\section{Střední hodnota}

V této kapitole se budeme věnovat pojmu střední hodnoty, laicky řečeno, kolem jaké hodnoty se nachází naše rozdělení. Nejedná se ani o průměr ani o prostřední, případně nejčastější hodnotu, tyto pojmy zadefinujeme později a ve statistice mají svůj vlastní význam odlišný od střední hodnoty.

\begin{definition}
	\textit{Střední hodnota} náhodné veličiny $X$ je reálné číslo
	$$ \E [X] = \E X = \int XdP \equiv \int X(\omega) dP(\omega), $$
	pokud pravá strana existuje.
\end{definition}

Tato definice je velmi teoretická, k praktickému výpočtu se hodí následující věta, kde převedeme integrál na výpočet pomocí obrazu pravděpodobnostní míry.

\begin{theorem}
	\label{thm-expected-value}
	Střední hodnota náhodné veličiny $X$ je $\E X = \int x dP_X(x)$, pokud pravá strana existuje.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Z věty o přenosu integrace (\ref{thm-pushforward-measure}) při volbě $g = Id$ a $(\mathbb{M}, \mathcal{M}) = (\R , \mathcal{B})$ dostáváme požadované tvrzení.
\end{proof}

Z Radon-Nikodymovy věty ihned plyne následující pozorování

\begin{observation}
Střední hodnota veličiny $X$ je
	$$ \E X = \begin{cases}\int_{-\infty}^\infty xf_X(x) dx, X \text{ spojitá};\\
	\sum_{x \in S(X)} xP[X = x], X \text{ diskrétní}. \end{cases} $$
\end{observation}

Střední hodnota nemusí existovat vždy, jeden z takových případů uvedeme v následujícím příkladu.

\begin{example}
	Pokud $X \sim Cauchy$ (Definice \ref{def-cauchy}), pak $\E X$ neexistuje. Pomocí integrování per partes můžeme počítat
	$$ \int_0^\infty \frac{x}{\pi(1 + x^2)} dx = [x \arctan(x)]_0^\infty - \int_0^\infty \arctan(x) dx = \infty. $$
	Dostali jsme, že pro integrál přes celou reálnou přímku není definován výraz $\infty - \infty$.
\end{example}

Uvažujme teď transformaci $Y = t(X)$. Následující věta nám umožní počítat střední hodnotu transformované náhodné veličiny.

\begin{theorem}[Pravidlo líného statitika]
	\label{thm-lazy-statistician}
	Buď $t: \R  \rightarrow \R $ měřitelná funkce a nechť $Y = t(X)$, kde $X$ je nějaká náhodná veličina. Pak
	$$ \E  Y = \int t(x) dP_X(x), $$
	pokud pravá strana existuje.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Z Věty \ref{thm-pushforward-measure} dostáváme
	$$ \E  Y = \E  [ t(X) ] = \int_\R  t(X(\omega)) dP(\omega) = \int_\R  t(x) dP_X(x). $$
\end{proof}

Poznamenejme si explicitní vzorce pro transformaci spojitých a diskrétní náhodných veličin, které jsou přímým důsledkem předchozí věty:

\begin{corollary}
	Mějme náhodné veličiny $X$ a $Y$ takové, že platí $Y = t(X)$ pro nějakou transformaci $t: \R  \rightarrow \R $. Má-li $X$ diskrétní rozdělení, potom
	$$ \E Y = \sum_{x \in S(x)} t(x) P[X = x]. $$
	Je-li $X$ spojitá, potom platí
	$$ \E Y = \int_{\R } t(x) f_X(x) dx. $$
\end{corollary}

Přímé využití pravidla líného statistika si uvedeme v definici a aplikacích následujícího pojmu, který jistým způsobem umožňuje charakterizovat chování rozdělení.

\begin{definition}
	Pro reálné číslo $k$ definujeme $k$-tý \textit{moment} náhodné veličiny $X$ jako $\E [X^k]$ za předpokladu, že $\E [|X|^k] < \infty$. Dále definujeme $k$-tý \textit{absolutní moment} jako $\E [|X|^k]$, pokud existuje.
\end{definition}

V praxi se nejčastěji setkáme s momenty jen pro $k$ přirozené, pokud nebude řečeno jinak, všechny momenty budou mít přirozený parametr.

