oprava preklepu

nahodne-jevy.tex

@@ -33,7 +33,7 @@ Tato jednoduchá intuice však selže v případě nekonečné (nespočetné) mn
 Každé události $A \in \mathcal{A}$ přiřadíme číslo $\mathbb{P}(A)$, které nazýváme \textit{pravděpodobnost} jevu $A$. Jelikož chceme, aby se zachovala intuice z předchozího příkladu, musíme tuto představu náležitým způsobem formalizovat.
 
 \begin{definition}
-	Nechť $(\Omega, \mathcal{A})$ je měřitelný prostor. Zobrazení $P: \mathcal{A} \rightarrow [0, 1]$ nazýváme \textit{pravděpodonostní mírou (pravděpodobností)}, jestliže:
+	Nechť $(\Omega, \mathcal{A})$ je měřitelný prostor. Zobrazení $P: \mathcal{A} \rightarrow [0, 1]$ nazýváme \textit{pravděpodobnostní mírou (pravděpodobností)}, jestliže:
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item $P(\Omega) = 1$,
 		\item Pro libovolné po dvou disjunktní měřitelné množiny $A_i \in \mathcal{A}$, $i \in \mathbb{N}$ platí 
@@ -43,7 +43,7 @@ Každé události $A \in \mathcal{A}$ přiřadíme číslo $\mathbb{P}(A)$, kter
 	Trojici $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ nazýváme \textit{pravděpodobnostní prostor}.
 \end{definition}
 
-Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pravďepodobnosti, se kterými dále budeme pracovat. Ve všech následujících tvrzeních pracujeme s pravděpodobnostním prostorem $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.
+Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pravděpodobnosti, se kterými dále budeme pracovat. Ve všech následujících tvrzeních pracujeme s pravděpodobnostním prostorem $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.
 
 \begin{observation}{\textbf{(Základní vlastnosti pravděpodobnostní míry)}}
 	Pro výše jmenovaný pravděpodobnostní prostor platí následující vlastnosti:
@@ -63,7 +63,7 @@ Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pra
 	\end{proof}
 \end{observation}
 
-\begin{lemma}{\textbf{(Pravděpodonost sjednocení)}}
+\begin{lemma}{\textbf{(Pravděpodobnost sjednocení)}}
 	Pro libovolné $A, B \in \mathcal{A}$ platí $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$.
 	\begin{proof}
 		Rozepíšeme $A \cup B = (A \cap B^C) \cup (A \cap B) \cup (A^C \cap B)$. Tyto tři množiny jsou zřejmě po dvou disjunktní. Dále díky aditivitě pravděpodobnosti máme $P(A \cup B) = P(A\cap B^C) + P(A \cap B) + P(A^C\cap B) + P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
@@ -74,7 +74,7 @@ Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pra
 	Buď $A_n \uparrow A$ nebo $A_n \downarrow A$ pro $A_n, A \in \mathcal{A}$. Potom platí $P(A_n) \rightarrow P(A)$.
 	\begin{proof}
 		Nechť $A_n \uparrow A$. Potom z definice $A_1 \subset A_2 \dots$ a platí $A = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$.
-		Definujme poslounost $B_n$: $B_1 = A_1, B_n = A_n\setminus\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$. Potom $B_i$ jsou po dvou disjunktní a platí $A_n = \bigcup_{i=1}^{n}B_i$. Zřejmě také platí $A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=1}^\infty B_n$. Pak $P(A_n) = P(\bigcup_{i=1}^n B_i) = \sum_{i=1}^n P(B_i)$. Z toho již můžeme odvodit $\lim_{n\rightarrow\infty} P(A_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n P(B_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B_i) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i) = P(A)$.
+		Definujme posloupnost $B_n$: $B_1 = A_1, B_n = A_n\setminus\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$. Potom $B_i$ jsou po dvou disjunktní a platí $A_n = \bigcup_{i=1}^{n}B_i$. Zřejmě také platí $A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=1}^\infty B_n$. Pak $P(A_n) = P(\bigcup_{i=1}^n B_i) = \sum_{i=1}^n P(B_i)$. Z toho již můžeme odvodit $\lim_{n\rightarrow\infty} P(A_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n P(B_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B_i) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i) = P(A)$.
 
 		Případ klesající $A_n$ se dokáže analogicky, stačí uvažovat $C_n = A_n^C$.
 	\end{proof}