prednaska 3.3.2025 + stylisticke upravy

nahodne-jevy.tex

@@ -46,7 +46,7 @@ Každé události $A \in \mathcal{A}$ přiřadíme číslo $\mathbb{P}(A)$, kter
 
 Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pravděpodobnosti, se kterými dále budeme pracovat. Ve všech následujících tvrzeních pracujeme s pravděpodobnostním prostorem $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.
 
-\begin{observation}{\textbf{(Základní vlastnosti pravděpodobnostní míry)}}
+\begin{observation}[Základní vlastnosti pravděpodobnostní míry]
 	Pro výše jmenovaný pravděpodobnostní prostor platí následující tvrzení:
 	\begin{enumerate}
 		\item $P(\emptyset) = 0$,
@@ -65,7 +65,7 @@ Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pra
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{lemma}{\textbf{(Pravděpodobnost sjednocení)}}
+\begin{lemma}[Pravděpodobnost sjednocení]
 	Pro libovolné $A, B \in \mathcal{A}$ platí $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$.
 \end{lemma}
 
@@ -73,7 +73,7 @@ Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pra
 	Rozepíšeme $A \cup B = (A \cap B^C) \cup (A \cap B) \cup (A^C \cap B)$. Tyto tři množiny jsou zřejmě po dvou disjunktní. Dále díky aditivitě pravděpodobnosti máme $P(A \cup B) = P(A\cap B^C) + P(A \cap B) + P(A^C\cap B) + P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
 \end{proof}
 
-\begin{theorem}{\textbf{(Spojitost pravděpodobnosti)}}
+\begin{theorem}[Spojitost pravděpodobnosti]
 	Buď $A_n \uparrow A$ nebo $A_n \downarrow A$ pro $A_n, A \in \mathcal{A}$. Potom platí $P(A_n) \rightarrow P(A)$.
 \end{theorem}
 
@@ -90,7 +90,7 @@ Uvedeme si ještě jeden příklad ilustrující intuitivní chápání pravděp
 $$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}. $$
 V tomto případě mluvíme o \textit{rovnoměrném rozdělení pravděpodobnosti}.
 
-\begin{example}{\textit{(Hod dvěma kostkami)}}
+\begin{example}[Hod dvěma kostkami]
 	Výběrový prostor $\Omega = \{(i, j): i, j \in \{1\dots 6\}\}$ má $36$ prvků. Jestliže všechny výsledky jsou stejně pravděpodobné, pak platí $P(A) = \frac{|A|}{36}$. Například, pravděpodobnost toho, že součet na kostkách je přesně $11$, je $2/36$, protože pouze dva výsledky $(5, 6)$ a $(6, 5)$ odpovídají této události.
 \end{example}
 
@@ -119,7 +119,8 @@ Dalším silným nástrojem v teorii pravděpodobnosti je podmíněná pravděpo
 
 Poznamenejme si několik základních vlastností podmíněné pravděpodobnosti, jejichž důkaz snadno plyne z příslušných definic.
 
-\begin{observation}{\textbf{(Vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti)}}
+\begin{observation}[Vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti]
+	\hfill
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item Pro pevné $B \in \mathcal{A}, P(B) > 0$ je $P(\cdot|B)$ pravděpodobnostní míra.
 		\item Obecně platí $P(A|B) \neq P(B|A)$, platí totiž $P(A|B) = P(B|A) \frac{P(A)}{P(B)}$ (pokud obě strany rovnosti dávají smysl).
@@ -164,7 +165,7 @@ Vyšlo nám, že na první pohled zdánlivě precizní test ve skutečnosti má
 
 Na závěr uvedeme dvě velmi užitečné věty, které se často používají v nejrůznějších úlohách a týkají se podmíněné pravděpodobnosti. Zformulujeme je pro spočetné rozklady, ale obdobná tvrzení platí i pro konečné rozklady s velmi podobným důkazem.
 