\begin{theorem}
	Pokud existuje $k$-tý moment, pak existuje $l$-tý moment pro jakékoli $l \in \{1, \dots, k\}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
	Potřebujeme ukázat, že $E[|X|^l] < \infty$. Můžeme počítat
	$$ \E [|X|^l] = \int_\R  |x|^l dP_X(x) = \int_{|x| \leq 1} |x|^l dP_X(x) + \int_{|x| > 1} |x|^l dP_X(x) \leq $$
	$$ \int_{|x| \leq 1} dP_X(x) + \int_{|x| > 1} |x|^k dP_X(x) \leq \int_\R  dP_X(x) + \int_\R  |x|^k dP_X(x).$$
	Dostáváme $1 + \E [|X|^k] < \infty$, čímž je důkaz ukončen.
\end{proof}

Některá zobrazení mají jen několik prvních momentů a žádné vyšší momenty neexistují, jako například Studentovo $t$-rozdělení (Definice \ref{def-student}) s $\nu = 3$ stupni volnosti.

\begin{example}
	Pro $X \sim t_3$ platí $\E X = 0$, $\E X^2 = 2$ ale $\E |X|^3 = \infty$. (cvičení, použijte per partes)
\end{example}

Definujeme dále $\mathcal{L}^p$ prostory náhodných veličin, které jsou podobné $L^p$ prostorům z teorie míry a funkcionální analýzy.

\begin{definition}
	Pro reálné číslo $p$ (v praxi se vystačíme pouze s případem $p \geq 1$) definujeme prostor $\mathcal{L}^p$ tak, že náhodná veličina $X \in \mathcal{L}^p$, jestliže $\E [|X|^p] < \infty$.
\end{definition}

Ukážeme si pár základních vlastností prostoru $\mathcal{L}^1$, které se mohou hodit při praktických aplikacích.

\begin{theorem}[Základní vlastnosti prostoru $\mathcal{L}^1$]
	Nechť jsou dány $X_1, \dots, X_d \in \mathcal{L}^1$ a $a_1, \dots, a_d$ jsou konstanty, pak platí linearita ve smyslu
	$$ \E  \left(\sum_{l = 1}^d a_l X_l \right) = \sum_{l = 1}^d a_l \E X_l. $$

	Dále mějme $X_1, \dots, X_d \in \mathcal{L}^1$ nezávislé náhodné veličiny, potom platí
	$$ \E  \left(\prod_{l = 1}^d X_l\right) = \prod_{l = 1}^d \E X_l.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
	Linearita plyne z věty o přenosu integrace (Věta \ref{thm-pushforward-measure}) a linearity Lebesgueova integrálu.
	
	Dokážeme druhou vlastnost. Nejprve ukážeme, že hledaná střední hodnota je dobře definovaná. Uvažujme posloupnost funkcí $\{g_n: \R ^d \rightarrow \R \}$ definovaných jako $g_n(\vec{x}) = \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}}$. Pak pro každé $n \in \N $ je $g_n(\vec{X})$ omezená a existuje její první moment $\E  [g_n(\vec{X})] \in \R $. Díky nezávislosti můžeme psát
	$$ \E  [g_n(\vec{X})] = \int_{\R ^d} \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}} d(\otimes_{l = 1}^d P_{X_l}), $$
	odkud z Fubiniovy věty a následně linearity integrálu plyne
	$$ = \int_\R  \cdots \int_\R  \prod_{l = 1}^d |x_l| \chi_{\{|x_l| \leq n\}} dP_{X_1} \cdots dP_{X_d} = \prod_{l = 1}^d \E [|X_l| \chi_{\{|X_l| \leq n\}}] \leq \prod_{l = 1}^d \E [|X_l|]. $$

	Platí, že funkce $g_n(\vec{x})$ jsou nezáporné a $g_n(\vec{x}) \uparrow \prod_{l = 1}^d |x_l|$ na celém $\R ^d$. Tudíž z Leviho věty plyne, že $\E [g_n(X)] \uparrow \E [\prod_{l=1}^d |X_l|]$. Potom ale nutně $\E \left|\prod_{l=1}^d X_l \right| \leq \prod_{l = 1}^d \E |X_l| < \infty$, tedy příslušný první moment existuje.

