prednaska 25.2.2025

nahodne-veliciny.tex

@@ -83,12 +83,98 @@ Další funkcí, která plně charakterizuje rozdělení náhodné veličiny je
 
 Uvedeme si několik užitečných vlastností distribučních funkcí:
 
-\begin{corollary}{\textbf{(Vlastnosti distribučních funkcí)}}
+\begin{corollary}{\textbf{(Základní vlastnosti distribučních funkcí)}}
 	\begin{enumerate}[(i)]
-		\item Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení.
+		\item Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení (jinými slovy, $F_X = F_Y$ implikuje $P_X = P_Y$).
 		\item Různé náhodné veličiny mohou mít stejné distribuční funkce, tedy stejné rozdělení.
 	\end{enumerate}
 \end{corollary}
 
 \hfill \textit{konec 3. přednášky (24.2.2025)}
 
+\begin{example}
+	Hodíme dvěma kostkami, označme $Y$ počet sudých čísel na těchto dvou kostkách. Potom $Y \in \{ 0, 1, 2 \}$. Z definice $F_Y(a) = P[Y \leq a]$, tedy
+	$$
+	F_Y(a) = \begin{cases}
+		0, a < 0,\\
+		\frac{1}{4}, 0 \leq a < 1,\\
+		\frac{3}{4}, 1 \leq a < 2,\\
+		1, a \geq 2.
+	\end{cases}
+	$$
+
+	Dále, z toho že $P_Y({0}) = \frac{1}{4} > 0$, naše míra není absolutně spojitá vůči Lebesgueově míře $\lambda$, musíme uvažovat čítací míru $\mu_\mathbb{Z}$ na množině celých čísel. Potom hustota $f_Y$ má následující tvar:
+	$$
+	f_Y(a) = \begin{cases}
+		\frac{1}{4}, a = 0,\\
+		\frac{1}{2}, a = 1,\\
+		\frac{1}{4}, a = 2,\\
+		0, \text{jinak}.
+	\end{cases}
+	$$
+\end{example}
+
+Vidíme, že hustota odpovídá skokům distribuční funkce v daném bodě. V následující větě uvedeme charakterizaci distribučních funkcí.
+
+\begin{theorem}{\textbf{(Charakterizace distribučních funkcí)}}
+	Buď $X$ náhodná veličina a $F_X$ její distribuční funkce. Pak
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $F_X$ je neklesající;
+		\item $\lim_{a\rightarrow -\infty} F_X(a) = 0$, $\lim_{a\rightarrow +\infty} F_X(a) = 1$;
+		\item $F_X$ je zprava spojitá.
+	\end{enumerate}
+	
+	Dále, každá funkce $F$ splňující body (i)-(iii) z této věty je distribuční funkcí nějaké náhodné veličiny.
+	\begin{proof}
+		Dokážeme pouze implikaci o vlastnostech distribuční funkce, opačná implikace (existuje rozdělení) vyžaduje pokročilý matematický aparát z analýzy a teorie míry, který prozatím postrádáme.
+
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $F_X(a)= P[X \leq a]$. Bez újmy na obecnosti nechť $b > a$. Potom $F_X(b) = P[X \leq b] = P([X \leq a] \cup [a < X \leq b]) = P[X \leq a] + P[a < X \leq b]$ z aditivity míry, druhý sčítanec je nezáporný, tedy dostáváme požadované tvrzení.
+			\item Platí $\lim_{a\rightarrow -\infty} = \lim_{n\rightarrow\infty} F_X(-n) = \lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in (-\infty, -n]] =: $\\$\lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in A_n] = 0$. Poslední rovnost platí ze spojitosti míry (v prázdné množině), neboť platí $A_n \swarrow \emptyset$. Obdobně se ukáže tvrzení pro $a \rightarrow + \infty$ (cvičení). 
+			\item Stačí uvažovat postoupnost $a_n = a + \frac{1}{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$. Požadované tvrzení opět plyne z věty o spojitosti míry.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+\end{theorem}
+
+Pro každou funkci $F$ splňující vlastnosti z předchozí věty existuje míra $\mu_F$ na $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ určená vztahem $\mu_F((-\infty, a]) = F(a)$ pro všechna $a$. Tato míra je konečná a platí $\mu_F((a, b]) = F(b) - F(b)$.