-\begin{theorem}{\textbf{(Zákon úplné pravděpodobnosti)}}
+\begin{theorem}[Zákon úplné pravděpodobnosti]
 	\label{thm-complete-probability}
 	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Potom pro libovolnou událost $B \in \mathcal{A}$ platí:
 	$$P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i) P(A_i).$$
@@ -174,7 +175,7 @@ Na závěr uvedeme dvě velmi užitečné věty, které se často používají v
 	Definujme posloupnost množin $C_i = B \cap A_i$ pro $i\in \mathbb{N}$. Zjevně $\{C_i, i \in \mathbb{N}\}$ je disjunktní pokrytí $B$. Potom $P(B) = \sum_{i=1}^\infty P(C_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B|A_i)P(A_i)$.
 \end{proof}
 
-\begin{theorem}{\textbf{(Bayes)}}
+\begin{theorem}[Bayes]
 	\label{thm-bayes}
 	Nechť $A_1, A_2, \dots$ je spočetný disjunktní rozklad $\Omega$ takový, že $P(A_i) > 0$ pro každé $i \in \mathbb{N}$. Mějme událost $B \in \mathcal{A}$ s nenulovou pravděpodobností. Potom platí:
 	$$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B|A_j)P(A_j)}.$$
@@ -197,7 +198,7 @@ Použití Bayesovy věty si ukážeme na následujícím příkladu.
 	Tedy pravděpodobnost, že tento e-mail je spam je přes $99\%$!
 \end{example}
 
-\begin{theorem}{\textbf{(O postupném podmiňování)}}
+\begin{theorem}[O postupném podmiňování]
 	Nechť $\{A_i\}_{i=1}^n$ jsou náhodné jevy takové, že $P(\bigcap_{i=1}^n) > 0$. Pak platí
 	$$ P(\bigcap_{i=1}^n A_i ) = P(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1}) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_1). $$
 \end{theorem}

nahodne-veliciny.tex

@@ -26,7 +26,7 @@ V předchozí kapitole jsme mluvili o pravděpodobnostním rozdělení, je na č
 
 Máme tedy jakýsi obraz míry $P$ v zobrazení $P_X$ čímž se $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ zobrazí na pravděpodobnostní prostor $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)$. V opačném směru můžeme použít takzvané kanonické vnoření do prostoru $(\mathbb{R}, \mathcal{B}, P_X)$, kde naší zvolenou měřitelnou funkcí bude identita, tedy není potřeba se bát, že by příslušný prostor nemusel existovat. Následující věta říká, že nezáleží ve kterém z těchto dvou prostorů integrujeme libovolnou funkci.
 
-\begin{theorem}{\textbf{(O přenosu integrace)}}
+\begin{theorem}[O přenosu integrace]
 	Buď $g$ měřitelná funkce na měřitelném prostoru $(\mathbb{M}, \mathcal{M})$ a $X: (\Omega, \mathcal{A}, P) \rightarrow (\mathbb{M}, \mathcal{M})$.
 	Nechť $P_X$ je míra na $\mathcal{M}$ indukovaná zobrazením $X$, tedy $P_X(M) = P[X^{-1}(M)]$ pro $M \in \mathcal{M}$. Potom, je-li aspoň jedna strana definována, platí
 	$$\int_\Omega g[X(\omega)] dP(\omega) = \int_\mathbb{M} g(x) dP_X(x).$$
@@ -84,7 +84,7 @@ Další funkcí, která plně charakterizuje rozdělení náhodné veličiny je
 
 Uvedeme si několik užitečných vlastností distribučních funkcí:
 
-\begin{corollary}{\textbf{(Základní vlastnosti distribučních funkcí)}}
+\begin{corollary}[Základní vlastnosti distribučních funkcí]\hfill
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení (jinými slovy, $F_X = F_Y$ implikuje $P_X = P_Y$).
 		\item Různé náhodné veličiny mohou mít stejné distribuční funkce, tedy stejné rozdělení.
@@ -117,7 +117,7 @@ Uvedeme si několik užitečných vlastností distribučních funkcí:
 
 Vidíme, že hustota odpovídá skokům distribuční funkce v daném bodě. V následující větě uvedeme charakterizaci distribučních funkcí.
 