	Dále můžeme počítat
	$$ \E \left[\prod_{d=1}^l X_l \right] = \int_{\R ^d} \prod_{l=1}^d x_l dP_{\vec{X}} = \int_{\R } \prod_{l=1}^d x_l d(\otimes_{l=1}^d P_{X_l}) = $$
	$$ \int_{\R }\cdots\int_{\R } \prod_{l=1}^d x_l dP_{X_1} \cdots dP_{X_d} = \prod_{l=1}^d \int_\R  x_l dP_{X_l} = \prod_{l=1}^d \E X_l, $$
	kde druhá rovnost plyne z nezávislosti náhodných veličin $X_1,\dots,X_d$, třetí z Fubiniovy věty a předposlední z linearity integrálu.
\end{proof}

\hfill \textit{konec 8. přednášky (11.3.2025)}

Teď definujeme další neplnohodnotnou (jinými slovy, neurčuje danou náhodnou veličinu, případně její rozdělení jednoznačně) charakteristiku. (Poznámka: příkladem plnohodnotné charakteristiky je distribuční funkce rozdělení)

\begin{definition}
	\textit{Rozptyl} náhodné veličiny $X$ je definován jako
	$$ \Var X = \E  (X - \E  X) ^ 2, $$
	za předpokladu, že pravá strana je dobře definovaná. Pak \textit{směrodatná odchylka} tytéž náhodné veličiny je definovaná je
	$$ \sd(X) = \sqrt{\Var X}. $$
\end{definition}

Uvědomme si, že některé volby charakterizování variability rozdělení nejsou vhodné, například na první pohled logické ``$\E (X - \E X)$" je nulová všude, kde je definovaná.

\begin{theorem}[Vlastnosti rozptylu]
	\label{thm-properties-disp}
	Za předpokladu, že uvažované druhé momenty jsou konečné, potom
	$$ \Var X = \E (X^2) - (\E (X))^2 \geq 0. $$
	Pokud $a, b \in \R $, pak
	$$ \Var (aX + b) = a^2 \Var X, $$
	jinými slovy, rozptyl se chová jako kvadratická forma.
	Pokud $X_1, \dots, X_2$ jsou nezávislé a $a_1, \dots, a_d$ jsou reálné konstanty, pak
	$$ \Var \left(\sum_{l=1}^d a_l X_l\right) = \sum_{l=1}^d a_l^2 \Var X_l. $$
\end{theorem}

\begin{proof}
	Dokážeme první vlastnost. Máme
	$$ \Var X = \E [(X - \E X)^2] = \E [X^2-2X(\E X) + (\E X)^2] = \E X^2 - 2(\E X)^2 + (\E X)^2, $$
	kde předposlední rovnost plyne z linearity střední hodnoty a faktu, že $E[c] = c$ pro konstantu $c$. Nezápornost plyne z toho, že počítáme střední hodnotu nezáporné náhodné veličiny.

	Dále pro druhou vlastnost pišme
	$$ \Var (aX + b) = \E \left[(aX + b - \E (aX + b))^2\right] = \E [a^2\left(X - \E X\right)^2], $$
	kde druhá rovnost plyne z linearity střední hodnoty a rovnosti $ b = \E b$, dále můžeme psát
	$$ \E [a^2\left(X - \E X\right)^2] = a^2 \E (X - \E X)^2 = a^2 \Var X. $$

	K důkazu poslední vlastnosti začneme opět rozepsáním definice
	$$ \Var \left(\sum_{l = 1}^d a_l X_l \right) = \E \left[ \sum_{l = 1}^d a_l X_l - \E \left( \sum_{l=1}^d a_l X_l \right)^2 \right] = \E \left[ \sum_{l = 1}^d a_l(X_l - EX_l)\right]^2 = $$
	$$ \E \left[ \sum_{l = 1}^d a_l^2(X_l - \E X_l)^2 + 2\sum_{1 \leq j < l \leq d} a_j a_l (X_j - \E X_j) (X_l - \E X_l) \right] = $$
	$$ \sum_{l = 1}^d a_l^2 \E(X_l - \E X_l)^2 + 2 \sum_{1 \leq j < l \leq d} a_j a_l \E (X - \E X_j) (X_l - \E X_l) = \sum_{l = 1}^d a_l^2 \Var X_l, $$
	kde poslední rovnost plyne z toho, že v případě $j \neq l$ máme díky nezávislosti
	$$ \E (X_j - \E X_j) (X_l - \E X_l) = E[X_j X_l] - \E [X_l] \E [X_j] = 0. $$
\end{proof}

