rigoroznejsi dukaz pozorovani 1.5

nahodne-jevy.tex

@@ -49,16 +49,16 @@ Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pra
 	Pro výše jmenovaný pravděpodobnostní prostor platí následující tvrzení:
 	\begin{enumerate}
 		\item $P(\emptyset) = 0$,
+		\item Pro $A, B \in \mathcal{A}$ disjunktní platí $P(A\cup B) = P(A) + P(B)$.
 		\item Pro $A \in \mathcal{A}$ platí $P(A^C) = 1 - P(A)$,
 		\item Pro $A, B \in \mathcal{A}, A \subset B$ platí $P(A) \leq P(B)$.
-		\item Pro $A, B \in \mathcal{A}$ disjunktní platí $P(A\cup B) = P(A) + P(B)$.
 	\end{enumerate}
 	\begin{proof}
 		\begin{enumerate}
-			\item Stačí vzít rovnost $1 = P(\Omega) = P(\Omega \cup \emptyset) = P(\Omega) + P(\emptyset) = 1 + P(\emptyset)$. Druhá rovnost plyne z vlastnosti (ii) z definice pravděpodobnosti.
+			\item Uvažujme posloupnost $A_1 = \Omega, A_2 = A_3 = \dots = \emptyset$. Potom z vlastnosti (ii) z definice máme, že $P(\Omega) = P(\Omega \cup \emptyset \cup \emptyset \dots) = P(\Omega) + \sum_{n=2}^\infty P(\emptyset)$. Tedy $\sum_{n=2}^\infty P(\emptyset) = 0$, což může nastat pouze v případě $P(\emptyset) = 0$ (jde o součet nekonečně mnoha nezáporných čísel).
+			\item Nechť $A_1 = A, A_2 = B, A_i = \emptyset$ pro $i > 2$. Tvrzení plyne přímo z vlastnosti (ii) z definice pravděpodobnostní míry a již dokázané vlastnosti 1.
 			\item $1 = P(\Omega) = P(A \cup A^C) = P(A) + P(A^C)$. Tato rovnost platí, neboť množina je vždy disjunktní se svým komplementem.
 			\item $P(B) = P(A \cup B\setminus A) = P(A) + P(B\setminus A)$. Jelikož funkce $P$ je nezáporná, snadno vidíme, že $P(B) \geq P(A)$.
-			\item Nechť $A_1 = A, A_2 = B, A_i = \emptyset$ pro $i > 2$. Tvrzení plyne přímo z vlastnosti (ii) z definice pravděpodobnosti.
 		\end{enumerate}
 	\end{proof}
 \end{observation}