\appendix
\section{Ukázková zápočtová písemka -- Varianta A}

\begin{example}
	V šesti urnách máme v každé 10 míčků. V jedné urně je osm černých, ve dvou urnách je po pěti černých a ve třech urnách je po $k$ černých. Zbylé míčky jsou bílé.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Nechť $k = 3$. Z náhodně vybrané urny jsem s vracením vytáhli dva míčky, oba bílé. S jakou pravděpodobností bylo v urně pět černých míčků? \\
			\textit{Chceme spočítat, s jakou pravděpodobností náhodně vybraná urna je ta s pěti černými míčky. Takové urny jsou dvě, proto hledaná pravděpodobnost je $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.}
		\item Kolik musí být $k$, aby pravděpodobnost vytažení černého míčku z náhodně vybrané urny byla $\frac{1}{2}$. \\
			\textit{Využijeme větu o úplné pravděpodobnosti (Věta \ref{thm-complete-probability}). Nechť $B, W$ jsou jevy, že jsme vytáhli černý/bílý míček a $A_i$ reprezentuje jev, že byla vybrána $i$-tá urna. Platí
			$$ \frac{1}{2} = P[B] = \sum_{i = 1}^n P[B | A_i] P[A_i] = \underbrace{P[B | A_1]A_1}_{\frac{8}{10}\cdot\frac{1}{6} = \frac{2}{15}} + \underbrace{2 \cdot P[B | A_2]A_2}_{2\cdot\frac{5}{10}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{6}} + $$
			$$ \underbrace{3 \cdot P[B | A_2] P[A_2]}_{3\cdot \frac{k}{10}\frac{1}{6} = \frac{k}{20}} = \frac{2}{15} + \frac{1}{6} + \frac{k}{20} = \frac{6 + k}{20}. $$
			Vyřešením této lineární rovnice dostáváme, že $k =4$.}
		\item Nechť $k = 2$. Náhodně vybereme jednu urnu, kterou vynecháme, ze zbylých náhodně vytáhneme po jednom míčku. Jaká je pravděpodobnost, že všechny vytažené míčky jsou bílé? \\
			\textit{Nechť $V_i$ je událost, že byla vyřazena $i$-tá urna. Potom nechť $W_i$ je událost, že byl vytažen bílý míček z $i$-té urny. Jevy $W_i$ jsou navzájem nezávislé a zároveň jsou nezávislé jevy $W_j$ a $V_i$ pro $i \neq j$. Označme hledanou pravděpodobnost $P$, můžeme psát
			$$ P = \sum_{i = 1}^6 P(V_i) \left(\prod_{j \neq i} P(W_j)\right) = \underbrace{\frac{1}{6} \left(\left(\frac{5}{10}\right)^2\cdot\left(\frac{8}{10}\right)^3\right)}_{\frac{8}{375}} + $$
			$$ \underbrace{\frac{2}{6}\left(\frac{2}{10}\cdot\frac{5}{10}\cdot\left(\frac{8}{10}\right)^3\right)}_{\frac{32}{1875}} +
			\underbrace{\frac{3}{6}\left(\frac{2}{10}\cdot\left(\frac{5}{10}\right)^2\cdot\left(\frac{8}{10}\right)^2\right)}_{\frac{2}{125}} = \frac{34}{625}. $$}
	\end{enumerate}
\end{example}

