné měřitelné, tedy požadované tvrzení plyne z části pro nezáporné měřitelné funkce. +\end{proof} + Na závěr poznamenejme, že se nám budou obzvlášť hodit volby $(\mathbb{M}, \mathcal{M}) = (\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ pro $n \geq 1$. Připomeňme si, že jsou-li $\mu, \nu$ dvě $\sigma$-konečné míry na $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ a je-li $\nu << \mu$ (tedy $\mu(B) = 0$ implikuje $\nu(B) = 0$), potom z Radonovy-Nikodymovy věty plyne existence nezáporné měřitelné funkce $f$ takové, že $\nu(B) = \int_\mathbb{R} fd\mu$ pro všechna $B \in \mathcal{B}$. Této funkci $f$ říkáme Radonova-Nikodymova derivace a píšeme $f = \frac{d\nu}{d\mu}$. Taková funkce $f$ je navíc určena jednoznačně až na množinu $\mu$-míry $0$. @@ -70,11 +70,12 @@ Je třeba si dát pozor na to, aby zvolená referenční míra opravdu byla abso \begin{theorem} Buď $X$ náhodná veličina a $P_X$ její rozdělení. Je-li $f_X$ hustota (rozdělení) vůči $\sigma$-konečné míře $\mu$, pak $$P[X\in B] = \int_B f_X d\mu.$$ - \begin{proof} - Přímý důsledek Radonovy-Nikodymovy věty a vztahu mezi $P_X$ a $P$. - \end{proof} \end{theorem} +\begin{proof} + Jde o přímý důsledek Radonovy-Nikodymovy věty a vztahu mezi $P_X$ a $P$. +\end{proof} + Další funkcí, která plně charakterizuje rozdělení náhodné veličiny je tzv. distribuční funkce. \begin{definition} @@ -125,17 +126,18 @@ Vidíme, že hustota odpovídá skokům distribuční funkce v daném bodě. V n \end{enumerate} Navíc, každá funkce $F$ splňující body (i)-(iii) z této věty je distribuční funkcí nějaké náhodné veličiny. - \begin{proof} - Dokážeme pouze implikaci o vlastnostech distribuční funkce, opačná implikace (existuje rozdělení) vyžaduje pokročilý matematický aparát z analýzy a teorie míry, který prozatím postrádáme. - - \begin{enumerate}[(i)] - \item $F_X(a)= P[X \leq a]$. Bez újmy na obecnosti nechť $b > a$. Potom $F_X(b) = P[X \leq b] = P([X \leq a] \cup [a < X \leq b]) = P[X \leq a] + P[a < X \leq b]$ z aditivity míry, druhý sčítanec je nezáporný, tedy dostáváme požadované tvrzení. - \item Platí $\lim_{a\rightarrow -\infty} = \lim_{n\rightarrow\infty} F_X(-n) = \lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in (-\infty, -n]] =: $\\$\lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in A_n] = 0$. Poslední rovnost platí ze spojitosti míry (v prázdné množině), neboť platí $A_n \swarrow \emptyset$. Obdobně se ukáže tvrzení pro $a \rightarrow + \infty$ (cvičení). - \item Stačí uvažovat postoupnost $a_n = a + \frac{1}{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$. Požadované tvrzení opět plyne z věty o spojitosti míry. - \end{enumerate} - \end{proof} \end{theorem} +\begin{proof} + Dokážeme pouze implikaci o vlastnostech distribuční funkce, opačná implikace (existuje rozdělení) vyžaduje pokročilý matematický aparát z analýzy a teorie míry, který prozatím postrádáme. + + \begin{enumerate}[(i)] + \item $F_X(a)= P[X \leq a]$. Bez újmy na obecnosti nechť $b > a$. Potom $F_X(b) = P[X \leq b] = P([X \leq a] \cup [a < X \leq b]) = P[X \leq a] + P[a < X \leq b]$ z aditivity míry, druhý sčítanec je nezáporný, tedy dostáváme požadované tvrzení. + \item Platí $\lim_{a\rightarrow -\infty} = \lim_{n\rightarrow\infty} F_X(-n) = \lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in (-\infty, -n]] =: $\\$\lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in A_n] = 0$. Poslední rovnost platí ze spojitosti míry (v prázdné množině), neboť platí $A_n \swarrow \emptyset$. Obdobně se ukáže tvrzení pro $a \rightarrow + \infty$ (cvičení). + \item Stačí uvažovat postoupnost $a_n = a + \frac{1}{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$. Požadované tvrzení opět plyne z věty o spojitosti míry. + \end{enumerate} +\end{proof} + Pro každou funkci $F$ splňující vlastnosti z předchozí věty existuje míra $\mu_F$ na $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ určená vztahem $\mu_F((-\infty, a]) = F(a)$ pro všechna $a$. Tato míra je konečná a platí $\mu_F((a, b]) = F(b) - F(b)$. \begin{definition}{\textbf{(Rozklad pravděpodobnostního rozdělení)}} @@ -170,12 +172,13 @@ Ne každá veličina, se kterou se běžně setkáme je ryze spojitá nebo ryze \item $P[X = a] = F_X(a) - F_X(a^-)$, kde $F_X(a^-)$ je limita zleva $\lim_{h\rightarrow 0^+} F_X(a - h)$ a odtud $P[a \leq X \leq b] = F_X(b) - F_X(a^-)$. \item pro spojitou náhodnou veličinu platí $P[a\leq X \leq b] = P[a \leq X < b] = F_X(b) - F_X(a)$. \end{enumerate} - \begin{proof} - Důkaz je jednoduchý, plyne z příslušných definic. Uvedeme např. důkaz pro bod (iii). - - $P[X = a] = \lim_{h\rightarrow 0^+} P[a - h < X \leq a] = F_X(a) - \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X(a - h)$. - \end{proof} \end{lemma} +\begin{proof} + Důkaz je jednoduchý, plyne z příslušných definic. Uvedeme např. důkaz pro bod (iii). + + $P[X = a] = \lim_{h\rightarrow 0^+} P[a - h < X \leq a] = F_X(a) - \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X(a - h)$. +\end{proof} + \hfill \textit{konec 4. přednášky (25.2.2025)} diff --git a/skripta.pdf b/skripta.pdf index 1c795e5e74e2e46a0013433c5658adabc65d4833..6b342cf6163c309137fb0d104dfc9a605e3bccfe 100644 GIT binary patch delta 21966 zcmV(&K;gfhvImc{2e8Ege@l;Rw+-I+SGc>Gg;j}qr;`EFq7QVD+#q+CW)WY57RQZs{1KuV8Iy?g%d2kt!vkwaT;NNJE;sSri${0tJy*M_p;#7t*7_HTlv!Ee?