From 8026de7bdac6ba91ec92696f99d1f7e71533da53 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Petr=20Veli=C4=8Dka?= Date: Tue, 25 Mar 2025 12:49:18 +0100 Subject: [PATCH] formatovani --- skripta.pdf | Bin 251883 -> 251883 bytes stochasticke-konvergence.tex | 14 +++++++------- 2 files changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/skripta.pdf b/skripta.pdf index a411fb5a69f0dcf6b21074d8a43bceb0ba90d6d8..9bd0494fcd322878092a6adf3159ab3355ee38e5 100644 GIT binary patch delta 940 zcmV;d15^C#uMg|54}gRLgaWh!#lU~krqbUn%m2myU-B3)F01Lm85^Hu06!crPeqcW z*{CYsEUFh*%gJ~O!JZECV3?0h*{bU;YMl{ykpF(Gt^PM=n74UyGo^$6A z>A#f~feZL>lT()WW!^L74wU158CppQ%s<}Qon_%CH1tC323N|)cR=D8kr;BTnY(6z zJK&hkEqRtPJlrmUvsiKqQpTTSl`E%{7p@*&bH-NLU1UI8Bh;pdkx6MIhod=O~jnx#PAp@%t%b3sMddQxC|hw&B=?MwRc7bm0H9d`C#F0m2X8uR|{ZF(|`eN2h)af zj$lonQSxb05jd4yILF}RvvQN}C(0bu^Skc%J>#ho?woAa7yL;+^&>`qMW3U~D|zRa z_cVI_h(Rvs4snTYgv16QfAzyw+gqxI@R|xn`#mGa0bLevH}W_?Ajy8q*SQHf}~O`9~tGpwL9+eLLk8qpxj8 zFnke*F_J%FG2cq3a5C0$4bnp?Ew}x{0|pHQ{(A(5m+?*m6PFs%0~$hPGC4OhV>V+r zF=AmbW-?+hH8EjkI5#jbVl_1}WHmEBJY+ICH#1{4V>mHlVK8PgVlXu^VP-ftFfd{@ OH8Es0Gq-lp19b*J^T((F delta 940 zcmV;d15^C#uMg|54}gRLgaWh!#lU|Oc~p6~EdLk(f5~IKxU8lJXKZ|u0sL^hJQYcf zW}~Wjv#4HNEhpnC1baTb;37V!$i?b5Ze*Q{^lROTLJo(^;beABkb0SAS3f~gpXTqr zpFGs{A1wgi{1~i_jI58s`U(5)`XRkcGju5L_mgSp8_`&Ee+r#p&UfPQR=|JPc+QIih)O*PPp<>oh@X)FLE0+)Y>J#FOHtr>7f+Cm51M>X73MdY;-NvJ8CGR3CGLrd!B zPxnr!TQxs@_pzefbdt&nb#=9F&@7idy?n!l=#M$n$voQjk-$x2=X>nwBlku-4&^$q z;vjjT_Ha#yYCB-Q6ODoLqH;HYyckQS?YN=NcNE|G)b20qpk}`x`N@A&REvCy9WUOvL*p^n*%u!oQaUCdntt4p08=G5v5)KO#YjitnGSgj`!& zk2}QTmeH(3a}8u}wucoy5*9%oP7@?IXvjiN5r{a=Im#qX?zk-tx%f8Ca^D*(aXO$X z;rT(fOq{$eGZIrMsx^NcE(3^abMj(m?VZseYJ13j<1%HxH{fNmOfz!Pp%stwr&(&7Oa~4b z?2Y5m4yHES0TF})zKRO9I)lV~uG#6tOa`p5A7geozNM0w#?fQk+$ z9tn(f>C`yB{Ww0g=ERo%)CQ@!Qfl6xAb&j#s38mldlKov3@hl&c2S*>Ml{GW`TA82 z3}3`yjO0&P%(v1hoQ!o`gY-Z;EVuo`0|pHQG9?6em+?*m6PFs%0~$g#F*!LoW@a`u zWn*SEWHmQ6FlIPnH8?S3WH2#fVq-KuJT);nIXPx#HZ^5qW;A3qH#IP3IAS$8F=S*g OF=Jw5G`Duq19b-HWyCcA diff --git a/stochasticke-konvergence.tex b/stochasticke-konvergence.tex index af34520..57d377a 100644 --- a/stochasticke-konvergence.tex +++ b/stochasticke-konvergence.tex @@ -5,14 +5,14 @@ V této kapitole budeme studovat druhy konvergence v pravděpodobnostních prost \begin{definition} Nechť $X_1, X_2, \dots$ je posloupnost náhodných veličin a nechť $X$ je jiná náhodná veličina. Nechť $F_n$ označuje distribuční funkci $X_n$ a nechť $F$ označuje distribuční funkci $X$. Potom $X_n$ \textit{konverguje k $X$ v pravděpodobnosti} (předpokládáme, že $X_i, X$ všechny ``žijí" na stejném pravděpodobnostním prostoru) , značíme $X_n \overset{P}{\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}}$, pokud pro každé $\varepsilon > 0$, $$ P[|X_n - X| > \varepsilon] \overset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0. $$ - + Dále $X_n$ \textit{konverguje k $X$ v distribuci}, značíme $X_n \overset{D}{\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}} X$, pokud $$ \lim_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = F(x) $$ pro všechna $x$ kde je $F$ spojitá. $X_n$ \textit{konverguje k $X$ v $L_p$} pro $p \geq 1$, značíme $X_n \overset{L^p}{\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}} X$, pokud $$ \E |X_n - X|^p \overset{n \rightarrow \infty}\rightarrow 0. $$ - + $X_n$ \textit{konverguje k $X$ skoro jistě}, značíme $X_n \overset{P-s.j.}{\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}} X$, pokud $$ P[\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = X] \equiv P[\omega \in \Omega: \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega) = X(\omega)]=1.$$ \end{definition} @@ -33,10 +33,10 @@ V této kapitole budeme studovat druhy konvergence v pravděpodobnostních prost \begin{proof} Budeme dokazovat postupně každou implikaci. \begin{enumerate}[(i)] - \item Mějme $\varepsilon > 0$. Pro $n \in \N$ definujeme náhodné události + \item Mějme $\varepsilon > 0$. Pro $n \in \N$ definujeme náhodné události $$ A_n := \{\omega \in \Omega: \exists m \geq n: |X_m(\omega) - X(\omega)| \geq \varepsilon \};$$ $$ B_n := \{\omega: \Omega: |X_n(\omega) - X(\omega)| \geq \varepsilon \}. $$ - Chceme ukázat, že $P(B_n) \rightarrow 0$. Víme, že $A_n \supseteq B_n$, tedy díky monotonii pravděpodobnosti stačí ukázat, že $P(A_n) \rightarrow 0$. Reálná posloupnost $\{X_m(\omega)\}_m$ je konvergentní, jestliže existuje přirozené číslo $N$ takové, že pro žádné $m \geq N$ neplatí $|X_m(\omega) - X(\omega)| \geq \varepsilon$. Potom $\lim A_n$ je jev, že posloupnost $\{X_m(\omega)\}_m$ diverguje. + Chceme ukázat, že $P(B_n) \rightarrow 0$. Víme, že $A_n \supseteq B_n$, tedy díky monotonii pravděpodobnosti stačí ukázat, že $P(A_n) \rightarrow 0$. Reálná posloupnost $\{X_m(\omega)\}_m$ je konvergentní, jestliže existuje přirozené číslo $N$ takové, že pro žádné $m \geq N$ neplatí $|X_m(\omega) - X(\omega)| \geq \varepsilon$. Potom $\lim A_n$ je jev, že posloupnost $\{X_m(\omega)\}_m$ diverguje. Ale