+
+\begin{definition}{\textbf{(Rozklad pravděpodobnostního rozdělení)}}
+	Každou pravděpodobnostní míru $P_X$ můžeme rozdělit na tři složky $P_X = P_{X_{as}} + P_{X_{ds}} + P_{X_{sg}}$, kde $P_{X_{as}}$ je absolutně spojitá vůči Lebesgueově míře $\lambda$, $P_{X_{ds}}$ (diskrétní spojitá) je absolutně spojitá vůči čítací míře $\mu$ na nějaké spočetné podmnožině $\mathbb{R}$ a nakonec $P_{X_{sg}}$ (singulární) není absolutně spojitá vůči $\lambda$ ani ji nelze napsat jako spočetnou kombinaci Diracových měr $\delta_x$. 
+\end{definition}
+
+Příkladem singulární distribuční funkce je například integrál takzvaného Cantorova diskontinua. Obecně taková rozdělení nemají ``hezké" vlastnosti, proto s nimi již nebudeme pracovat.
+
+\begin{definition}
+	Náhodnou veličinu $X$ nazveme \textit{diskrétní}, jestliže existují $\emptyset \neq I \subset \mathbb{N}$, $\{x_i\}_{i \in I}$ a $\{p_i \in (0,1]\}_{i \in I}$ takové že $P[X \in B] = \sum_{i, x_i \in B} p_i$ pro všechny borelovské $B$.
+\end{definition}
+
+Platí $P[X = x_i] = p_i$ a $\sum_{i \in I} p_i = 1$. Rozdělením takové veličiny je funkce $P_X = \sum_{i \in I} p_i \delta_{x_i}$, kde $\delta_u$ je Diracova míra v bodě $u$. Toto rozdělení je spojité vůči čítací míře na $S = \{x_i\}_{i \in I} \subset \mathbb{R}$. Potom funkce
+$f_X(u) := \begin{cases}
+	p_i, u = x_i,\\
+	0, \text{jinak}
+\end{cases}$ je hustotou (občas také pravděpodobnostní funkcí) zkoumaného rozdělení.
+
+\begin{definition}
+	Náhodná veličina $X$ se nazývá \textit{(absolutně) spojitá}, pokud její rozdělení $P_X$ je absolutně spojité vůči Lebesgueově míře $\lambda$.
+\end{definition}
+
+Pro spojitou náhodnou veličinu $X$ vždy existuje hustota $f_X$ (nezáporná a jednoznačná až na množinu $\lambda$-míry $0$) splňující $P[X\in B] = \int_B f_X(t) dt$ a speciálně $F_X(a) = \int_{-\infty}^a f_X(t) dt$ pro všechna $a \in \mathbb{R}$. Taková $F_X$ má derivaci ve skoro všech bodech a platí $F'_X(a) = f_X(a)$ pro s.v. $a$. Analogicky pro diskrétní náhodnou veličinu $Y$ je hustota funkcí, která nabývá v bodě $a$ hodnotu distribuční funkce v daném bodě.
+
+Ne každá veličina, se kterou se běžně setkáme je ryze spojitá nebo ryze diskrétní. Příkladem veličiny, která má obě složky nenulové, je například úhrn denních srážek, s nenulovou pravděpodobností nenaprší vůbec, ale když už začne pršet, úhrn srážek je spojitá náhodná veličina.
+
+\begin{lemma}
+	Nechť $F_X$ je distribuční funkce náhodné veličiny $X$. Pak pro $a < b$ platí
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $P[a < X \leq b] = P[X \in (a, b]) = F_X(b) - F_X(a)$,
+		\item $P[X > a] = 1 - F_X(a)$,
+		\item $P[X = a] = F_X(a) - F_X(a^-)$, kde $F_X(a^-)$ je limita zleva $\lim_{h\rightarrow 0^+} F_X(a - h)$ a odtud $P[a \leq X \leq b] = F_X(b) - F_X(a^-)$.
+		\item pro spojitou náhodnou veličinu platí $P[a\leq X \leq b] = P[a \leq X < b] = F_X(b) - F_X(a)$.
+	\end{enumerate}
+	\begin{proof}
+		Důkaz je jednoduchý, plyne z příslušných definic. Uvedeme např. důkaz pro bod (iii).
+
+		$P[X = a] = \lim_{h\rightarrow 0^+} P[a - h < X \leq a] = F_X(a) - \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X(a - h)$.
+	\end{proof}
+\end{lemma}
+
+\hfill \textit{konec 4. přednášky (25.2.2025)}