`)X|;K2^xdV2@`N^| z3IFu57?SQa+ssHQD-0y-O3Q&C_T>D0G%~Fq4bGp%Zj>E{fA<1B0PZ#q>MqX~EfdIm zP`Z{3l6K`}{+$Y# zWpO6$(*DgkE5x07x2~TlIDvZCCeQTncd6iUu^=Ud2OCvg5ban&HM3%ov=BC;x`@1h zEI(`+hL%-we=;ra2&i4BlnNVLBMF*fvgxQfGGn&C{F0biw>U>FRnGD1f ztK^g7ilrMql`OTG<&Cz&hOTpKUrvAZKDf|cV7QM6V0;nmZ;MoMW4)fyJAy50eqhOu z8j5J*)`r^(vVihv78CR4v(Z&CU9k|{NheGaB3fHge-8RTOI|m5ylio+lcS^)5EL$- z7oj_yHPPlp(O^mJta&tg6OGXu&CgC%+i+J1FcJq0%GBlbT6}IE$#aNV3Ww}!sbUOb zE||#L`(mkK)C=gSbyc5UYnk+?oV-WP3PSZxHAImq-cXOmplh9Jp3U04zb@V;e^mlm zQoSXkf3SX#_e$0_Vyv}J_p;7vRUjZnO$Ry%uXXj-e3Eihpr~q~#U6H;IjCemPRh?M zb9CaU+#)RdLo~yuwz=7LBoAt`;2?R@x`I=2(IpVE<#)KDYmH8RP(Y6aD4v%w9j~wT zE3Rh8P`%FlPidYj(C>EozNhlu~~~|SB-5)RWw)Z zpn*Ge&>&8u2NR$LLH$FvFWmnSjln|EX>UI?ZI)v~RM;wk0AKvH9OPBi?athiks?VJ ze@gr(kCta6;Ec17S(LT#FC1bkG`w8q=^A>;Q?bgo$fcqdY^k5Jv64|015Z|1<+O3+ zI}R2>chD%sp)VJrrwkDWv7tiW3ohAdRT4j%!U$so8*nOyg0er`In8k zrC(dT%p(@zJbaI_u-1Yl!eP>0HT%m2$jSYoApTXtnTLIS{sv9pO^;ebtYpCA2Uzo*)YX zl@QG$33Wk5AP1-mCg2D`-0KAaiBW|Cqq>89F$s{Ildt%C2&q7See~qPI2}w+8 zeL`%6A2cxg)(|E4TT=oR@#Xw7t&9Q3BBk$Iam-^zjxllD!|MsB#3be>wu}xVRZ+0% zn)hnZxlPUhHQSrr0=8nOzK^KN?L)u>nNyr_JgS?MfzBV7q2G^)t5Y_=uKe!ttN6a? zGucPCR29D;ci#rcCu41xe|yBEE%}P+vwF5=-T@D#Yc8`%VyBcoVtQRO`q%ix5l=XQ z*$9~46Fhvo1TH}Yi(ccsT#yk62`~>DTu@HtJ2^ZrXHiiogec*liNSIz&7vPm*7eIl z=!h-N;ope!&^2j{iCZ&)8oHG+YFG?dd-c-yFU!8QU~le>aA=BH-D}0MD%U zWd&kyZ*gfxqdAOR!%TP}(38|Ip@qyn*cMc)VjG5!q!YX^=K|AbBa zd*xWK1>r$xV;c>&e;3+wGxdg3^*XheCm=%TF##FW8mIBJ7}0|a2>DG7_X)Nq9xkW za$5C|r2;{C=Z$)|c;SUJ4o&WMyoe&GVEtPxJKP8uZO_vge~2i{mbD)-VwUhQ86N<; zP7AI-rA31;&`#-5?@PmQsZ%bEJccZ#-6|{GC9>L$SeRKSbn!4N-t8;CW9w&qq8(L+ zV?C6`Q*69x@ZpGq{zNA8>tm`!Wmy;hbtZXCK> z#U=Tt5hMBX}`w7T?%m1FSW4mrt7H50kb5PI@e5z4(Ef!Voq znR?-oGRed3d>wB_d}YjJ1)SQ#zyMB{Mv$)sWXG~r>ZovpWiN&PcO~zHjc8Qc#|t%I zT&ff(e=BG1=I|2)4z`<+FWP${GF_E2GHR_ZdRg7j=i=&Ocx-3^Xz$WiM zXIbdQecf!hm8Hq;VskEx+1jsbT(={q<+=7!f8fOMigR67@0#(G)Dlypw^vP_{OQ-> za<2$(iJL%}pjB-5@k{99gtRzeU7wL1yK!RA)AV}htt7@l%pfq&y{BMlyp{ZZ_f`@k zvht=|>pp+CgfbCFuU_UTK(W?>3`}xXrB4DE+DpE83j_B0 ze+?qGa6={-W*t;a_r>GUXxJ~t03$Sj+0^BX=$dmY%#{=-Vz=rx3=p$%>{?Iv@_i(u z8Zq9osa!)TSZLK&xy4HkZC99~K`5tv+_IY?-!Y8kL-2G@g-n<#WGq-~rfa~>)szQg z?yP9>`xPzkc9=V7WLoS@5i&4_m`TNfe-78Wrn{vNSEmi7R`9|Sl^ZTvF$&CB1D}5y zoKl>aP9Fo<1KN;8D5gSBt)?1Gw@!>PUrDX`45xgBF6Mn$YZ$Ch3f$oA_t)hGikEN) zqDr9={D)~>Wo<{B>V>;PF2&I!#fYWB81i+MIJ>K23-Sinw(Bt|(J?NLrS6y9PE7Cm4vdQ+wl7g|`eH~tofQmRFEhDPTXVhlS3%^id9P&s%O z8#f_UUITygT#khC$%TWaD`%0HuqL4oeK`~W1780e^-Gr{*2F4u7(m69z zk#kw-POya;0hcZ<^_Iymv}C5+ zTxReancBboq|4h+2oZ}&KsT72`*Mj~{;Sp-4_B(C%A~I~E>&lFf8^V=Ennc~Z!f*T z9eOQm!nseLX_#=$;c2Ue-7C*k)F)z0jL9`3LoSpP}N69&AHiwqgmB91` z-dozOdw<4MmWGO1DrtFYdPvpuVUOgxn?bQuxaS+We~m%0208{s$6W>m6Ac>T4Gao~ zf?7ZJYl*9Ye1Tsue<@zwjE-ys-1^!*noW1Ey1Ze@?uwIXA1cAF_DWa{`eP}hyBZx3 zu?1^tP4QTz^8I0ZbY350!~v#(_#t=0l$4=wMbODw(c5<%)4bV+;XO8XQQi*N4O z$L&ifmBTu5w}FMy-naK%>V;&olGHd6RQ$$~DUtWwz*e<5?{DMwvIu|s{$@?QC}E?j zFWS95x}#VO#&hE^7TKqFmqiFgVg%4n?6JT8&3^!l zx})>6JQDpb0X4HaL0AHR0yNsFIe&dS(=R6+wY6Eh-oJS}8xVze8jB74eQD$SHeMLe zHF-pHAn6H^!Q7 z72N6%@0OnyL4<0rm!B8qL0Dyg#S}oGN9mRi3jkSk?^OTvKg-{LmhY159!XXK*!;7x zLE2Js)i*Gq&;>z|W*JXx^oTwxOXfKJq_hRqb68H9M=IwP790HK6`Lz%n6U-45{meO zE4BnL9H80d%Q#avNY9w(r2PN@Z@x$$^KlVKK53h8890Qw+<6hC^=8dXXI#;48Oxxs729>sPJ zE++rdc_cjdex?jn0EgJjOdGpe zOZ4bAQjg8w7d)kp& zKIV?Jaunx(Qxun5clbMst(GCTXYNH2g!1%p%#pTD%eXmaMJmg-%WTX8>S5nyBcN#4 zHWI8THX|il*WD@AmJ@X#o|C@pv4yulZlU|R0so}%B^u5c5@e>415DB@dZKz{*L{nW zmM69|5s{eki-o>t!jO3d)#8-kD>h+s$ALNn*)p_$%fmD0M^Yk?%>9aGi*1vpW=2OQ z+OoX8Xt{(xW#~#$L$NfBPLi}<9SoaYb#}fD4_N@K1z`xS*HbZXh81fl0AH&PlmuGQC7!F zk?B!?yNs@ES;ayrLWjJAaoA&Keke@Ms%1;d#Ikj`7B?aJpM5{|ko>w_-XIX^XO}foQ0r{9Ic&(t$SvkjAJBK+HO^9wbJ?Azt@WN zZ6@sLm$g-8(xNmH0UX$8Fw~``Qa>llUsaWV^)*3rb_N;U6v1Fik>qgo5EJ?QMIK|)p~RbCq0DsE_AtgRLxE2YMN7!HLbbZBy=(zauAB@*mHZH!N}i@-dP7VLBxWRGjGPTjoUFdSXj_Q)S-!n=(OW zT%`w7bf(jBS)Gi&8^gYQTr=f=E06+uQ+D%*X*$aa6+&%Owi|FvF_6VkCHM4~9m-YU z3~Hs^7dbT82NXG<;O+kEN+67#{AR~etYAJ0Na~_VU1%)7#Y?9yhva*!H{};(?Sd2mX~tnYN8d{XKFl}I64R~Zv}q9N73k-GRgQ0W(&gj| zY}x5`&Y%21uSm2!BFrxegf@s~u->4CtRo5lLaMY|ER!xN)8FR`Dx3xg)RfGs3JOQ* z9gRE)qQGG$`0KgvU;=$0vqtjaj5h9tSn2m!`Q!Z9WJv1%g7#`$z~^Xj$BE~D`2au; z%_=gwWLpG92-dVC;0-W;tavS~tb(ORSe2Mhk7M%a)a3(C{c$i^GSHjw5IQ4t%C=yD zV%)7Hl=Ck&*43w}l~6<-N>`xAo8Rqi0ELM0z~<2{utIvxO5L@bpZTpE+MX6Df<}IG zNVoEyP6lb8EJVY88DT7_L59YNX1W$~;7%2s`|PeVJnAXI=HRt|r6z|ngf%Tl`=osl z|ML~cN>36E_n3BOl>EbHZSDAaG@#+lpTc4JgiS&_JyMq7Wp7 z%u#9O2whevBAF3?Qdoip+EVN@!iZ5?<#M2?l6D!M0~7#30bC*?@y`seKHd=T_`+AN z-;Bf*hv%-^m>nk+2-g!{cv&QKVfPNm=Z#Vmod->L6*KUC-N08U{oE@EyYt@ldC_zk z$SglE^g;012J)`xP#B3iEFXr)mQbAY*5|80V_&N*1+cMyQE;3~{XpJJ3lq?X{_&;0 zG%u3t)~mkt@wzWJqA`^oY3?7dXug;S#y~MFa&qiK9yr|_?DN3>QXZI$HR6y62FUS< zZ3mY-$yp78T69Uc+j6tU8Rz~VlCzw!@dbtU$=Q08b!Bok_qY~8VmeW~JqxQSR&`2C zcSRbONOIqpnaWW9%kXb}2o}79UtiKJWA_U*vo&KMPoyKF`m3VGL-$o1eva zFZ$a2EJ-#QF7-&z3DVlfLMTE4x2I<@9v$g_wHpTYN<{qS#`G!KSc|UMqYLR%l)?1r zQ-2|SszEgaX)9^<*!=pR$TYv9>alFyq9z1kXSU*y91D+>JuZ1noFIcXOe zF-@?HERk@YkB$jpNe4y~;t;BFAw3xJ?rDv0`V4s6H>hG4^0L6rHm1X1$} z5=}mT$9ecH#P_3DKw#bm?