Dalším pojmem, kterému se budeme věnovat, je kovariance a korelace, které charakterizují lineární vztah mezi dvěma náhodnými veličinami.

\begin{definition}
	\textit{Kovariance} mezi $X$ a $Y$ je definována jako
	$$ \Cov(X, Y) = \textit{E}((X - \E X)(Y - \E Y)). $$
	Pokud $\Var(X)\Var(Y) > 0$, pak definujeme \textit{korelaci} mezi $X$ a $Y$ vztahem
	$$ \rho_{X, Y} \equiv \Corr(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sqrt{\Var(X)\Var(Y)}}. $$
\end{definition}

Je třeba si dávat pozor, že tyto pojmy necharakterizují libovolnou souvislost mezi náhodnými veličinami, ale pouze lineární. Navíc, korelace nemusí způsobovat kauzalitu (spotřeba čokolády v dané zemi sice koreluje s počtem Nobelových laureátů, ale nemůžeme zvýšit počet laureátů tím, že zvýšíme spotřebu čokolády).

Dále si všimneme, že z pravidla líného statistika (Věta \ref{thm-lazy-statistician}) okamžitě plynou následující vztahy.

\begin{corollary}
	Pro $X, Y$ spojité platí $\E XY = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty xyf_{(X, Y)} (x, y) dx dy$.

	Pro $X, Y$ diskrétní platí $\E XY = \sum_{x \in S(X), y \in S(y)} xyP[X = x, Y = y]$.
\end{corollary}

Dále si zformulujeme několik vlastností kovariance a korelace.

\begin{theorem}
	Pro náhodné veličiny $X$ a $Y$ platí následující tvrzení (jsou-li příslušné matematické objekty dobře definovány).
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\Cov(X, Y) = \E (XY) - \E X \E Y$;
		\item $-1 \leq \Corr(X, Y) \leq 1$;
		\item $|\Corr(X, Y)| = 1 \Leftrightarrow Y = aX + b$ s pravděpodobnosti $1$ pro nějaké hodnoty $a, b \in \R$.
		\item Pro nezávislé $X$ a $Y$ platí $\Cov(X, Y) = 0$. Pozor: opačná implikace nemusí platit (stačí vzít $X \sim U(-1, 1), Y = X^2$).
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	Budeme postupovat postupně, k důkazu první vlastnosti použijeme následující výpočet:
	$$ \Cov(X, Y) = \E [(X - \E X) (Y - \E Y)] = \E (XY) - \E X \E Y, $$
	kde druhá rovnost se získá roznásobením závorek analogicky s důkazem předchozí věty. Z tohoto okamžitě plyne vlastnost (iv), neboť nezávislost $X$ a $Y$ implikuje, že $\E (XY) = \E X \E Y$.

	K důkazu vlastnosti (ii) použijeme Cauchyovu-Schwarzovu nerovnost. Definujeme funkci $g(a) := \E (aX - Y)^2$, potom
	$$ 0 \leq \E (aX - Y)^2 = \E (a^2X^2 - 2aXY + Y^2) = a^2\E X^2 - 2a\E XY + \E Y. $$
	Funkci $g(a)$ můžeme zderivovat, dostáváme
	$$ g'(a) = 2a\E X^2 - 2\E XY, $$
	svého minima tedy funkce $g$ nabývá v bodě $\frac{\E XY}{\E X^2}$ (bez újmy na obecnosti $\E X^2 \neq 0$, v opačném případě máme $X = 0$ skoro jistě, z čehož vlastnosti z věty plynou triviálně).
	Dosadíme tuto hodnotu do předpisu funkce $g(a)$ a dostáváme.
	$$ g\left(\frac{\E XY}{\E X^2}\right) = \frac{(\E XY)^2}{\E X^2} - 2 \frac{(\E XY^2)}{\E X^2} + \E Y^2 \geq 0. $$
	Z toho již plyne, že $(\E XY)^2 \leq (\E X^2)(\E Y^2)$, z čehož už plyne požadované tvrzení.