\begin{example}
	Náhodná veličina $Y$ má spojité rozdělení s hustotou
	$$f_Y(y) = \begin{cases}3e^{-3y}, y \geq 0; \\ 0, \text{jinak.}\end{cases}$$
	Definujeme $U := \ceil*{Y}$ a $V := \ceil*{Y} - Y$ (tedy horní celou a frakcionální část $Y$).
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Určete rozdělení náhodné veličiny $U$. \\
			\textit{Zřejmě půjde o diskrétní rozdělení, kde pro $u \geq 1$ budeme mít
			$$ P[U = u] = P[u - 1 < Y < u] =\int_{u - 1}^u 3e^{-3y} dy = e^{-3u}(e^3 - 1). $$
			}
		\item Určete rozdělení náhodné veličiny $V$. \\
			\textit{Tentokrát půjde o spojité rozdělení, spočteme jeho distribuční funkci. Pro $v \in (0, 1)$ máme
			$$ F_V(v) = P[V < v] = \sum_{t=1}^\infty \int_{t-v}^{t} 3e^{-3y} dy = \sum_{t = 1}^\infty e^{-3t}(e^{3v} - 1) = \frac{e^{3v} - 1}{e^3 - 1}. $$
			Pro $v \leq 0$ je $F_V$ nulová, pro $v \geq 1$ máme $F_V(v) = 1$.}
		\item Spočtěte $\E(Ye^{-Y} - 1)$. \\
			\textit{Využijeme pravidlo líného statistika (Věta \ref{thm-lazy-statistician}) s transformací $t(y) = ye^{-y}$, dostaneme
			$$ \E(Ye^{-Y}) = \int_0^\infty (ye^{-y}\cdot 3e^{-3y}) = \int_0^\infty 3ye^{-4y} = \frac{3}{16}. $$
			S využitím linearity střední hodnoty dostaneme $\E(Ye^{-Y} - 1) = \E(Ye^{-Y}) - 1 = -\frac{13}{16}$.}
	\end{enumerate}
\end{example}

\begin{example}
	Náhodný vektor $(X, Y)^T$ má spojité rozdělení s hustotou
	$$ f(x, y) = \begin{cases} ay, -1 < x < -1, 0 < y \leq x^2;\\0,\text{jinak},\end{cases}$$
	kde $a \in \R$ je vhodná konstanta.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Určete $a \in \R$. \\
			\textit{Platí, že integrál hustoty přes celý prostor je roven $1$. Můžeme tedy psát
			$$1 = \int_{-1}^1 \int_0^{x^2} ay dy dx = \frac{a}{5}. $$
			Tedy $a = 5$.}
		\item Určete marginální rozdělení a střední hodnotu náhodné veličiny $X$. \\
			\textit{Platí pro $|x| < 1$ (jinde je hustota nulová) 
			$$ f_X(x) = \int_\R f(x, y) dy = \int_0^{x^2} 5y dy = \frac{5x^4}{2}, $$
			dále spočteme
			$$ \E[X] = \int_{-1}^{1} xf_X(x) dx = \int_{-1}^1 \frac{5x^5}{2} = 0. $$}
		\item Určete $P(0 < X < \sqrt{2Y})$.\\
			\textit{Nalezneme průsečík grafů funkcí $y = x^2$ a $x = \sqrt{2y}$. Máme $y = x^2 = \frac{1}{2}x^2$, tedy grafy těchto funkcí se protnou pouze počátku a jinde je hodnota druhé funkce ostře menší než hodnota první. Požadovaná podmínka je splněna pro hodnoty $(x, y) \in \R^2$, které se nachází mezi těmito dvěma parabolami. Můžeme tedy integrovat
			$$ P(0 < X < \sqrt{2Y}) = \int_0^1 \int_{\frac{1}{2}x^2}^{x^2} 5y dy dx = \frac{3}{8}.$$}
		\item Spočtěte kovarianci veličin $X$ a $Z$, kde $Z = XY$.
			\textit{Dle známého vzorce máme $\Cov(X, XY) = \E(X\cdot XY) - \E X\E XY = \E[X^2Y] -\E X \E XY$. Opět s využitím pravidla líného statistika můžeme integrovat
			$$ \Cov(X, XY) = \int_{-1}^1 \int_{0}^{x^2} x^2y\cdot 5y dy dx - 0 = \frac{10}{27}.$$}
		\item Rozhodněte, zda jsou veličiny $X$ a $Y$ nezávislé a své rozhodnutí zdůvodněte.
			\textit{Náhodné veličiny $X$ a $Y$ nejsou nezávislé, neboť
			$$ 0 = P[0 < x < \frac{1}{2}, y > \frac{1}{4}] \neq P[0 < x < \frac{1}{2}] P[y > \frac{1}{4}], $$
			neboť zjevně ani jeden z těchto činitelů není nulový.}
	\end{enumerate}
\end{example}