|2@?;qj$Yi71*Xo`#Wucj%tsRD%3Xy9;@o-GwP&aDHp4 z6=an#rg+10Po%r@7t6{@F~AONJXm2Y%9ko^`g~oN@&XM)coEn2v25W2PDx04kobAR zY%Hz1k}tFBD@~Jm4n_|;7z*YMhv~`_{bc!nv3t5-d}X-!N;60^6yB5AY5XKP@py}t zqBl!Ocv8f*p<7X)r%ZT7F~1fRBSBb+&JMB+){=Li|6e1^1o#Do2z>qP)5|jO@LHNH zWEl)!jKNn#{;QE?Pu2;!{IwHh&ZKG;%#K-J!SQYcC;0x4c}3%|X#5kQ@vr9h259$x zy|y-85dxWWEIEsp3RkA@=~%xWp{9M)TMXn-+_t&tlOg%)y$v0t&g0}Vr+O)}LmOh0%ic>WTy-r^_l}leq_}^)qWIFw zevCF`CdsJQP_7o$s%^h|Xqt&>zBE=SE?$_|;YjW3BX&9?X{v8ti+^aNm`WaW9#-p|5LYTT;v5ZDmWIgY);j-AGSa zP|gpzaxNAZ70XcqeLQwmQg8*;F*C7~s6JFa4O#Lh94xM`NwIqB@h+cg@1L@L)%dZV zb8XxZSMaESH=lOGQ-~^c^X0UEFBWIHzBX3F$og_@w?n=ogM0Mn9{hPv^Zv{@hipR3)GV<{HrCtLvJ8O|+S0a9(@R=bkY+v(KHh>LieZ$i1 z-9Pa)4(V-Jt2Yw4M@m<`=hT*Zv9r+|4&?1)XXc!hLhUJhiy!k>kpS|48@#HlUGpvy zHsDzcYVFW8mr`I7V3=c%^ne1v{}_z-z)Tm^}5u7tqPB)GC-i)DDe1V*P5Rx z5Pxpl3?W4AkaABuC@^#Sme)juE9wIBRjN6gIW-B6Jz12Qx=lW}<%fA=snS$tco1!5oykW-B4VA;~ayQ}df zI{4)L{8W)FHpwApXI5()0U|+|88(|N*5j)ewf(xOP2yj*dDy&)BGRAj@e7Xqg8%-$ zefNI*=3U(Ii34Z0_s7jU;T34T9UKVnjMLlur=RYmG+Igx_XiCTf4L~t@sUQP1bm_% zfANWy^aMu?@Gm$@86?f;5o_)b5a^4N(ue%%Brj~9y2WCC4o^Iy9%;jS@c7+3ev8)e zGLO=H6EbPET1actj!x!L?ei!9rdf|q=~G$7JDCUim1pe~(TFv5G}9sTLERJ6vs0L9 zN$;m8nf}bCM5(<0^!^{)K^YN^jt;*me-W)!p7|bV;mism^mxRj0u)X++$>*=A^zw2 z#QDU!pet(=`6Rn^I8zCvBk;^JBg--ErH{=P^{jbWxAWbVjcJT!oM%GjXqHC$gTWIL=QDYTQ2iQZ_Qbet}P>KK$Z1Ec$O`Z>Q`u+GQZTjZR-c}pMRM$Y61 zAe4>@ssL?BEcx5}3|C6Gvztus5p~?d-il3$~ zj?3DPk5XvsgRVpXWX<_(r}6m78M1lo907Y$)hRJ7sClF~Q*KZZ~$R_4I5`NQ>yRtDVfapU^9T zVvau4ZYC_R6s}Pf0N#;@N&!XJ*%zP zUbTjE^F%7}?NkR2fG~}6j9HF0dd6$`oHd?Qlk_0PhK$aghtNhioYZKv=Fs8(U;s)u zWT1&}hCd}xpcm7mhw()w zgrnE&tx9C#_&9_&fB9Q_D=-QXLUB~XGiVPY->=~lBH^b}@hjXyClL%{9C~e^{jfk0 z`dDPMa!d&_!azV=8gUl~{JJ4!!EV28_#upPG2p(z2=wac|G#v@-iu(ZG26ele{J6n z?>glW8F3OBsBsbBH4@i}I{0?@+`G6h#*D+8WpI3treJuAf6+}xZ#z8DdoD!-+7Mlk z-c5)DNl=hIu?gg+DCKbl-#K81lHd>w=UHTWq*$CBQ4nH+FX3?V$0Y;Fqmb<>xk=hL z2h6AIn4*q}0#ocX*piZ+j}CaRAz0co5q4R58r#u4VruLvAGi|ZOSYLa$*OGYyew@E zduYJtOv&9ze?qC(GDxIe7~=w(nGQCFM&QZTd0F5k2@Px$>tgo0KvRbZZlaG@gt`H> z3kJs-he+3h@op9BGAiC5)Lj$rdiksbIreI51v7sem2hA!)I{i`RCDi*Vnz8mj*#Ch zG982Y3cK&WE*xRBrXt##+k0JYHXSb$i2wUC?wVf4=G zx%fVb>Ury3CRh$xfFrU|WVR*_pEX!vLPR7SZSOgIGbyO-?Jc3z*(f$*&=U-&s_#~u zG}76DlmD4yX9MzsJRV`HNXhG}<>f*4x%u;t#; zb2>zCe}I0#tSE_R*K_lSMM!@dXYTb4zpiimyeO0a#^bK3OBf9`A|DV>3cw6%3|7vi z93NM;7o3L9rq)BqVa{O*Cn{CblL9C6vqa&dWo7EqiNnwIu=I54} zr8pU`5ZM#H0y;R5&n`)e%<%<)y7G170F=3mg-Mus_H``G?8|SSI+|L| zf9Y6f2X|v+L_kA>l$enN>hpd;+L($#_;v7(&-y+k&-=auZo8v>S9GietkNl{6`>=q zn~Gs_uNQR@eOmXjnjgPIIaLHQd4~MTlj|`+-w~+4ZJpkN1>E0q2G_L{t8m z3jRLpTm?VnqAJ{RZHU(@6&-$(JCTt`T;ocT`PBWwm8ofdV+|LjJfJu~ZXsi*e|a#W`aSV2Jx3S2huuJ^GET*iRYfxvZ26Pu<7E5{{4>%mJfkO!zR(QV=)1S9==VG+&8B z#Sf)QQ)EJ1sbElbm!m6=c=C+LqFgjHn_^nC=Ds|FlR4S8C>9g%MPPq;IDU9ncCqm zH=-N)yp)yPgfv%fhk!Gkf5{btdmf}XH3YbF@Qw#@%cwDUe~m@IU9?|=wJvVj2^-L@ zUV&ew?vn1S+)Wn;+~4~uf~#OLb{c{qzwpLbog;qG)-(uN8($`v?Kj-k3Lk0tgRxY^ zmKbDx*~lw-mzq%faMMZ}w(M5H2O;xjZgy56GrUEeGni$mi;-Ebe@kI|5&U9XPs%$N zg$mTmu{oI|p;n0^Hltkj@-H3+JP2?mpytR@iec9a4dx zVv*XNZ1cl9ClwbLe{qN>_0aCC((Vg9lO&&_UEE`cLARrjsHGmYH9|?b=cuM43I%l$ zA<#-99#t1@Nk#OYR03&-*S6HHf_}_~c+Qs4Js7WDXG{01f{;N^HDdkQaB>$W*K5*M zkf%Y^EXE@4;rj7HxLO-&zCyV1B>Dn1=~%UeyG-86J?7~(f8}uDHRX~}85FX02vuW3 zHQa_nfJ|$6zJOj9)urg6A2Kniv%dGO(wtPw^r5@mwoXx{#q<+Eonk~>Ub`(KH$I-m zk!7@8MB=-JU0!ZHKcQBe&Ad*^(cDU`|K~WboZ}2me@_ZjP&}!T=~kFOlRIdXrIY9s zEZuYubTt(NRvi!klsE10nSixf1f7f`mwau!dZw%0M`v%dJm<-k!st5srdhtouC!2S zobICRYCoJa!ehMQ1`gHXi#X(^a2SQ?Ga=;ba7g_L9P)IfIK)wh>hMJzqWV5veE!{a z2(IE#IG>6jxd^Y(52?sCIe%Q{W_MjL^xS25^fNX_sm`Vw+G2Ppso;cEdlhTTAvF@X zTk-v0{tHK!O_TAK6qCJ%CVw(AHaiqpt z2zxJt1|i^HNF(w6NeD%s&$lUYLJY-fWI)Q?`}9ktR&`Uc5Wv9A+pE_&z%_o30WO)cU|tN0XBxY#)}<%< zT*rn}OOF%$jz*VvsekSLiRX<^R3)I2bx)*uZe#E1ojs=ho>nGq-@N+s;YR8$Xca8J zlUp!GI%Yi)>@&OX^FnoI%_)(gluC_7VQS=OLjXlwr_y_qfjsMk4Fzv`jZO%xe@VulEjlng&ZFzJX$9tGhwpFzZTkmrFXa9IU9aU~x2UIOQC<`=k z24&I+rt!?jSAV8Mog~jEY9p19TH)@*qW}&zB+Sa)S;#HM1^dk!XLMfg%e-C?2O?Z~ z?W2%vT3BOn%uVA-^OtFpS}1*JnjYh+OKaEp)EWOsb(4DR_b+ivB{{@aQMoCWs$TND zmD+$*1xK6$wMkrZ6;oP76^VX_?IwMI@H8A_x{2P%KYv>_8gVUB*=aQVUR|QvZpug` z3AH9{AZ3}5>F#I`gK&d(z8(gaL{#KcE=aX`<)!S|@RnHyU1Pl|keVg&i`S$IH-dlWnk@1;ZnM;$7f%hOUuAO9A*cHTrTs5}p%j0ymm(r4$;f|>DY!rlnJ@k7|*jR^AZ)8vfs?oX{fTOpp*$~}O1oGs!b zihtMuE6#V>v$0uxd;?QEWvcXMu~7r?-WBJFR+yc$iubiAXQc7CvWwvPar97fhb$fG zv+ZGjYDrv9?}%8PAusO@5gKQJ3XfaxpBD3&9Zhqsy|#3`cx{OST2UT@j#%9H!nfVN zKR|jy@htW0hQ>F~C#tqv(J}jL)@7$UY6AWSRLEc< zpQvceEC+w0;9Cx3mEcj*j(e>cgMTcsIlEDf4yB#|YA#qRx&Il)Jv*hHyG<`|r$j0| zqM8A8N2O6U^u|HGg4qYD@|yz-`twWlX*wKvV8-gJB>F}P6b?X^bo%R4i#BQyP(>%K zWt)Jy6ZR40zIlFwqPaT1fuOwek2t@t7i6NJr)3%GqmucUGu%&T(D@A3kAM5qjT2BE zYlc);?cv+R(qnp=ld5oevP7yr>V}d4ueX$_M~^(+kcc-5Q#{LOAZxPT3*t znu1DQYrH z@bPG0PY2Uz8l9IPUj*K~$s+LksllM68j3XR6U_hD(%{z8@Q1l(K)dT;&Wmw-G(ZR) zk#D9Ml-~J5M-{cN>3^IrFluzZhO&TC(O_z@snk&n-Xyo;@K$S0(o7r)OrLTDe5h_{ z8882#RtkgsZl-U4Y%>%Qi5*x1max~){UX8UEmXU*MeP`8J ze)^CePZ%=K_ylrm6uiHr_&$FvgHWoIlr2fh*9(P?ibf6od4HlnG{i9?q8Mu8M~S?1 zY%Srb^B5{_BlL4z)3Pi}+dTTnWOm7}P=e@2Yj467AMOHlWM=h6XAlJi z5bus+&}VkZ$#Nbv8twpKWg`x_b3Y$86|ki~{0HHy-HdmN@V6CcAqevQc)&ggR?)IG z-~Q|H_rrH-+XrrRgIE+&G_@T^MjVXFSK`{VG9^X$(0?iNn=!70@a9@1=An&&!Nh?Y z8lkaNyup8&EfL{jFkn0FqLaf^4baYC@^gO)dp@8@Qt}i~30kvvXH))$(hJ9=z~nJW zeGTtxpE7AlxtD4+5JH_nzB+hOtRrgf#FjpE~NbQA|p=Kd%FO17|YnOjbG%$YZdD*CvN?f z`OYXParsds<2#%|-rrU9)|Ou8OqHxmSqiWX$A5>@k7>qMNEc;v00OnYD$3!t0K4*z zamgX{2H@q~;3~HX?