diff --git a/nahodne-jevy.tex b/nahodne-jevy.tex index 63a0926..1d5952f 100644 --- a/nahodne-jevy.tex +++ b/nahodne-jevy.tex @@ -189,3 +189,12 @@ Použití Bayesovy věty si ukážeme na následujícím příkladu. Tedy pravděpodobnost, že tento e-mail je spam je přes $99\%$! \end{example} +\begin{theorem}{\textbf{(O postupném podmiňování)}} + Nechť ${A_i}_{i=1}^n$ jsou náhodné jevy takové, že $P(\bigcap_{i=1}^n) > 0$. Pak platí + $$ P(\bigcap_{i=1}^n A_i ) = P(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_1). $$ + \begin{proof} + Dokazujeme indukcí podle počtu náhodných jevů. Z definice podmíněné pravděpodobnosti víme, že $P(A_2 \cap A_1) = P(A_2 | A_1) P(A_1)$. Dále + $$P\left(\bigcap_{i=1}^n\right) = P\left(A_n \cap \left(\bigcap_{i=1}^{n-1} A_i\right)\right) = P\left(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}\right) P\left(\bigcap_{i=1}^{n-1}\right),$$ + čímž je důkaz ukončen. + \end{proof} +\end{theorem} diff --git a/nahodne-veliciny.tex b/nahodne-veliciny.tex index 7b2983d..c011e05 100644 --- a/nahodne-veliciny.tex +++ b/nahodne-veliciny.tex @@ -9,3 +9,86 @@ V této kapitole se budeme věnovat náhodným veličinám, což bude formalizov \hfill \textit{konec 2. přednášky (18.2.2025)} +\begin{convention} + Zavedeme značení $[X \in B] = \{\omega: X(\omega) \in B\}, [X \leq a] = \{\omega, X(\omega) \leq a\}$. Platí tedy $[X \in B], [X \leq a] \in \mathcal{A}$ pro všechna $B \in \mathcal{B}, a \in \mathbb{R}$. Jde o náhodné jevy a jsou tedy dobře definované jejich pravděpodobnosti $P[X \in B], P[X \leq a]$. +\end{convention} + +\begin{example} + Házíme mincí desetkrát. Nechť $X(\omega)$ je počet orlů v posloupnosti $\omega$. Jestliže $\omega = OOPOOPOOPP$ (kde $O$ je orel a $P$ je panna), platí $X(\omega) = 6$. +\end{example} + +V předchozí kapitole jsme mluvili o pravděpodobnostním rozdělení, je na čase tento pojem formálně zadefinovat. + +\begin{definition} + \textit{Rozdělením náhodné veličiny} $X: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ nazýváme indukovanou pravděpodobnostní míru $P_X$ na $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ definovanou jako + $$ P_X(B) := P[\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in B\}],B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$ +\end{definition} + +Máme tedy jakýsi obraz míry $P$ v zobrazení $P_X$ čímž se $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ zobrazí na pravděpodobnostní prostor $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)$. V opačném směru můžeme použít takzvané kanonické vnoření do prostoru $(\mathbb{R}, \mathcal{B}, P_X)$, kde naší zvolenou měřitelnou funkcí bude identita, tedy není potřeba se bát, že by příslušný prostor nemusel existovat. Následující věta říká, že nezáleží ve kterém z těchto dvou prostorů integrujeme libovolnou funkci. + +\begin{theorem}{\textbf{(O přenosu integrace)}} + Buď $g$ měřitelná funkce na měřitelném prostoru $(\mathbb{M}, \mathcal{M})$ a $X: (\Omega, \mathcal{A}, P) \rightarrow (\mathbb{M}, \mathcal{M})$. + Nechť $P_X$ je míra na $\mathcal{M}$ indukovaná zobrazením $X$, tedy $P_X(M) = P[X^{-1}(M)]$ pro $M \in \mathcal{M}$. Potom, je-li aspoň jedna strana definována, platí + $$\int_\Omega g[X(\omega)] dP(\omega) = \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x).$$ + + \begin{proof} + Důkaz této věty je poměrně technický, hlavní ideou je ``klasický" postup z teorie míry postupným důkazem nejdříve pro charakteristickou funkci, poté pro jednoduchou měřitelnou (nabývající jen konečně mnoha hodnot), pak pro nezápornou měřitelnou a na závěr pro obecnou měřitelnou funkci. + + Nechť $g = \chi_B, B \in \mathcal{M}$. Tedy $g(X(\omega) = 1$ pro $X(\omega) \in B$ (a všude jinde nulová), tedy pro $\omega \in X^{-1}(B)$. Potom máme + $$ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]. $$ + Pro pravou stranu máme + $$ \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x) = \int_B dP_X(x) = P_X(B) = P[X^{-1}(B)].