	Vlastnost (iii) budeme dokazovat po implikacích. Nejdříve předpokládejme, že $Y = aX + b$ pro nějaká $a, b \in \R$. Potom máme
	$$ \Cov (X, Y) = \Cov(X, aX + b) = \E [X(aX + b)] - \E X \E (aX + b) = $$
	$$ a\E X^2 + b \E X - a(\E X)^2 - b\E X = a\Var X. $$
	a můžeme psát
	$$ |\Corr(X, Y)| = \frac{|\Cov(X, Y)|}{\sqrt{\Var X \Var Y}} = \frac{|a \Var X|}{\sqrt{\Var{X}a^2 \Var X}} = 1. $$

	Nakonec, k důkazu poslední implikace si uvědomíme, že rovnost nastává v případě $|Cor(X, Y)| = \sqrt{\Var X \Var Y}$. To nastane právě tehdy, když
	$$[\E(X - \E X) (Y - \E Y)]^2 = [\E (X - \E X)^2] [\E (Y - \E Y)^2].$$
	Položme $\tilde{X} = X - \E X$ a $\tilde Y = Y - \E Y$. Předchozí výraz pak bude mít tvar
	$$[\E\tilde{X}\tilde{Y}]^2 = \E\tilde{X}^2\E\tilde{Y}^2.$$
	Dosadíme $a = \frac{\E\tilde{X}\tilde{Y}}{\E \tilde{X}^2}$ do $g(a)$ z důkazu vlastnosti (ii), dostáváme (všimněte si, že jde o bod, kde funkce $g$ nabývá svého minima) $0 = \E\left[\frac{\E \tilde{X}\tilde{Y}}{\E \tilde{X}^2}\tilde{X} - \tilde{Y}\right]^2$, a tedy musí platit $P[a\tilde{X} - \tilde{Y} = 0] = 1$. Pak s pravděpodobností $1$ musí platit $aX - a\E X + \E Y = Y$, což jsme chtěli dokázat (stačí vzít $b = - a\E X - \E Y$).
\end{proof}

Jednoduchým důsledkem tohoto tvrzení (plyne z důkazu poslední vlastnosti z Věty \ref{thm-properties-disp}) je následující tvrzení umožňující počítat rozptyl součtu ne nutně nezávislých veličin.

\begin{corollary}[Rozptyl součtu]
	Pokud $X_1, \dots, X_d \in \mathcal{L}^2$ a $a_1, \dots, a_d$ jsou reálné konstanty, potom
	$$ \Var\left(\sum_{l = 1}^d a_l X_l \right) = \sum_{l = 1}^d a_l^2 \Var X_l + 2 \sum_{1 \leq j < l \leq d} a_j a_l \Cov(X_j, X_l).$$
\end{corollary}

Pro vícerozměrné náhodné vektory můžeme definovat obdobné pojmy jako pro náhodné veličiny.

\begin{definition}
	\textit{Střední hodnotu} náhodného vektoru $\vec{X}=[X_1, \dots, X_d]^T$ definujeme předpisem
	$$ \E  \vec{X} = [\E X_1, \dots, \E X_d]^T.$$
	\textit{Varianční-kovarianční matice} náhodného vektoru $\vec{X} = [X_1, \dots, X_d]^T$ je definována jako
	$$ \Var \vec{X} =
	\begin{bmatrix}
		\Var X_1 & \Cov(X_1, X_2) & \cdots & \Cov(X_1, X_d) \\
		\Cov(X_2, X_1) & \Var X_2 & \cdots & \Cov(X_2, X_d) \\
		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		\Cov(X_d, X_1) & \Cov(X_d, X_2) & \cdots & \Var(X_d)
	\end{bmatrix}.$$
\end{definition}

Všimneme si, že platí $\Cov(X, X) = \Var X$ a $\Cov(X, Y) = \Cov(Y, X)$. Z toho plyne, že takto definovaná kovarianční matice je symetrická.

\hfill \textit{konec 9. přednášky (17.3.2025)}