+MIpxVbJg2(GTf4yiEYeKGdME9*5`@0I;+;YBr?>?()s#nkNB z&1*6O#o3-vil@LSnUN?|337~E zEPs699$P)a2fmTkE{r*X=s*?EZ2;SubpYGjl1O;Dau$OCyYuEhJlVP2@5W85CcN%3 zNEnlKqv&^wGj0Rr^cWEj%f+#IPF|l+#)s4SX(^M_pW9~*k&A8vA{|5-dta+m+uzE@ zg=&f^vK_3c{44z^N|r~#eL|_e5M_CrrGIrEm6wPnZ7;2D#BG;B3qTb`A6Zx6)h#h2dJeyDn&V(D*@>}o)c%Y181sb zE(Od9{&Ig-0C)@(tN3yQM3cYFXcH#Bd50LX%b5$yczxFu5Y0kLUK0Y7P0_Piz<(^^ zdP-^pDaT~$Sfie3Y2Dw0xlAkHk7@OkJn!%Ywbu_k={ zMM`viD1A;%&#P7HAaRW*UKsieYit<#%MWwNg7Pb5%g0)vf1@WbZ>E+laEuhhV**9Ep+u?E0vO!H|4imkUjXwf&b!t$X+W=2=Vn)pyEUA>{ z%y1yKsRrh{R<0B;79(=(nk_4K@dm8f6kWX8%Q$<>T3jhIDqd*2PGl5ce(OXgeLEIT zln8?sS4xCI91R}S9!G~B+JB)EmHmyqh}qLbyIS`gbU1N~IjQX57S^1YusIM|Cu?q} z0ZT1o3UKiAceMpU)O1KsR3wHgzJVk-CHAlKa$xR{11fQ+wfYQ7oYoC=JF{1LbZRVA zcCxOlAT%4!puP~M zyHDqO2ZK|a^$FLu^IgOkT`r@vXQ4!^(Nt=0)%>>h!)K(x?G!(5ud|<$Nr+Gx>iULz z*6%WdMSa?&dt=o-=u2+znG*i;5Xf)e)s*&FP&pPyRiBVCs zY2>Q|E5_N)E9 z_n8s=GX+I3Jyl#mcFwt=gBi?u&1DSxrA%<)5$yZ-YF$D?3`;!7 zKKfk?&a820BNp-IWT?OU zG~HZ9#eYA+Jn3PiO)B&g`jRV{!l%&} zjCpXMH}~sbr|uv+IOr_7&K+C`g4(39LLQoyS4qQ*g}|c{wty@T-h2Jt$8!9!k6_d& zV{O7T%F=~|X{mWg?pFXbq!aHeV$3YBsZgl7d@$eE!!nf3vOJYuWQEw(1%#!nRKG@2 zSY6Pe!j*2`yHMPk_-j)Pv%dS?e*qES{gs3Ambdbj0a7A=I50jw3UhRFWnpa!c-qBW z*>W34mVKYEsJ9WKL#W)B4u_&CvSqO)SsHD&#pVM<7AcHDfCGTCcWT zW=uns>&?5Idvie+q$)%qO(C@_WGIx6g|>wbqA;Sc&K5=&UdO_?A_`TQP)HGcVbMv6 zSXlOqrm(($kXE|F$wGQ93x|Bvq41(m(mIeRl-8o~u25FFB1jCSQ~^>ds8~eQM`MbJ z;RT5aQE2HE65vLG7b#_-HJV823vFx!0~)+~lqgeZ7s(R3dsZbGNXMX81a)bAVI=!Mo8M!a-Q8(A_!63066<37`sD3KQ7|!&m`-si7Y$KrgDoN@c+xlpzzx0f_** zREttjgoFl_1v!bvDxk5{g@ss1fSfjDlnH2q`nLx4QiGr|XbkmP<2@BzSPTl*K@g3Q z06|MeVIAwBB9FF?CWH;Fa}X28v|dne=1ZdHj=i2Eu4hWC4k`+R3x23g7(xJ z391(DoEB&dp`C{1B)|q?Xgze-$yON4Xbu57#(^ITIwqnqm~$4~0kY0wynqTDWf4&B z0FeOls3^cY6oYmk?xB zM50?jG$E1DbPOn20P#}5XPA?a%G1OW?L6TnAp-_SV_HNhiU#W`NA#hWio_#&X`&DA z=e4EwJQ9K0!=NTXH6mdNOkmOkLKT$hg3_axCDLJWZ>dH|;ay-A*a$Q$tmOl2f*}Kc zAqHv@0|7xnkUW$b1gHXRfmVQx&<|>dqJlyXC@3hBgt~(UqZ0ZJG!a#5h|~a;gD?yp zY+zT=aOeja0<;1>;7J})9*Am?3lU(JaIz3l4P^_851a4-3q%ES5{QU~p+(Rfpr_bN z2oO&g6V!o1z<>e3fnt0UKsZv#QDJ3&rDz_iKqW5@(34W^8wFz(`_k$vSuY~5l8GZE zQ9uF05l1t0IR+8MhzQ&>zR|~=WLcn-LB7PbVsuah0lG2%F<=Eam|_gm0`{fXV+f2z zsIZ(h78awwIVd5!P5^ow;{i0qxIhUN{mp2M!64`8M~oC6NKq;7F}^|~xDZ2srK9IS zbVU#$ywJDk!Dvc=APj(H!XD#sf}BRIgF^wIU?M}-!H(1<(1nC0E@36*5*}$mCJ=5> zL|~#^`GiBZA~G49i6Ff#S4$TppK)$biCW zd4O)O$~P~M`MGyB8c&w9zh76&`NwMVkE_x0;`3j_v%dxp9+WSuv*ih& zOm^F!XRl}F(Y@t|YBsN~hH@y)+C?$L4=q<#5yfEAs9}n^!VWQKe1lbcf!DNkzwsVIOAzCr6ZPwI=ZeS!!U zw`xah>R03!L(e97uHz{Nw?8(F?&0-Kn>S=>c-KajE#V5Ai};#HqE!u zc+(EwI<1@ey@?#I0=G6@}1c+YWf@uwlgwc-*kb`vK1& zHu*5%QN*@!Vm*%Q4ig7FxLA|X1DOIIxE?b>fXA7%I!`n6GlPL=nOhiN(Fh&Bp>NfY9{SF4E@z?0906CIr3%|dfc+aQ zRM8m+O3zXA-U5rT@oY-H=is?6fsS$vZ4w&D95&m;c^r0|e~(5J+2W=Vm0E3hUfQ8e zCVaOL=F*{C2&3uPErdRe*v*=2vSxZYgBi>%O~4qYs|s*yOs5RY8rvxYug2}bMw_7w zvOF85Q}FaOHQ0>bDPN0P>=TbV>M9NrThS?lz*ct3072W;46tSO4xZGofd)lu-eQVP zq-|?WC7@Z?e=TH7-z|h8Z0Huk5;pE;%rrSOy^O(jPIgH{hfZ}0!GqJCGO*xGr;G&c zPPS~5tJudC$L}fuHgsJbz=ke%%3wn;I%Tk-mv_Zg<|(7pnv6;(>Zi+3-;Aeq)U2DR zx{C>Q(=~Wba>y=!`~4liS{P!5q@^Chh|`jS3TJ!0H$$_dKTI}syXuV@ zB1+ZuIbJpEt+x&OJ@wWCojd9^>UZ^*7At{OeU1Sw`CR0|!>ZnN>mBRk_Im39+_1e~ z1vA8|V^#0F^~R#!Z?D%n487W34;VN4TX~y5J(PXb>1;F|g?hWH&+xCiD|Yw74#nDh zUVfq8f9$T;x3%kss;{=Ea|>I2#NFv|{B<+rRjhSIb7?{>Y7Vi@jJXn1HR7gsApjJJL;`&n75~1$;QOoQ@;-cb+jSiimAQ2Sv=y$D0GV|;~ac@tY&p|xk)ybUg=;CyxmIN_XjM}MQ`23=Ue z9aW3vB3+iW-A-2hm9BW>SMZ!v1a4Z zc)nP!ipr;>#hT6XaCU>PDy?T#z0^%BT=sieEoL|KvuaV~TF^hEVW6j2fT;3+$fn00rzUiO0&3EbF+)}NZFKV&%Ms?XG)7n3uf0AV< zEwt-rKyPC}wHYv~zrVX{|MlkUByT}FhOy$Vgkr}qx&hO>DW=}k=h>y$Z0%2MA7t{r zw~sT^<}B};8=Tob$mDJ99mqM+t8sT%cAVQEGI=>#q$NqlH z`0lR#?fx3bQMt%dZ{f`@3R2aZf9z0ivO^ttLcQ6pPx8xW)%kezaP}#EdCU7vKB}7N z;k+6xXY+ecN3W~jia*E855)(JGoM!%1AY&3esfmM?|nM|IKDo=xcXH5`<@uee-8$^ zBSPoVXj$Dm`nwX!3Z=Y=Rw{pAi2ua@gFMFb>uP$C;%vQLdNf|1CP|*nf6lA&&7yjK zvz&~l5GFHDw<_L*WJWpq@+Oto#X8BihY%fzZopHQLM=hsZ-An~)$spc#73MtqC=XZBJX|@|7KX8ff)SHvQAWdYVGus7uLK;D1^T>A^BsK_!f1lInPMFL^@f2`j9#5Zo zNU0J{sWJtrLV7A|)5zozB~c{CuZg0Pe#M1ShtiRarCXif>xnG!gcOF|+LEv9$L^OIBx)u)C@kRY=l%u7jHSrF!H zwiViuL9Klve`iHV{j3&vt^_0kv_1*SB{|WK20(X;$6gpr*(4ezglN$wnVdZJD(CD; zpmB0Ph(nse=>x&Ao`Oy-xW~h(Oqg#aXq^#2Gy;iynSyD)iNYJ~paBd-K!Oo#)r&-eI7uz* z+0D`JB#31~x+t%8>K(J-LosgWYJGoZn+ZC0qn z(mbIOGFZS5{KBm=O(%VRYMFR+CM4SFpdZMvw2=jnoK88YUNZ-(Xa$5a2X6}@Ef^C# z9p6LJ$$`?7(4+b&KA#j76C0sM_9+%es2wIpe=LV+3x`R8i_{g5@e?m9eObo1fJaJ_ zHB=_nQb6Fe>R`B(wI|UAdXM88(`OcQPrmj-y3n%chwj8auszoS#%GtZwdw2O7$DeT zlaFb9nmk}y!syAp7#UN&%HqgcI+_nsB(rfenutSLD3y**ldyfQ4`?7c6IKi^2TRAR ze``K{JZ9ikI7e|x(t~`8%goYsjIP6UNJ?TYZ}WjqpZcXp0}$lkiS-X(ETR!ravHa$ z#+Reg(}>7VQW(gjP>K>vdQ_N*Ma@Evrd*QO1QK2CvwtAX(FqI_T#iY6VUGRi7fxlR z$vQ5fZSn=?=?l!;T%ME(PLdC}jC-;}f83MNgnO+r-Z4J$&M_0-#ah`hDLY6W>nlbs zZd6jzr%D1)r>Je}=tP=2)ls$dq>vsyw@fkIClu0OU|E|YQJ~?_3Dc4f>6{pFBjhxL zIrhC+)^iKv>-ngLnUXckT;eK6bG~T?H9L;@)fvx zTgZUj{`KQ(eEA`_Irw<_>-c>60m0cPQV)5^aUa$$?x$DWG~fIJI#0{vtBS@!u0ITlLpK zOZ_$L3N1$OftGFb_eG1pe~p%~KU$7|dvx&Yn-w?VM}oz4!Q#FJEZ%JeOHfU)V0C#v zz3OYC|Nfz6i~5>av2CpQeIiRg`F)`hZ$l;S50%&d_4@J4rz>XMkAzC-KqY_I^R-Y3 zdK*-nGYzO%X$cj+`fa{HRJN(F36Yn{Tfm~Q zOR!