-\begin{theorem}{\textbf{(Charakterizace distribučních funkcí)}}
+\begin{theorem}[Charakterizace distribučních funkcí]
 	Buď $X$ náhodná veličina a $F_X$ její distribuční funkce. Pak
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item $F_X$ je neklesající;
@@ -134,13 +134,13 @@ Vidíme, že hustota odpovídá skokům distribuční funkce v daném bodě. V n
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item $F_X(a)= P[X \leq a]$. Bez újmy na obecnosti nechť $b > a$. Potom $F_X(b) = P[X \leq b] = P([X \leq a] \cup [a < X \leq b]) = P[X \leq a] + P[a < X \leq b]$ z aditivity míry, druhý sčítanec je nezáporný, tedy dostáváme požadované tvrzení.
 		\item Platí $\lim_{a\rightarrow -\infty} = \lim_{n\rightarrow\infty} F_X(-n) = \lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in (-\infty, -n]] =: $\\$\lim_{n\rightarrow\infty} P[X \in A_n] = 0$. Poslední rovnost platí ze spojitosti míry (v prázdné množině), neboť platí $A_n \searrow \emptyset$. Obdobně se ukáže tvrzení pro $a \rightarrow + \infty$ (cvičení). 
-		\item Stačí uvažovat postoupnost $a_n = a + \frac{1}{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$. Požadované tvrzení opět plyne z věty o spojitosti míry.
+		\item Stačí uvažovat posloupnost $a_n = a + \frac{1}{n}$ pro $n \in \mathbb{N}$. Požadované tvrzení opět plyne z věty o spojitosti míry.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
 Pro každou funkci $F$ splňující vlastnosti z předchozí věty existuje míra $\mu_F$ na $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ určená vztahem $\mu_F((-\infty, a]) = F(a)$ pro všechna $a$. Tato míra je konečná a platí $\mu_F((a, b]) = F(b) - F(a)$.
 
-\begin{definition}{\textbf{(Rozklad pravděpodobnostního rozdělení)}}
+\begin{definition}[Rozklad pravděpodobnostního rozdělení]
 	Každou pravděpodobnostní míru $P_X$ můžeme rozdělit na tři složky $P_X = P_{X_{as}} + P_{X_{ds}} + P_{X_{sg}}$, kde $P_{X_{as}}$ je absolutně spojitá vůči Lebesgueově míře $\lambda$, $P_{X_{ds}}$ (diskrétní spojitá) je absolutně spojitá vůči čítací míře $\mu$ na nějaké spočetné podmnožině $\mathbb{R}$ a nakonec $P_{X_{sg}}$ (singulární) není absolutně spojitá vůči $\lambda$ ani ji nelze napsat jako spočetnou kombinaci Diracových měr $\delta_x$. 
 \end{definition}
 
@@ -170,7 +170,7 @@ Ne každá veličina, se kterou se běžně setkáme je ryze spojitá nebo ryze
 		\item $P[a < X \leq b] = P[X \in (a, b]) = F_X(b) - F_X(a)$,
 		\item $P[X > a] = 1 - F_X(a)$,
 		\item $P[X = a] = F_X(a) - F_X(a^-)$, kde $F_X(a^-)$ je limita zleva $\lim_{h\rightarrow 0^+} F_X(a - h)$ a odtud $P[a \leq X \leq b] = F_X(b) - F_X(a^-)$.
-		\item pro spojitou náhodnou veličinu platí $P[a\leq X \leq b] = P[a \leq X < b] = F_X(b) - F_X(a)$.
+		\item pro spojitou náhodnou veličinu platí $P[a\leq X \leq b] = P[a \leq X < b] = P[a < X \leq b] = P[a < X < b] = F_X(b) - F_X(a)$.
 	\end{enumerate}
 \end{lemma}
 
@@ -182,3 +182,109 @@ Ne každá veličina, se kterou se běžně setkáme je ryze spojitá nebo ryze
 