$$ + + Dále nechť $g$ je jednoduchá měřitelná, tedy $g(\cdot) = \sum_{k = 1}^{n} c_k \chi_{B_k}(\cdot)$ pro $n \in \mathbb{N}$, $c_k \in \mathbb{R}$ a $B_k \in \mathcal{M}$ pro všechna $k$. + Z linearity integrálu plyne (vytkneme sumu) $ \int_\Omega g(X(\omega) dP(\omega) = \int_{X^{-1}(B)} dP(\omega) = P[X^{-1}(B)]$. + + Je-li $g$ nezáporná měřitelná, potom existuje posloupnost $g_n$ jednoduchých měřitelných funkcí takových, že $g_n \nearrow g$. Potom dle Léviho věty o monotonní konvergenci máme + $$\int_\Omega g[X(\omega)] dP(\omega) = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega g_n[X(\omega)] dP(\omega) $$ + $$ = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\mathbb{M} g_n(x) dP_X(x) = \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x),$$ + kde třetí rovnost plyne z již dokázané části pro jednoduché měřitelné funkce. + + Nakonec, pro $g$ měřitelnou existuje rozklad $g = g^+ - g^-$ takový, že $g^+, g^-$ jsou nezáporné měřitelné, tedy požadované tvrzení plyne z části pro nezáporné měřitelné funkce. + \end{proof} +\end{theorem} + +Na závěr poznamenejme, že se nám budou obzvlášť hodit volby $(\mathbb{M}, \mathcal{M}) = (\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ pro $n \geq 1$. + +Připomeňme si, že jsou-li $\mu, \nu$ dvě $\sigma$-konečné míry na $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ a je-li $\nu << \mu$ (tedy $\mu(B) = 0$ implikuje $\nu(B) = 0$), potom z Radonovy-Nikodymovy věty plyne existence nezáporné měřitelné funkce $f$ takové, že $\nu(B) = \int_\mathbb{R} fd\mu$ pro všechna $B \in \mathcal{B}$. Této funkci $f$ říkáme Radonova-Nikodymova derivace a píšeme $f = \frac{d\nu}{d\mu}$. Taková funkce $f$ je navíc určena jednoznačně až na množinu $\mu$-míry $0$. + +Využijeme těchto poznatků tak, že zvolíme vhodnou referenční míru na $\mathbb{R}$ a rozdělení $P_X$ pak bude popsáno právě zavedenou Radonovou-Nikodymovou derivací. Vhodné referenční míry jsou např. +\begin{itemize} + \item Lebesgueova míra $\lambda$, + \item Čítací míra na spočetné podmnožině $\mathbb{R}$, platí $\mu_S(B) = |B \cap S|$ kde $S$ je nejvýše spočetná podmnožina $\mathbb{R}$. +\end{itemize} + +\begin{definition} + Buď $X$ náhodná veličina a $P_X$ její rozdělení. Nechť $P_X$ je absolutně spojité vůči $\mu$, kde $\mu$ je $\sigma$-konečná míra na $\mathbb{R}$. Pak funkci $f_X$ splňující $P_X(B) = \int_B f_X d\mu$ pro všechny $B \in \mathbb{B}$ nazveme \textit{hustotou} rozdělení náhodné veličiny $X$ vůči míře $\mu$. +\end{definition} + +Je třeba si dát pozor na to, aby zvolená referenční míra opravdu byla absolutně spojitá, například při hodu kostkou má výsledek $1$ nenulovou pravděpodobnost, ale $\lambda(\{1\}) = 0$. + +\begin{theorem} + Buď $X$ náhodná veličina a $P_X$ její rozdělení. Je-li $f_X$ hustota (rozdělení) vůči $\sigma$-konečné míře $\mu$, pak + $$P[X\in B] = \int_B f_X d\mu.$$ + \begin{proof} + Přímý důsledek Radonovy-Nikodymovy věty a vztahu mezi $P_X$ a $P$. + \end{proof} +\end{theorem} + +Další funkcí, která plně charakterizuje rozdělení náhodné veličiny je tzv. distribuční funkce. + +\begin{definition} + Buď $X$ náhodná veličina na $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ a $P_X$ její rozdělení. \textit{Distribuční funkce} $F_x$ náhodné veličiny $X$ je definována $F_X(a) = P((-\infty, a]) = P[X \leq a]$. +\end{definition} + +Uvedeme si několik užitečných vlastností distribučních funkcí: + +\begin{corollary} + \begin{enumerate}{(i)} + \item Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení. + \item Různé náhodné veličiny mohou mít stejné distribuční funkce, tedy stejné rozdělení. + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\hfill \textit{konec 3. přednášky (23.2.2025)} + diff --git a/skripta.pdf b/skripta.pdf index ebe9c51..943135d 100644 Binary files a/skripta.pdf and b/skripta.pdf differ diff --git a/skripta.tex b/skripta.tex index 6ada990..05a1987 100644 --- a/skripta.tex +++ b/skripta.tex @@ -19,7 +19,7 @@ \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}[theorem]{Definice} \newtheorem{example}[theorem]{Příklad} - +\newtheorem{convention}[theorem]{Úmluva} \title{Pravděpodobnost a matematická statistika (NMSA202)} \author{Petr Velička \footnote{\href{mailto:petrvel@matfyz.cz}{petrvel@matfyz.cz}}\\přednášející: doc. RNDr. Michal Pešta, Ph.D. \footnote{\href{mailto:pesta@karlin.mff.cuni.cz}{pesta@karlin.mff.cuni.cz}}}