=qV!{r@^sBH5f0y-yJLcDr{iIwb!?9pY?4o@x8I4Z(~L8kCnrNN3Y&JZSay6 z`6JNMUER8GTHV_1t6S3wEC^tE7Sh~3-&(TVm%Kdd`1??{f5wd$Uo|6bQ)Lr1?Uk=^9x|N4*i?#oO1fpFa89 z;j@=$(M5;<0vI;7c37;|&~QLQ3mWYxuwJgL))~#?6oA5}@3|w7%ugFulCho#AOOsC zuY7)0U5?6Yf8K1FR2R#fnv9pW`}yeXk7}9d*XcCEV1uuw{_bw9&^A`= z8p~{qB~=4%|2p{j$&=qP+Oy+6bNTOWuH=X7t*hF&f8xeyTCI$R?N7&O`Km#~Xy?^r zIVvZktM})l^6I9X-oOZ#SEKUm!?>Jfiz0%}&S8ct6i=$fqP*kw8UOvZYuYT_{SojKqiM6@Jc3TZFM!C!i};yI9xTa&gmE9kE2O7J*$#&vY*rz%9+vi^?ddzr;!4I#m)OgwJb;T z`Rvc^p(%NDouB8kKc_i0oz0gYDkw5%7qgq?e}_LSWXIEs@f4x6tnyq|P5~9(^U7X+ zGle_P7Z|X*x?X~;V=VEvp%Q;oDE57!Sozwk`Rej5uXg)|;%z~g@i*b5q494%{CyC{vdj5sk}@g0t&3M7E)}eMosSpSlhJ2};`5ucy@3)d5C-Ffu+q3UhRFWnpa!c-l48MQjvd9ES1l z-BM@^W!vH{THI-Ir^Q{06?cle6nA%bFIJ#fan}S+90&)(2~I!)90?HE@8RFeFK?ci zo!M-5#yRKy{tY-6?Ka{DoQGL>63^mk%*Jzg2``|NZilYN7GA*|ITy4Z!1;I`ui{OA z%*8u+3-986e29EReA7uUm%=EH?@iRo6tagkh7e=GTM z2^Nq`iLoAm%eiI*{y#I49VyrAhn*RPE9eE~27a|(5LeQpF^I8p8QbifLbzHkv$K_G zTqC!prIo_CR&H;&l^{05MpzlsFb4a7Vn6JU18^Y5Vmc1O!8in~U>pv`VK^K|;7BZj zMR634#xXb+i{Ut|iq)_>*1+Oe6Ki2@Y>thw1UA8@*aBN(D=dknur;>96imfVSD z1G``yOu)KW50fw%>tktbfDN%LcEj#i2Fqd(?1{awH}=7DI04&Xd+dN6u{?Hv!p=Am zC*fqQfKzZPPQ&Rq0~4_#R>GM$2WR1IT#pNIE-uBzxC)oyI=QTpp*Mp&{la_pg!lY- zZ}w&HrF3u32k({l-s{Qsf8HdQyVI8kjje2!d-%tfww%S}WV-e(}Bvdu3&RhZJ7ImxvWsc1n>ieF?^UV}stfPIh#cRAjC%#S*RT zmWmJYB|h&7-6JJT^riG~D|@A~$-b0tWM!XJVVUhyQk4wb`=#X9w$DiQYuP>^rR06* z^HOTwbq-2BSJ}Q8+TUy+lG3tmUzYsi&ps^8xM=&DG_#KFBT{DG8|;Qpv>?s)QEB5d z+qb1nNw$wkr#|={dV}SYvie#-F6Dl=UO>7r!ukp6R*vm^_y8Z_6MTj*_-yF6dQ;J^ l6Tm1egoQB%=PWIz`7GyHar7uJ(yIEVvy zmER9pMb>odO6nnj5gQLuU)4ym$iq{-hhGlrAmM*?2>K9I5()o1eEJ!l{Rsd5a`?l? z!|(pA)InKctXIh&K3)!9iQuCNhojdbNd=uhp1*yP(&^`;l2XD~fBQ+w2w%+w9;@f0 zQSea1ANDNe?v4FBm| zM#KL0grCnxr_59L)aE(W<&#uS;VjQOJaJ2nW5u#e>)~H49e>y%xq>lAh*qiog>I_Ziot4hm6gn?ua4I|U=OSI4 z(x)t85UElkIi~_E4mD)3n*))7EI<%tb=VcReL+21SW}?pd2u>x7gt-BhTnajs7&Z$ zp72i}$&gI1*=9ycIWR97EGuqWr|BQ(pFhJ*7b*^P3;fAB%*pf&8a4C*h>4lGln z`G9mC8YJ$@%ksS#Ncr8Ofks*7k$Voi%ipOdDP&>1DF~TTFl`Z%CL+y%ma3iM?u@gn zyCTl4UEIGt7lrsU@7DJ-MK3__#+I2L{w|e%Tr5aQ5wuIHE(mw5bTu=wNL&aTQC&n? zK#?D`j6=&Re>s_#chsO=uat@#TSEz2GTD68Jeo1vUv>|da&+-9T3^<5Id#4yx6B4& z$twAzc(QcMr;??XioC&A*w9UB9q9B|?*j|%1qS;_TH8Q^{VhoqHrDGI%vU>7^8-tM z)KC)8#KqeRavJ2(EGCuB7o)3Ux?&-)lTMf@M6kB3e;n|C4!v&nc*WvYCr3#ybX2f> zUWDm%)ftURytPiR6`V+;tll}2)fSO=GmMp`|ILu_E!|h zvg#cge}xN!yjQYz31Y4Drk8b5tI|TJWbi;o;hk<#->_f9gNRYp>K1$0VV0m${5UGV zv@FqyqjHO|><_^VpW5bT*O5J_ErQe8lhzfS$VF2iV$1JvL)RLd{Gfmy31B>@F+H!Z z^&{6a1Vr}n92CLq;72pIFO#B$viI#YegwFcf2;wtwQ`<$Uwu?3sf@vwPl(rZXpfRZ zdvW5pK4TaS@xJ@`3)|x!&XW|;+r%dhmptQIDrjUp?4uADX;kf$ zd??S-!&mSu@UyRSgRYsUM_(;h5{&Q(f8rU<^5e>r4-4VgWKsB@PEvN~)A>ZNl3Nja z=RT~ke74C)m0uYAkelJh#hdrt%i(OnzfLu^#bvM~-2*>S3GD#J&7pA)c_tW5XkkaG z;2RwNW!z{@Z&&YXHe-b|-kKLHF2_xurJJ7Gd12>OL0JBklSh;~JK_T3DRWS)fAStP zLI0(!v(NV_)jh9Z1L(v1E~)8o52W6c^JS+{;$yZ%TzXt>?97IedYj~pw7fXG+xeG` zx#eG5yeuP<@JfISaLAQ5Ti^0Rv6(1BvW_HD&0&_BN&tS|BDE6P$aONdVQd7Z4TlQ= z>bx2KLp%Oiph`B-!vUoT=geWUe{Z?O#-jirK1yvR3*fJO9@4=J$UMP;=T->lE#e8p z<^bZbty&2y2_I=fl}WIYQpe`Pn8e?=rQ zrS%!HA$~BL*|&x$x!;-+sEDuRmw9CjI2I{=*NS5vGjfcH+a6v|IAtcWG;uV#9;ph# zrfc4-LFYC(1Jq(~ZVTARPD3A2mEVVe88YWM;dxX)Cj*^7rlH@Dh^tdJzpldW@vHcr z^qK9WTdGRmkGpRJl#{VGf6P7N(NVr)`>dXAnRmcLnVQRNlGrJwPmna!jQ%w~al{i| zKsKUn?+G5hT>_UVq64q-UM|QAfCP{S4KAo8^PL=?m$RrO6hM@CFvwtem1i-Jly&`b z5GFxOd-yltJaA10pf2)uNdy@H^#2S4C;^rWXs>(x&%-x|uPJAnf9C5(2~K!eVcD5o z?aT>4-@(D+tO0`<*@l_&0H`OiUB(MZcp2dL8e%hHjy{LDuAQ_GK%s|5joJYBko|Xc zOeao;^MT9e7&|}Dw%$8MB6D-lYy4y&ud!uv#)zdIn2WFE;;RhRk0HxI1RO%v4j@Mc z3YvuX%CcSy!=o_Pe>Ea(FSwUx>J8`We<-MubFSp{;eFGUY-r5C^^t{3Qr&R!5?^5*{FDRb)L92Mw8UixQ5ilUpFu_daVVtA;3FU^_m5>1DFKM0 zs66%s^8?5Ne~kbK#1x^cmEdTSiK%;fttZUt6w*Iq*ZO$wi;Y4u%8o1UA5SaJIATn? zd?p4=VT_E{9O!*~&ZK(=hQz~YuNOFUN;k)VjoCbPTig%!H_fFLXG7$_;Hi0HswdlU zMb+h(Ao*K=tI%WZd>`P4+x+Sm+cU0izznCXgs*uPf2h3kz=qG;xtuPS*SveHEN@&m zbeD=t?#}>13^h3JU3U$qhjJ^OIW*o-CAD#N`41<@$iW>-j+aX&N}D0>l$#=udp`n` zbNMdy!Xp)qhueiZ-VFC>%xndm+3JA+obHTtxfPHd$y%8sq6ld(#Qu9qJM~61s_o;2 znkRoMe+9_O+q)_JjDMr+CggkeUWm+A<%A4dtBY9{H}t8vx>z1NgLGSfI};EHH*%^P z-K2OE{S%{eW?Tv!p|;mA!}+?2TYq0KCdbl?{Ob^AnC*>zNXYB4+2*tQw7xAX1rBAe+MaGV*QG9O{@3K_)%(^s4?4{rcVC& z>u|S6f?I+nEo?L@wd?pLZt+4on6R$T%8uMPvFB-ez4KBM!k~y&)*JAv^-ANV zl3|G$Z`oF&f$9}nu~ljDl0)0oWf(1#Hz94w%~-A&#_A#cbWedyoC;)|cFs<>fSa4C zpsl^Lpe5`Vw7lD4?wpZru`@@=$QWYge-sBc+?bl{QXei(8!D~z3oBG^xM;;FuwV^% z{%LSZX(Bp9ihz;9hQKy$^tvw!(i#6P&oE$ksbZ*SI43K3FCXGs!`ca@v>%-P{EcT)3;_QXD;Uj940sMPFB0v%3nmblKqAc7rh9q_hZQf3Crh zC2IgOiO#ucC0Y(1CI}0mqW3R<+^Z1uQKiATJbXrZLtN>(**%-C1-pS7$$b!#1ubg32H?fp`QP)X5L> zoz4Tm<{(lEDI3DWPivuS@AILS%G^AItr-+3R&Vl?An^Si|Mu8m5{O0r8HDe>v~6voH3T zLT6(wYJJ?x1?rvK>x+-A6A9YKHqIvR>&V7j-O823H){1)YXmTxb; zy&ZZjOTxKWj-=L=&`q2Y)%^%7gIm;c)8fZBJLcuK8i;ngSF)2n@1UHcW^-U!T?I^E z-@T>Xy4PoHWofXMrIMDXriWZiANNSEyBQQ`B0wfr-|4%?pg5~L2F0XZ1|^9+#2XkC z2nDr#?AH=kBl?1{e_&FAx)~kW2)OmNOEi}+Tn)Wo$?l4i=@2WyuJ$TeE%;+8lfN1r z0I@}9Yf15EJGX5BzeZ;V2)giG)$#DH+{u4}jbUc2#*s#asqa?GsAbGy z^>)*{;GOpgEM57y3&T}IhmX$uD`sNvG;g`?TE54n5~Qjse}olXe3hZOmjiKF_az|_ z+2ugO6%ORX&JhhTx*wbZ9MlZLJ}=qVvX0gmp=A#(@1sjx#DZomZ_y>~l`9i+R3zWr zv5(t#P%4LY;%);AWkP7LyVMKGY$dsICaCy@BTJF@+`v|~xDamRc3MQZeSfniUX*Z2 z)%Wb)p7KSte@OX^Q#(i-yiS5hJ!