 \hfill \textit{konec 4. přednášky (25.2.2025)}
 
+Dalším užitečným pojmem je funkce inverzní k distribuční funkci, které běžně říkáme kvantil.
+
+\begin{definition}
+	Nechť $X$ je náhodná veličina s distribuční funkcí $F$. \textit{Inverzní distribuční funkce} neboli \textit{kvantilová funkce} je definována jako
+	$$ F^{-1} (q) = \inf \left\{ x: F(x) > q \right\}$$
+	pro $q \in (0, 1)$.
+	Hodnoty $ F^{-1}$ ve speciálních bodech mají své vlastní názvy:
+	\begin{itemize}
+		\item $F^{-1}(\frac{1}{4})$ je \textit{první kvartil},
+		\item $F^{-1}(\frac{1}{2})$ je \textit{medián},
+		\item $F^{-1}(\frac{3}{4})$ je \textit{třetí kvartil}.
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+Je-li $F$ ryze rostoucí a spojitá, je $F^{-1}(q)$ to jediné $x \in \mathbb{R}$ takové, že $F(x) = q$, jinými slovy, $F$ je bijekce z $\mathbb{R}$ do $(0, 1)$. Takto definovaná kvantilová funkce je neklesající a zprava spojitá. Dále z $F^{-1}$ můžeme jednoznačně určit $F$, tedy také charakterizuje rozdělení $P_X$. Nakonec, o dvou náhodný veličinách $X$ a $Y$ říkáme, že jsou stejně rozdělené, zapisujeme $X \overset{d}{=} Y$, právě tehdy, když $F_X(x) = F_Y(x)$ pro všechna $x$. To však neznamená, že $X = Y$.
+
+Ukážeme si několik užitečných příkladů rozdělení (diskrétních a později i spojitých). Tato rozdělení se používají v praxi při modelování jednoduchých systémů, ale u komplikovanějších modelů se s těmito rozděleními bohužel nevystačíme.
+
+\subsection{Diskrétní náhodné veličiny}
+
+\begin{example}[Bodové rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{bodové rozdělení} v bodě $a$ právě tehdy, když $P[X = x] = \chi_{\{x = a\}}, x \in \mathbb{R}$. Zapisujeme $X \sim \delta_a$. Potom platí $F_X(x) = \chi_{\{x \geq a\}}$.
+\end{example}
+
+\begin{example}[Diskrétní rovnoměrné rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{diskrétní rovnoměrné rozdělení} na $\{1,\dots,k\}$ právě tehdy, když
+	$$f_X(x) = \begin{cases}1/k, x = 1,\dots,k;\\0,\text{jinak.}\end{cases}$$
+\end{example}
+
+\begin{example}[Bernoulliho rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{Bernoulliho rozdělení} s parametrem $p \in (0, 1)$ právě tehdy, když $f_X(x) = p^x(1 - p)^{1 - x}$ pro $x \in {0, 1}$. Zapisujeme $X \sim Alt(p)$ nebo $X \sim Be(p)$. Tímto rozdělením modelujeme jevy, u kterých jsou pouze dva možné výsledky (úspěch/neúspěch, hod mincí).
+\end{example}
+
+\begin{example}[Binomické rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{binomické rozdělení} s parametry $n \in \mathbb{N}$ a $p \in (0, 1)$ právě tehdy, když
+	$$f_X(x) = \binom{n}{x}p^x(1- p)^{n - x} \chi_{\{x \in \{0,\dots,n\}\}}.$$
+	Zapisujeme $X \sim Bi(n, p)$. Používáme toto v případě sčítaně nezávislých\footnote{Přesná definice nezávislých veličin bude uvedena později.} veličin s Bernoulliho rozdělením (počet úspěchů mezi $n$ pokusy).
+\end{example}
+
+\begin{example}[Geometrické rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{geometrické rozdělení} s parametrem $p \in (0, 1)$ (zapisujeme $X \sim Geo(p)$) právě tehdy, když
+	$$ f_X(x) = p(1 - p)^x $$
+	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Taková náhodná veličina vyjadřuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů.
+\end{example}
+
+\begin{example}[Negativně binomické rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{negativně binomické rozdělení} s parametry $n \in \mathbb{N}$ a $p \in (0, 1)$ (píšeme $X \sim NB(n, p)$), jestliže platí
+	$$ f_X(x) = \binom{n + x - 1}{n - 1} p^n(1 - p)^x $$
+	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Rozdělení vyjadřuje počet neúspěchů před $n$-tým úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů. Specifický případ $NB(1, p) = Geo(p)$.
+\end{example}
+
+\begin{example}[Poissonovo rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{Poissonovo rozdělení} s parametrem $\lambda > 0$ (zapisujeme $X \sim Po(\lambda)$) právě tehdy, když