dle předpokladu $X_n$ konverguje skoro jistě, tedy $P(\lim A_n) = 0$. Jelikož $A_1 \supset A_2 \supset \dots$, z věty o spojitosti míry (Věta \ref{thm-continuity}) dostáváme $P(\lim A_n) = \lim P(A_n) = 0$, čímž jsme dostali požadovanou konvergenci v pravděpodobnosti. \item Nechť $X_n \overset{L_p}\rightarrow X$. Podle Markovovy nerovnosti (Věta \ref{thm-markov-inequality}) platí $$ P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = P(|X_n - X|^p \geq \varepsilon^p) \leq \frac{\E|X_n - X|^p}{\varepsilon^p} \rightarrow 0 $$ @@ -75,21 +75,21 @@ Uvedeme si několik protipříkladů, na kterých si ukážeme, že implikace op \begin{example} Ukážeme, že konvergence v pravděpodobnosti neimplikuje konvergenci v $L_p$. Mějme prostor $(\Omega = [0, 1], \mathcal{A} = \mathcal{B}(\Omega), P = \lambda)$. Každé přirozené číslo můžeme jednoznačně zapsat ve tvaru $2^n + m$, kde $m \in \{0, 1, \dots, 2^n - 1\}$ a definovat $$ X_{2^n + m}(\omega) = 2^n \chi_{\{\omega \in ((m-1)2^{-n}, m2^{-n}]\}}, \omega \in [0, 1]. $$ - + Pak opět pro každé $\varepsilon \in (0, 1)$ dostaneme $P[|X_{2^n + m}| > \varepsilon] = 2^{-n} \rightarrow 0$. Tedy $X_n \overset{P}\rightarrow 0$. Nicméně, $\E |X_{2^n + m} - 0| = 2^n P[X_{2^n + m} = 2^n] = 2^n2^{-n} = 1$ a tedy posloupnost nekonverguje v $L_1$, tedy to nemůže konvergovat ani v vyšších $L_p, p > 1$. \end{example} \begin{example} Ukážeme, že konvergence v $L_q$ neimplikuje konvergenci v $L_p$ pro $p > q \geq 1$. Mějme prostor $(\Omega = [0, 1], \mathcal{A} = \mathcal{B}(\Omega), P = \lambda)$. Každé přirozené číslo můžeme jednoznačně zapsat ve tvaru $2^n + m$, kde $m \in \{0, 1, \dots, 2^n - 1\}$ a definovat $$ X_{2^n + m}(\omega) = 2^{n/2} \chi_{\{\omega \in ((m-1)2^{-n}, m2^{-n}]\}}, \omega \in [0, 1]. $$ - + Pak $\E |X_{2^n + m} - 0| = 2^{n/2} P[X_{2^n + m} = 2^n] = 2^{n/2}2^{-n}$ a tedy posloupnost konverguje v $L_1$. Nicméně, pro $p = 2$ máme $\E |X_{2^n + m} - 0|^2 = 2^{2(n/2)}2^{-n} = 1$ tedy posloupnost nekonverguje v $L_2$. \end{example} \begin{example} Ukážeme, že konvergence v distribuci neimplikuje konvergenci v pravděpodobnosti. Nechť $X \sim N(0, 1)$ a $X_n := -X, n \in \N$. Tedy $X_n \sim N(0, 1)$ pro každé $n \in \N$. Tedy triviálně $\lim F_n(x) = F(x)$ pro všechna $x \in \R$. Tedy $X_n \overset{D}\rightarrow X$. - + Nicméně, $P[|X_n - X| > \varepsilon] = P[|2X| > \varepsilon] = P[|X| > \varepsilon/2] \neq 0$ (nezávislé na $n$), tedy posloupnost $X_n$ nekonverguje v pravděpodobnosti. \end{example}