^M^@R2!Hyvn_~0asT3h9l01yCDfsCROJ9%N=q$ zIoTH#*oIrm$y~1S2*w0iH2UQ6)r|WN#N&!OU}XOP&m4@YxiHE{H<(d#7Arw1NShtH z|6Wob){-jkmO}XWHHhj(#&J*b_s%lEBV8mIY2e&=7D)E-)nySQNelt{i9Pn$zxfZ^ z=A(nNJQDpb0W-5YL0AHRLOE6pR-M1Tohg_TjvCvnUhm($osEdXJB`JN{l2vEeH$+f zXmUrX&5zT`*abPQa+@#SzkN$Qb#K0&PRhhfka{5(hQa?5Yanaw(6^D^Pp9+38)Hqk z3U2j>cgs(UAVRg*%g>AQAgnULata_&fzr!|1%OPtcdCE-pXG0V%Xi6lk0h%AZ2#HX zpb{4CO*>f#gCIz^j3+*NM4yKEy8NWH1=X`yPPs=)=M@$!{N)w9D`lAR1+)^17=tUm z1TP$**=5W)Q#Z)Kndc<_003{kNFVcY5lBL5qi-2Fgt_E-5v28I*rfLo)pSfo70OCq z27Rto`{_V~cdY||4Gx&Bw-&&5FBzTSwlFigB)0z1f;uz7mGNnFcW!W7u}3kUgOAC- zbS??cy`w2Z6~y9G=Za4VdqhiojxBXJP3)ijY;<$Olp7zKX33+aCFr~6L+z>ci7svQ z8Z=8~%#o?AEI2ZLs)+2e8_alyxHtt=$_Yv8QmmJ{8c%_LWhjCngSWzM@{MU@S8Itb z-A3xMIs5{s^s)TvYP$r>8vhcX?;2i9&A16OBTk~a&IyAQR_DztV2Q~~0Y@b(1wA}v zlQ_%Frx+r;*}SdRbWXWPlm)^iR9Tl)1t5!;(Yc|bkvyKDp$?b?Qd z6~<<$Wb3*+rP^|$4#acPmp!)d7RW7jKR4u`6uyMR8AO82G;)MVdPPrE5AC{dk<#+S zb|xYcQ+~0~_e>x%ub^6-5`D!cZ0dcQ6in%*+pksadsbX_;8Ij@RNQB>%JTryi1D*Ggt>_OdAMeQ_z;u?i#*dlhsTDu%-FY5;ZIQDO)RCjL)39~V%#(49q)OYZO08BppZoV(k-p7@ zJ^iw_s!UpxMk0VC`wWJfX1T5o#7^mlfj_JKRVPzA+oN8w6Nm9R!}ll&Z1d8%OgOsSLN+b18A8qs zKw48aQgb!zy&y)vXkjn;frYTVU`&E5y9CT&tCDC!u_AHwl)=gNDfS;6&zc_$Kl3zy zA@S16;^Mm`s>(^*I(bchBz=IsOh3JG#EN2fbK?4I4)2 zlT2R0slCmuo--Leig{Diian~filQx#ZsDYdu%2OHjgn9`H=Wbrk*+9-=@Ubj@&VHi zZH(~FKm+V1iEWH@Y+-T6Ur~e0mQ@vh>X6yJ@mXG0Dr7=pl?m4#dP-{w#6N#Oq_kE6bEKg`5VQ&I_xxFNwkTQo(e=N>X4Nbf^n%Ck}bO zg6B_}ni956xljI1at=v8Z{D!T1<1!l?uY4=C{S^lr*E0_bnA&N@lBO^?{CTjnQ@gK zOwpN6$7OXg`fd#S@_EgauRsca=uO$pAEwDHP5_14rffIhm|`G{qe|xKFFTa0z!}s^ zxi4~Pun#D5KEd1l)s;XPJNeCyrC7my7Le3Mle*AYev6k*T@K0jR&UBL)ItF#vC}%g z-Ag-rGRnF#EM~>OncD>^0@94bc8zqINfnJelc|@3B6bNk)&0xJj4LL^?0EAR&w^$}!Ql`Jp6;wD45U44cRTUJD(mNV? z5JZ8)Oz_up-@yd>KxU2P!x?Sd3$fDgv+~FJvB{9q{RQpSxPZ^m;*Jx~{qg~T9GX>R zbjh}Gid{iF1Kt3`ir2z_$|_iDgjI?8_&6qyPF+6W)Sm~FB?G+)51}(cr)&!bD8}7N zLOK6ZV_kikS_wtep>zd$y!qYU22h9?&ubpt0xP7~tkhl0`I+C!q3vmbB533{hjc6N z>12@h$wD;jml4K-8f0jUXr^l+2kunCxzFw@!=s)OYz|&qYH~P#Ls-*-v`^X>@jqX2 zsPrV!aF1zcM#(?y`AQ2;KLuO(U5>r^etM{d$cK`_g>CXGgK_Qr4H!DL-dqB)vLxvluM(17CH1`X6IAPPYSOiC+9 z=(0i)$&8S~5;V|%mSUd~MvT%bmjgwWw9D`upa2L8;1Usue`a{~@rHQE7rt`+W+bLK zJa^T`>^Px7xSsIB%OaTzyLUi7Z2EIb+=UzeBo%gQKi>A9kX8C!c z522L}RWZPU(Rz6mt;waQWe8ylgv6#jjGAn&Dx3Ft%r_)=e**E&?I zuI1^vC%16{l^!YXAFn9Bm<7gw!gzuem$Ja=+F+jr_Ls82WU3K|G%!GpMr=E_+)2%9 z5Y(be!QGabHO@Hq|B#yHbd4_iLy({S+@7!t^drEvwV&7vFt2hW%@ij>xD6({cd&^PpB^T9p2itDt{O1+M{TPf0y*F7s+@qlraz}jy9Zka!S`rG{Xh=VT>@IFGxXpM7p>g;=3u&$ zpK#vSN{4y}>TwffkVPt(dx!WP%kwHR*>SprsDde~M<#z4u`X$6O zko2~$hyGn*&bJDuUd3bGbQyVg0aLF5nVq%Dv8xe3PzcSa7Pc>XDjUECw7z3$_V%Cn z9*6WktkpY-+#|Is-V=62^Yg*8^mEz}uh+p9eyvS_oav%Xj83+r_$1Y1=ePi25Ww^88n#qKpfQzZV} zwi!Z*+9Bnhc2H#I^eu0R3Re^caMxzv2JF_OstmktlyNH#I&!3UhRFWnpa!c-rk-OOG745x(bF^l^0}wUWU(G!y|~M-i&-@N zGfRLan4}W_w>*8Ov0v!_zc1gtTfTam7JA~ryS#h;>0WEJ zT3dKHSV;8CCvA>TJfbzw6Z1q*tmY>)f*`-(sCCplUq&2093b)+qjiYo(`#86pS#6U zc@EDqVxD-z2MF{%czKK03A&8(e2j%OUM=Rec}K6ys14;)e)FuS=lp4$k)807f0bDq zMLgng9W8X|a!~&)^lX0=7FzQA`AMO_uqjijA3nbO$8s>J658bHn^DO*6NK-P7cQ(| zLXSsUDnjLS!_E2yk@;WdGv_nwqFq^=$!FQ+!{JIGA3K$ zWK$?p>amNI3!ThN%z9U7WWDKWHTQEFACHyktEyE2f&=A)b0-3XW7T0>XleOW^x9Uv zC|r<}hxSm;(RWSUC@8|YL!yhF zX0nM^<8lI+D{6UHHP2QXVZ+Wy1r1VqpY>;#uILmblf-{u{#oe)y?B*^jTkc%6(Nsd z)m2C+6wjT(C;*$>(oC(WlZnI%p_wRxb*CGs7XxbGIinB>p&qt)8MZ1p@a$MRT7W@? zhhrh>d2rzij%AM(d|~rNt1jguI(K@^6%t}pfX?_`OxR@vdo&j-I`U3M+WVM*w7TDn zU0b_*Hm`rQBlOwSP8ZzI=#{~-kY8P(K0Y!LVRM1x3(AZMIC&x@#h5m5@-sp-q_o-8 zvz(R?)roiCu)o{nK$0anct%>~0x5N;(LL$}6+()FmOs7OHCY0VfM&GVIH*O`u$~Nd z7fK3sGP2Njy97m&f%h`!qo80_Thr~CFD2SQD6+5L1h z^hTpd0X?5jhhXB%EhqG>cEJYI8qVD_tH9U0I&c6@=kt)V9Qm{A!l$C|teC6?IWiP% z?)-yAP&!%k^e$>tF4-8`;j@45@?MD?`|z#|kMHs%ia#lQ>1ghTdz#PX zV1_-2i^gwOB9S5(D6SSG`ytM0daTN=&HfWJ!M& zSB0A=UU_TSe7~GCXKyDNqn*njlX_(k3no&Qj-)f2z_Y2#vLH*+nZPx{ETyLt!1QE| zm_oWCmW`xcFnGo^gt7rJ_*pC~p!jew_f0?>^hF6uaMct8_8e+5gm2Eln(2JdX5T%N zSV?|f(CC{kR|&`{6Xvi(!#K%J-ZO-ymecmIt$?`t<=uG z8jw?@OK#U(3gEM-E?e(3gCcYV8qtj+i#17nY$*ajf^6{$jD2Ekf99x^-#8}i=>P`LO5%qRzXOqu~B~k!@Ro$ zK>{sX)bil?IUk}oz%XD|(#*5lx%tB+W9PZr>Ch(83yW4~VD9 z%Tk;_*x0$8;=`=CLet3EtOXBtnES9q6OCE(j|wOIXGzK@D}ucHc>XZitXPbpH>*E3 zRiX?4_s^{<4e>hOAiR&eWukwUrY(Tvtb&dl8B?MPIb^Mv^3+@0ngmpLYAtl-Yblv# z%=3M1xuyW}&NCf6Ze>?1cKj^KNQtB}W*z0NptsWNS~uK<6j|C>x^N!V@m3Fw3GI>(h+`FnE6*3$rlG?Ausa z*jL^>bu??aremEO+zskPfOdeCxKe|*IUsM$)gJmfc*l#r&*<~M??BsbXx~*8*9ui_ z1*|2XqpX{&U3x1BbrF4D_qw8<%+6=UHMq;Rz!q1;V(vEu%Inosn=+PN97LKY+C*y})bO)8qOrd%vGl3u6j;EI2rSnoISs(H71SZQQU^&QYj1m|bsr z?)boY6i9BkhG-^SDA8}T&XwqME^6Yvl!j!jQqWnSlvZPs5#N8fl59Tfe(}cCw7fBg zi&`Eqk{`E_vC%%Ehs9tR+_+V862xC${m<)gQJ=&MC!Tw+SPg5D+W%Y|2(^;jm8+fU zdMdeUlGn?<BfJZlv9s&|3D@92Ir>H4}Jt%pI{T>q|&zA zd?UBC)^}bM3-}Ap?sb#jw%>G;h#IoMTaw>vvc#*j@ej`uw+k2I&8nZ<&7@7__Z=6g zD6|4?N`Qa%zb5aYzbNu1bYq{Fdkc3l&(+Hz(oBz~V(=h?9H+(zHxAy*AZ?i}1@Eu1 z=+~3}YIKeQ2J4lJ7gFwb7YEuugjEDL!D8w(ghGB55S=X%KUjwiLaxm( zjJW(p+d35zFVCfZm5{3|pBMH@!RI#AHr%w5hAn^FRcQA}dS4{IZ+K1-JAxyvL&~$v z)!3}(#jvdmezmn{_1zZ+#fA=(^Dpr&gD?ogZOZXxD+_x`7N`}moRXqm7VGeJvOv%E zaWKDwEX%S=RzQQ+Y_A1t=Es7X) zJ1I?C8c16cfH!koGl_&kx=0|1fi{b14B3)Nyb_!nGDPet~e)N&E$7r)Slc?h1J) zSCw~fBF8IlBG;6PU=N)qs2WqM;ldl~Kwcxr9rL=Vtz{4UScu8J^{sQ2=j3W;h}{LY zd6KI6IvIdD#fUV$SzASpA)Q8&b+q0@lIw$AW{yFgaI?)7UT5WKE+so(Wss{vp-X>i z>(!uAhu(JF)XDD`P>m;_LRtf-SM?wbDpl_4bt?7aej7BI7140=B@ zQ0~gFeW?6r6hpJ6)`O*G(e#UQIdgwguB;UBG)Z$9KC?