prednaska 3.3.2025 + stylisticke upravy

nahodne-jevy.tex

@@ -46,7 +46,7 @@ Každé události $A \in \mathcal{A}$ přiřadíme číslo $\mathbb{P}(A)$, kter
 
 Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pravděpodobnosti, se kterými dále budeme pracovat. Ve všech následujících tvrzeních pracujeme s pravděpodobnostním prostorem $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.
 
-\begin{observation}{\textbf{(Základní vlastnosti pravděpodobnostní míry)}}
+\begin{observation}[Základní vlastnosti pravděpodobnostní míry]
 	Pro výše jmenovaný pravděpodobnostní prostor platí následující tvrzení:
 	\begin{enumerate}
 		\item $P(\emptyset) = 0$,
@@ -65,7 +65,7 @@ Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pra
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{lemma}{\textbf{(Pravděpodobnost sjednocení)}}
+\begin{lemma}[Pravděpodobnost sjednocení]
 	Pro libovolné $A, B \in \mathcal{A}$ platí $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$.
 \end{lemma}
 
@@ -73,7 +73,7 @@ Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pra
 	Rozepíšeme $A \cup B = (A \cap B^C) \cup (A \cap B) \cup (A^C \cap B)$. Tyto tři množiny jsou zřejmě po dvou disjunktní. Dále díky aditivitě pravděpodobnosti máme $P(A \cup B) = P(A\cap B^C) + P(A \cap B) + P(A^C\cap B) + P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
 \end{proof}
 
-\begin{theorem}{\textbf{(Spojitost pravděpodobnosti)}}
+\begin{theorem}[Spojitost pravděpodobnosti]
 	Buď $A_n \uparrow A$ nebo $A_n \downarrow A$ pro $A_n, A \in \mathcal{A}$. Potom platí $P(A_n) \rightarrow P(A)$.
 \end{theorem}
 
@@ -90,7 +90,7 @@ Uvedeme si ještě jeden příklad ilustrující intuitivní chápání pravděp
 $$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}. $$
 V tomto případě mluvíme o \textit{rovnoměrném rozdělení pravděpodobnosti}.
 
-\begin{example}{\textit{(Hod dvěma kostkami)}}
+\begin{example}[Hod dvěma kostkami]
 	Výběrový prostor $\Omega = \{(i, j): i, j \in \{1\dots 6\}\}$ má $36$ prvků. Jestliže všechny výsledky jsou stejně pravděpodobné, pak platí $P(A) = \frac{|A|}{36}$. Například, pravděpodobnost toho, že součet na kostkách je přesně $11$, je $2/36$, protože pouze dva výsledky $(5, 6)$ a $(6, 5)$ odpovídají této události.
 \end{example}
 
@@ -119,7 +119,8 @@ Dalším silným nástrojem v teorii pravděpodobnosti je podmíněná pravděpo
 
 Poznamenejme si několik základních vlastností podmíněné pravděpodobnosti, jejichž důkaz snadno plyne z příslušných definic.
 
-\begin{observation}{\textbf{(Vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti)}}
+\begin{observation}[Vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti]
+	\hfill
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item Pro pevné $B \in \mathcal{A}, P(B) > 0$ je $P(\cdot|B)$ pravděpodobnostní míra.
 		\item Obecně platí $P(A|B) \neq P(B|A)$, platí totiž $P(A|B) = P(B|A) \frac{P(A)}{P(B)}$ (pokud obě strany rovnosti dávají smysl).
@@ -164,7 +165,7 @@ Vyšlo nám, že na první pohled zdánlivě precizní test ve skutečnosti má
 
 Na závěr uvedeme dvě velmi užitečné věty, které se často používají v nejrůznějších úlohách a týkají se podmíněné pravděpodobnosti. Zformulujeme je pro spočetné rozklady, ale obdobná tvrzení platí i pro konečné rozklady s velmi podobným důkazem.
 
-\begin{theorem}{\textbf{(Zákon úplné pravděpodobnosti)}}
+\begin{theorem}[Zákon úplné pravděpodobnosti]
 	\label{thm-complete-probability}
 	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Potom pro libovolnou událost $B \in \mathcal{A}$ platí:
 	$$P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i) P(A_i).$$
@@ -174,7 +175,7 @@ Na závěr uvedeme dvě velmi užitečné věty, které se často používají v
 	Definujme posloupnost množin $C_i = B \cap A_i$ pro $i\in \mathbb{N}$. Zjevně $\{C_i, i \in \mathbb{N}\}$ je disjunktní pokrytí $B$. Potom $P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(C_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i)P(A_i)$.
 \end{proof}
 
-\begin{theorem}{\textbf{(Bayes)}}
+\begin{theorem}[Bayes]
 	\label{thm-bayes}
 	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Mějme událost $B \in \mathcal{A}$ s nenulovou pravděpodobností. Potom platí:
 	$$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B|A_j)P(A_j)}.$$
@@ -197,7 +198,7 @@ Použití Bayesovy věty si ukážeme na následujícím příkladu.
 	Tedy pravděpodobnost, že tento e-mail je spam je přes $99\%$!
 \end{example}
 
-\begin{theorem}{\textbf{(O postupném podmiňování)}}
+\begin{theorem}[O postupném podmiňování]
 	Nechť $\{A_i\}_{i=1}^n$ jsou náhodné jevy takové, že $P(\bigcap_{i=1}^n) > 0$. Pak platí
 	$$ P(\bigcap_{i=1}^n A_i ) = P(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_1). $$
 \end{theorem}