+	$$f_X(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}$$
+	pro $x \in \mathbb{N}_0$. Jestliže $X \sim Po(\lambda_X)$ a $Y \sim Po(\lambda_Y)$ jsou nezávislé, potom $X + Y \sim Po(\lambda_X + \lambda_Y)$. Jestliže $n \rightarrow \infty$ a $np \rightarrow \lambda < \infty$, potom $Bi(n, p)$ konverguje k $Po(\lambda)$.
+\end{example}
+
+\subsection{Absolutně spojité náhodné veličiny}
+
+\begin{example}[Spojité rovnoměrné rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{rovnoměrné rozdělení} na intervalu $[a, b]$ právě tehdy, když $f_X(x) = (b - a)^{-1} \chi_{\{x \in [a, b]\}}$. Zapisujeme $X \sim U(a, b)$ (uniform) nebo $X \sim R(a, b)$ (rovnoměrné).
+\end{example}
+
+\begin{example}[Normální rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{normální (Gaussovo) rozdělení} s parametry $\mu \in \mathbb{R}$ a $\sigma^2 > 0$ (zapisujeme $X \sim N(\mu, \sigma^2)$) právě tehdy, když
+	$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left\{ - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$$
+	pro $x \in \mathbb{R}$.
+\end{example}
+
+Toto rozdělení je enormně důležité, uvedeme si proto několik jeho vlastností. Nejprve, máme-li $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, potom $Z := (X - \mu)/\sigma \sim N(0, 1)$. Tomuto rozdělení říkáme \textit{standardní normální rozdělení}. Dále, máme-li dvě nezávislé normálně rozdělené veličiny $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2), Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$, potom $X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2)$.
+
+Distribuční funkce $N(0, 1)$ nejde vyjádřit analyticky, máme jen $\Phi(x) := \int_{-\infty}^x \phi(t) dt$, kde $\phi(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp{-x^2/2}$ je hustota standardního normálního rozdělení. Její hodnoty proto vyhledáváme v tabulkách, případně počítáme numericky.
+
+\begin{example}
+	Předpokládejme, ze $X \sim N(3, 5)$. Spočteme $P[X \geq 1]$. Dále spočtěte $q = F_X^{-1}(0.2)$.
+\end{example}
+
+\begin{proof}
+	Počítáme přímo
+	$$P[X \geq 1] = 1 - P[X \leq 1] = 1 - P[Z \leq \frac{1 - 3}{\sqrt{5}}] \approx 1 - \Phi(-0.8944) = 0.81.$$
+
+	Dále z tabulek víme, že $\Phi(-0.8416) = 0.2$, potom
+	$$ 0.2 = P[X \leq q] = P[Z \leq \frac{q - \mu}{\sigma}] = \Phi[\frac{q - \mu}{\sigma}],$$
+	proto $-0.8416 = \frac{q - \mu}{\sigma} = \frac{q - 3}{\sqrt{5}}$ a tedy $q = 3 - 0.8416 \sqrt{5} \approx 1.1181$.
+\end{proof}
+
+\begin{example}[Exponenciální rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{exponenciální rozdělení} s parametrem $\lambda > 0$ (zapisujeme $X \sim Exp(\lambda)$) právě tehdy, když $$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \chi_{\{x > 0\}}.$$
+\end{example}
+
+\begin{example}[Gamma rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{Gamma rozdělení} s parametry $a, p > 0$ právě tehdy, když
+	$$ f_X(x) = \frac{a^p}{\Gamma(p)} x^{p - 1} e^{-ax} \chi_{\{x > 0\}},$$
+	kde $\Gamma(p) = \int_0^\infty t^{p - 1} e^{-t} dt$ je gamma funkce (spojité rozšíření faktoriálu). Zapisujeme $X \sim Gamma(a, p)$ nebo $X \sim \Gamma(a, p)$. Exponenciální rozdělení $Exp(a)$ je speciálním případem Gamma rozdělení s parametrem $p = 1$.
+
+	Opět máme součtový vzorec pro nezávislé veličiny $X \sim \Gamma(a, p_X), Y \sim \Gamma(a, p_Y)$, platí totiž $X + Y \sim \Gamma(a, p_X + p_Y)$.
+\end{example}
+
+\begin{example}[Beta rozdělení]
+	Náhodná veličina $X$ má \textit{Beta rozdělení} s parametry $\alpha, \beta > 0$ právě tehdy, když
+	$$ f_X(x) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1} \chi_{\{x \in (0, 1)\}}. $$
+	Zapisujeme $X \sim Beta(\alpha, \beta)$ nebo $X \sim B(\alpha, \beta)$. Všimněme si, že na rozdíl od předchozích rozdělení jde o rozdělení na kompaktu.
+\end{example}
+
+\hfill \textit{konec 5. přednášky (3.3.2025)}
+