|C1y|} z*|$ZS`^lAYq(Px+mQS)Ps|=Z@zbd=h4o68NX}xs=gVy1zIE4J?AIZU)0P=rzIAs0= z4pFA0QyLj0qgV0A1x23K|Na^TH}R)WLx^00))a;`b{my$LY zQjNeDkn-hk&E<~(>tDXq^5wA&J8B^xT@#1qUzgk<&BFWPPG%eJ$zA8-g^tBWky!e@(t>})zYq#ecgQ%PU)>?d-Q z2i;!>uhFzzC%NLH%B@#(YrI%5x4`dur9?V<-m_N+*3d)=U09Rh((00a+V_9?FNgQp zFq12WIe#!YI6giKb98cLVQmU{+T~nHk7TzEzUNnzZ#^*TMWU!JZa0tt;=nlsb~1+m zo;h@Nxs3p^5yOZ0=ZDlTJ*m2SRtK>$sJG}zqDYY+7xm%igFFcOUmh$Rtn{1b{|*m7 z(z74v-=7aJUmbq`l~f0MWx(L!)#Jg)%^Iid;eTj=uF$B%tMhlaLYT)pCF%F^k*>WE z^5O0X+VPu{5Zci{NdMg3n^%9Ko_d=*g?v45pccDMNMiWO- zz|ZNPeyxk|;B=?`Ex)4~SiXYC*up^kDt`fruFpa|&_6s2sU?5SBhr^na340dz;hgv z-hYNx+9VoeM}u@`^VXP31VHTId!0Y9-3NYi#@W>V<{vMny~+*I6O(eMJR2f5tc;d- zT4Wl-bDBFcC#;C;gDz4VsD#*xxWgmS`oKnn8F@I;C|+xtUK}H}7$@vDqpij?->=eq zK^&NH<Z$>nQ$gJETD-3pwhAh zGO>ty_%-Sh*=AE(5=kT=xM?et8R+h4_k(l;T32^N7DYVWO;tD#69+Lo_xrZXV2ERxa`9X)+_dIQ>r zCbfC};stF^d-Em#xEnE*1b|H{FRNmJ^NbB-V5!mnE-U4Ath~G_)qe&a4AZ8N=B)YgZc|=RN;I6JA@s*pN^GGuMoTV| zC1)$eSRra+R#6(`TUJf{Jtl3>7B69kBhb{8(uSr+lK>56z=zUpG3T@^j!MF9)Q0pH zoQuYUjir+6qM?|ZK}YK+-MD_knuyI4t-kUUBK@=hrN2)DcFH(U6jWY=JAW;c<+CQg ztrmxV#gyrZEbH7L^)q6#<*UNAaQ7^$yI9QdHgJxu2;KM{;NZqQ6&^f8 zyvI{(&sLBpwz5w^9&3vDh@IHL_X3!@ z>DwUG1SykL^V(RKUz^*kj(>}E#CwzREZ^sryvp&4iN%C@GjEvCFalJ3Ori|DIE-rJ zWS+y(I9AWm*k3@(5Vu#JTcm(zl=|Q;7WiJ)ZO8W~NRKc+i#-o$ahU$OifnAj1o32S z+UG&8GGERG!l%}}kR%;}b79oSS)UyTga08SH^RdrX-<%?&)+azfqy-|%0#}$hBee( z`bs9Xn3s_UVYxTH%+~Rh%8t-E{f2QP#nu!l-(mWrQdt`W3@j`6!;TMcF$2S}Fn11a zlM+=~i8j7hn0Wjy>h`+yiPX>+o@%RhD>Nd=bVjY5cTd@b*$nytkz4P`i#&oN^9f$d zDZ;h>6dk@y&~gs_kZUn;bS{lUE%yL4E?tC$NxqR4``7+!l8?eHl!xN&*!T{JEbJsc4I027k~Um0HC?!_<6IJg4cv z%54@5;HQ`9)3iJGz!;=nBhg1CNH~C&q|;v?TC~-Mpo&gd%QgdbE6g*c-qPg0? zo}s*T&)C1O7i5y3hqCnaUdepU9_|O!`w zp{n=FP!`}dOMhugOJk+}I4b!=GL+P$E$;d*tOcY^?0Y8i6Ek+Ep~E~k?$LuB=Hi!3U34c6cK~6!D0IrKvsBbqF*DkRmdnXnJH>zIu}kiW{g2u zaHBg2#?w5PVVvqFQ@n`cfo2b)wU~tRBZ=hM^Y9hI<$o{QAv>f^5W4#`)AM**pxEH6 zinMqmsJ{dk?M5ThHA^*le?rXznMb-!L1FAbY=Os5#LqM-VqxvOM=?7|1-&Uk__{O6 zU(N(picL!++&c#Rep*e~1C~AgnOvb#feQ6Ujnla`D&b|FPLwnhQp42jr-fGZ)_b)J z=gpShZhul+`dbOa8nb)8jX`1vNjo-D{b z;p5q>QSkPX;`;ox^g^jlQnn~5Un~?lDH=7n=aB-@5SIZFhfw2sl)!rqtwlI>9wWtV zfPa1tYuY7C(l!r1xXm~Yf(;OVSO6j){g|&a19C1U37=1U>2;=Dz-B=>-2}e$A{8n- zP8A?OoX61Y6G)CwyY?JQR;ZXiyIlMp&Y1=-KjheUVF`oJ1mgo+ctg7Zl=5bdUrZyI zIj|oDyVn6zZXwwe0)B4b)`%sOM|Oo0B!4d&o%U0FxQoxRnZ=8~APEW(-W|oDPwcXf zWgQ?HZVzB&BM!v5pAVbz)DjQ>A^2)G?JNySOp_Y`@#pa4fxaQIN|vp8`me*^58p<% z53A92LQo5h=@w*!!K8a7O%0Wwj#D zM1t2~I^}}VU8?qH=PkLpw?tn)p+{os6i5dey?16~_J)%Sw^4t|+bHxkxQ{O8(V}k8 zZ-N&buaX-WQ;KP(CMOQ62lad_w@yq{MG?hKld#bbdF;kJk`qf#gCjUb!qz<&8*LWQ zN!t2vX~zL;7fS#^)6*XhC~(uB<9{sm>BTSY#zHH{PxIsPTW(~%lF-k%d)&`>uNJK# zT}XSD+Is3jcvY$bR83bY<0qN$sJ-rZlnd!TTx7$!bZ-}Y_G1m3<$UWr7aoV0=EIG< zGS?ZzBuqaDWVoUcn|Du1fswE(kn zjcLl>_uBufxwTbx6V5S`+laZ=H}I{_!whLKTKi(@i%Zt)vEC*7+rouv^w?G2*vqNS zF`GjU1r$$vLaE!7RoYfTI>*IsKt!nPK%I*qSqo;<&x}{F%%fPO9Slmo8)rtMNF~TI zXt8jBdtmhp2lyzBSy*yH(0^We(*>`sUI(w8DM^H{R-U34V0NzjyC*uA{BC@-YQQUx zLBg1*8%4jHoVFV%i(@q0FDI9cb9DJ!G(9<$AEz?e{i%J@5UJwUlY2}UWAA90Z1V49 z<3BZp6v+zKH2#%N6er4q;C@7@z7S%$PtrP%$V-BfrkB<>+_uY}k$**${(Xz=ev`_TFy1#SjX{=0E`s-?J4R}{ z*BG~@V1ujgcBONGc!3|718mrqc|`hH88Yq*0kZHu2k}ba%9KK>ed3Vym2&zWNFQ{X zpgkf5UgMj0$(y$tTLH(09S6-qQ>{p_568{(AW;MVvT*s0A%B15z@b19ONtlSU&pSx z_V0g^>{@Z^oSU9kvqUdxjyjwc`UG=q7V?)L=8%QtSIBl9YjOTjA;Eu?I70wY!WTuy zk{x&dPGb2C(HPw~sfd<=q*5X2OAcHm*G|Um7SOq`F;Vd5D*rzmWAdrYHI(MY3d{Ty z?GRng2VB%CC4bJLOD%^saRQD0OTOV^wJmK2lnrXqbC~F)Z2S?Jt5Z$d+<5p%J7(0p z-mpq(_Dqh#HkH7+rZrcI7mE>A>>8F8yLbenH^ql;_A;KmWfWJ6j0&gOt`ixRPrh{` z6Q7Pn6D7ic;!26ogrmWM+T&>7LpxHUvOlgDFnb(mSAXZ8f)1zLVoqxIZ_Co0GGTKd zu+G%nO~aLh<2e5}`1!lS0xxPVq$es6ldHXfB{*jFukvzW?vDd0af_%vffDC=10T)o zRUYpe19dsGzQI&l6RT-ziMjIF9>>cGo$&N3>GycO^oO>C^v|OQHbp8g>o)cqE%=7v z8PpfTuz$Nd*Yg)SuUX&Zy7qhyF~pWjFYR6^v1&4v=#1KD(y!Yi1#ZXav8g#-hMi%j zsP<57J!}yp*6hq6WRM=;Ho4wVaSy2{K394o&Bk>|b@AoG9giV1?B)8` zxe+3{@-SfQd|Ha|))qkKDU0(36uE6`h*F$ z5RK)C?HhqwP*7Szsc$RQY=MH53P+bmDCKk}9i*sP!K8AFuNc>r6bo`>ZReuh=a1^J z+1=V_a5&{+ZbxI>$m%(Mk?RV}eO`iaBE*g<>9)E(ARp^G8p~GerW1fy=)wTJF#UCjSM z%Kx=m6a_X(lKDBiESd9=0%2uR_%M_Y`F|n&CybPGKu={u*0E15Q0op}5|j}HJ}OYz z!`yg+aDckAsF>ZDe$&GHv=I4k6coX9S#A7NExVNyprng){8I zyWDhjph9WBQv({i`FdF)B4o8rYMI|Qgd?7l-mb3E5HXeLO1b>wl!gf5as>0&Re!Mr zCpuJbFaNnHG*r^KzAWyCl@*RdPkS9|@_?Md`sX}gHBDt)NwIuAUpbFn59Yk)G6sGr z?X7>t^8I@?FCig>C7xV9{+kxs_O&LfvQOGRHKBDQ7O@(q$%`Emh-RHYly9!cpZ(@I zIz~Td*4VcZi*Ra^o@A{uWv=4NAAfH@&Uq73AOiIh#hoqBU#`lFv?=+Ibkrp4FOcI= z6EdzkR{06MboF&`2g9|}Wo76_gL(}pqX?VF1cv8X! zXvw{E4&QoPj(_OGYcuGs$Z#6KW3Lw=c!88OkPE zo=Pt*h1k^v_@%5=zeaLcUGSzllErsO*SSIXQ&Smcefzur0?`L%LWA>`xAT?(QX+ph zGd?~Fb98cLVQmU{+QnRJSKG*z{XV}!-v+O{VyWI$clFA;1TGzJl1?VC?hcm^4hZ6D zV>7l%C;jVZ?<(1rgk*3?W zoC=w?Stw+teI^R;GJ{T1papvdlNo=P2_sx)MJAk*nMFRJn=3LYQ0Y`Al@gh=nKaU6 zUSKGxGLVv96P*>yHWJ+( ztD+2~gPtk`aH(CUg$_t~$OQ5NylcfF&_NrC?$$z1hsKVQN<&#P9oPn?rZ9gHAm9ml zL1sos=&XP;MC8~b;W0pgCX(c+A8F88pt1C1U1bJhApvrV+$biX4eH-$)C&cInsO=- z)Xq`CnZcl79Rv+^p+V4)Em+4`sK}wMr3nSdSPOPwOyek~KyR7^l#H_wPS9Lbi3GVQ zC73myCX}G-DFaGPpbQYv1j>H^qnSV%q|apbUlppbXH56_mjQBq#%b zVI^g-07tZ^QbzlU7Fk@XlD8nS;LQUTq-mdXP9 zMTkPk0Fi79_xiXLrcu zJO;#&9*_n`T!7JlAYXp~1Om$R1*k$SPo2X?9*&F(D2zb@?