petrvel/nmsa202
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Projects Releases Packages Wiki Activity Actions

prednaska 31.3.2025

Browse source
This commit is contained in:
Petr Velička 2025-03-31 10:36:18 +02:00
parent ed888e9857
commit d9c79ce84d
Signed by: petrvel
GPG key ID: E8F909AFE649174F
3 changed files with 72 additions and 2 deletions
Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

4
stredni-hodnota.tex
View file

@ -273,12 +273,12 @@ Budeme pokračovat základními vlastnostmi variančních matic, které se chova
\begin{proof}
Dokážeme první vlastnost. Případ $m = 0$ je triviální, nechť tedy máme $m > 0$. Nejdříve budeme uvažovat případ $m = 1$ a chceme použít větu o konvergentní majorantě. Nechť tedy
$$ g(X) := e^\frac{-\varepsilon x}{2} + e^\frac{\varepsilon x}{2}, $$
$$ g(x) := e^\frac{-\varepsilon x}{2} + e^\frac{\varepsilon x}{2}, $$
potom platí $\exp{tx} \leq g(x)$ pro všechna $t \in [-\varepsilon/2, \varepsilon/2]$ a libovolné $x \in \R$. Dále z předpokladu máme, že
$$ \int_\R g(x) dP_X(x) = \psi_X(-\varepsilon/2) + \psi_X(\varepsilon/2) < +\infty. $$
Dostáváme, že $g$ je hledaná konvergentní majoranta. Z věty o konvergentní majoranty tedy můžeme provést záměnu integrálu a derivace.
$$ \odv*{\psi(t)}{t} = \odv{}{t} \int_\R e^{tx} dP_X(x) = \int_\R xe^{tx} dP_X(x) \overset{t = 0}{=} \int_\R xdP_X(x) = \E X^1.$$
Zbytek se dokáže indukcí s použitím stejné majoranty, v $m$-tém kroku dostaneme $\int_\R x^mdP_X(x) =: \E X^m$.
Zbytek se dokáže indukcí s použitím podobné majoranty, v $m$-tém kroku dostaneme $\int_\R x^mdP_X(x) =: \E X^m$.
Druhou vlastnost dokážeme přímým rozepsáním definice
$$ \psi_Y(t) = \psi_{aX + b}(t) = \E[\exp(taX + tb)] = \E[\exp\{atX\}e^{tb}] = $$