&Kv&Lfu}`-91$e6QQ-& z1gM9~CC!c}fdfN$ON*kyffg9{&QT87LX#d zgvMbC#F(gTf>9Q9MT#y3O`^epWPAf5meCfpvZRy+RUqjBNTGkPWM2%4SjD~pek&FG z2F3UlYaxk*bO=WrP1EHRB#=}%xI_qLOa$Ip=ILaNc~Anp3>K7#F^E?j*D-`aiAXVu zV&IHk&(J67%76e2z*q*0(cdiSNzLfy!Ifn^AU+um;Pz58$`K_DdzPqUq;OEPWZ2e$ z%rfo?1TS=e=Kz0X2*<==LEoYW8%At;uxF^YjE;tCB|d@nh&`HDGR#_wPSm9Jz$z7K z1NjGwFo*OoILpw+aL#gf`uOpGd{;ge%h5mn7|kc+>G0~}Vt95l9e1)L>@W~) z$_-rvp&x%rvts9HHeK=o|HjC#^CN`Jlz=a%1pOtY80eY85U=L5vp41PB!6{yl)o*% zEc4^5(Pep%9#7KaxIKs4mRmsdkE6ngEVSk(>goXduY z^$##>C-UmX?)ILV&T0_&R%1U@XHPF?vn6_$L$OwwL~vDz_LvBVp23A%RaBG#w-u#B zR2l>cMS5syq@|=g1%?;~5DAg`6eOG>RA3moqy!wgYjB1Rk*=XpN?K;f-+!(9aPQN7 zIZtP;v(Cfb>+E&*wr5boP86T03GL2`0&|aGjsb!V#KqnkIF=CUQ9pJ=u|`6buRmD> zYOa-6cc@Le`WPd)BhvL6W+CPMM0}h*l;?X^sIQ-~c2OhP-4|}`P3P^A=c#no5sS$h zbEIvB7?yvyGL)ZZmy*t$VxA+ndZMk5qk#t;c}dzgd{=vnV6PnCMM=3fH|<&hDCm3J zNG}VP>_k-e0Jaaeyt6Z!vF_e}e}^3;>qZ|rc9A-2HdEqf)TsH<|I^&pvCb&#Z_IeU zK+h6We)C&tLr=?CL7t{-on_YMG_BvjC!HDAlhm!d>_5%b`v1lTE^Qk(zC*#6$?{6T z-#KIT&2LBSuo*Iz5e0avkH1d`=#8mW^(iUx>k(#=OAsqX@^?cX zE5ig*in?4N$hw}3hfG1z=GP~EI`4i}3S(%sVMOwrP$P$g>f0XGTDe4tF^PBYV$u}j zQ0{of#UBmj+O%QCGO5*uF0i*{!>VWPcO9>1@71}--zqFFX=>=?hALzj@9_tH)6FfQ zSKEG1${jVt>&x*5w^1+&s7p4MY7}a+aUkp6lPIP{-Zv%tFm<^L)KcXc*g@TfCauP@ zGSSp$2wq3(1#^S`w_BsZ# z5Bj45k)4{g{r^<*By}ZtoH2W?GMZG|6XyiefA0a&*UV*^6LA4_|Bd8|`#16)FVszM zN_H$O4jpJ-tF0DeUQdaRG^-G=bPOnqBOWrZ*UKvVfo16N5hRkX^RAFUgixv{TGBH>!bfmx;_;=ua)lYIDh7@1D|Lc)$1^#8=|D01cK% z%M6?t$c+ZbZ(W`|r_}(Ygrwh(o^980a8H_@@Y_yo$4jWO*N?NAICm7-=Y`tSKbqX>oE{rMMDLl$rH`_ z4Fj)13sizz!2#cRnpv1CFkx5SA~<*lp7Ry=K_1vT`5PQy)8ft70+E+{QaPb9?~R&z zEsEN6Y|lGS2=*fj^NV?9A~SEi=kwybqtZcE_h#px-C!129>e8{KD23W`fMP3Ej1CP+(7G+n#g|Ix_PY0(^rZZ=%Fw~vPliBxq zi-36hZCB5oaRKW18DodWya1auKgRQF;VPOcZKUvt4($nIx>T)X233GNJV%CydMZTB z8awp<*HfJ+X|olzxTVaCe=+@Ykv<|37hJI*3SBlJi264#0`&WyLx|w+zrt6gabIT| z3hbS#yc+OsigIin&UF;I-|EM8pGbZKI_%}$r+i957nRfE?U+HRshj_9tarmGxR5>l z3c^zfn$IWD-ZF zi&AN3(A{Nk2(tFwmNmYT*&sw&{sqCk%2h%cxsY2HM`dkQ5wLnM_0m2SJ~MPtZtJqy z${p5sNXdpiL2l;Kx)kZIRlRyH-+rt=$ZdaNSyRQ8`uD>r=hSqI&slNUQP|nksp<9x zTnAcbWOvxxh&SkQ>C=(`x3B<)Vbs06x2ywC8%}pSaA8?r6rT-<7BzzMeu&3?MIVR5 zN&`dtMjx)o80dpLy9zN-H{-q;3`pZs$>t(J4h*kusf zFl2`+g~B6$EI2IGbZoOM;u<<;>~8T3xOr?0W#TkddLgO1Wp?!_?nD3;I5%MwewDBA zATfKe9pmF8yplv!%^fTX(i)fv-6Q<=BG~->6-3}afA70-bm-IxQXTdg?kC_ z#`yZ+GjGy5Y?47f03zvtJ_4(j7{rjUYmUwMsJA&q38$207S>9dd9=`jy|v(TX=G_p zikFIp6J;wSHUC_GGDGR_`4F^C_vJ;D0}6)sArC=E-9DU7+8FIxh=OtbVlEL26UVoe z5Uk=}k}RHU&y^6w>E&GhSLfy3k*Gi@Q~r}f*yjlkC@vci568;x^|35+jO8XzVQW`t zY!L1vEgujTc2(Lx)4E0YC-&-WNPg(>M+jsMs zza!0}yin@bo`jXAjj!jy7fWv@>XM#t!M)0pLj7X%Nk(acz8aTcsg7>&LG-@KJ+Evp z;;`5A0${+_=|+#%jk(;Z=wN)J@rhXLa*AWhn@>7f<0)&c?`yd z>o5dGaK-BzbvN#FMG2exrw3Mwc+5chcW#0*p75XNdyyq7;iPoKsFm0|!r1W0E1p$b;K_Y)t^8T=)fTrRv3uw;RGd^(qQQRb-;7Lu_NUQt#(NRE*9R zO@jel{7YR5*&=`MsA{IG@=~gv;gh>DpZa)oRPVBww4MpB_IR}KB;)7cw~;#u6!(-;{WALH?2yAB+jHrSIv7Z?Np3AKS1N8_@lh>GLZxbbNqXz1|>>2L;uX%1g~} z@s1-Kg;Zv-&qL1dg~q>Q1YmYDsBgrZri8?;X`rF=ip+P{s$=yMEUun+NuJm>Uq9@E=N+z5@@sPC9g4Pfi@ zFXSgCmJShT+a)Roz0Xpnnv+gXmuev|8j(_u(Luq9>#Sps7)=b?@v6-V1#2;XFiMq* zQ$(|mQpNung_oH*r(Yz|`i7=w?j<-L|F(~dtFq_yRe!`jM8=;#Bg3kX$)irz(JI!S zZvROpc_)iPkTfHraD73FN%^+Kz5tL}Aj7+ zZoH2kdohNvdwRj9mUpXRQS|yv4^iam&HazApQabk zG0)D?C*k|=pO1pd^>paWY*pueQw@$WA)k~g2+(D!Kd7WQb%|+wTyXbPhZksd4qeG| z)@)_+1jm#>+ZkMbFn@xxr6B#QKHo4EgKP`PeJX+lmKb=DQjpN?#p$HAp1bnsi1p_tI4eDi6J)z6eihO&RmU zj#%n2vF=Z2`GIDh*TKz7982;2CvCftt7;ooMr#I|aPdhFK@W$%)I+SBEdPV7S-=h5>>6+C6z(P0>QXy;SaEYH? z!D%rgVwcZ|lRAhj_9T|8<~qWy6F|y^(&srKfISDK%q7$EY>R?cmIFOI!_)VAn||@~ zrrf`W%euR`(p=8Jlc2mek+)z#!&T*U`wKA$r8zc}e^F|ADWS2txT+(a{rq@4Q8=MH zNxZ!->3Kx%=&KI^^!J?*ucDCIU!yv^iP;<1nb||bFJP_a2>L*!n{+in_mRWlxM7@r zkGq{}m^T~Sg8Q4pW&9f4OvA`i6NV^|hnT;cKxwZa0*k-X;fBA*H~F1{I3H00e2jOm}d4n99VIbx9b ztEGx<$o<^DO)xJBnjmBF44@IvWLCuXE{#NZE(O@Nn4$Y- zQ;V1J>lxjYUe25GRqxBuyAJ2d${~N{HA8&o!6K(^LkyQM+X7P9EasW@`%*?LflCh- zVLPc3mfhA&AuWQ7|H(mUvctmK7#s8QAtX5`jP+NIi;;TejO^gcs1@xd%eBZaH zYX*mr7oy5AfPTe+0KWiV2>?kQL%;wqqDAPr5Kawgn7qWY6anas`WzVM=*daw-$#X?Zob0~ z^=LE=Y8?@FM%MDg-uPu@|Ef_g=9kJEO3l&X69+TZWULn}>$?2oFyMebPXaV%i!dN! zz#Zw>hf74sk1#P;wl>>`uR9VCP?>k8^|-V*zh%2@v<>l3!xLhK`?c_|A6nef{T_Ns z2KSD@LO)>5p`C|26aTof-BHN*A2`EJ`2y|oESvkw2!9TRQS~iREA5hPF`^!%3(yUGvv`Bqb- zAn`ZO3OlARQmL77;j`{IR}Vgm-lA7i?&0F?t>s*Du2W)wi%H-7Ve{mjw1Ar6v(;Bg z?W{S)dIYfAy7R)jk5==Yoz!-^SMTn0R}T=}?@5TYR=_Q|L>S9MvJ#o5l143}SB^4j z)&*MfO-4}UreLW?NueO1wS?FH7@ zApU;>UQ!cQhA9E}yAKxqZjgYr3_JCNDkM!zfAl}9t*!onq5eM3$nY9nUO6v5+SP^~ zXJ%d$;AkvZL zs963d!M^;A{5TIEwP|`Km6f9&PE~Kx9;KUeAB&y#st6a)k_|_ zX^QGTuW%Qp3nb3WJa{3*!q&i`i(W4&#plHNo^ND1BqH@;IRY@t+5a5J25xa``?6$W z85>qbY~m}>4jbE-62eMmCZL>IhC9QN2|i1DnNc+d`h%U`c*gely`}qum?k{A5-jlr zFxW+em${88_LT|jxr=|8fH9I`4RMrCK)Y3v_c+~7`2NN+0klGggh##<-B`VIAExNb z%($c;O5xB=22?UJu0G6+LoLyV-ubm!gTJ59Lov;k)5G+VNCcySjDh=7h+x5%@51)E zLYW19Nkn>HADGyF*jr|`jmlZFo_|=j%@HO(jrK#UokyJbMaHm2(iHxa=IB+62z|m; z7*5C&$I@S_3bJu2-iv9&THNtrO0v9ia`x-i zozKDRF+W>62d0d1tczq{!jD4t5YZQ_=UN`WZ!9i8(_lZf1;y{mjBt4T3|`bKI4|1s zDf}D^EcSdUJ-o~^^~IcmjMtwo))`L-FAD$c=Wp*wg$(1b^k)^OPwh85Cn^gJDlJRD zVa}CGn}$N%O2LTJ%hBst(#6O7^j9B%RV#&&kb<0vj;8Qz@<6n@Ubm@Us)!kK;nv%( nY~26C&p#yjI6?kp8ehEf4|