\section{Parametrická inference}

V této kapitole se budeme věnovat problému odhadování parametru tak, aby získané rozdělení co nejvhodněji pasovalo na experimentální data. Hlavním objektem zkoumání bude rodina parametrických modelů
$$ \mathcal{F} := \{f(\cdot, \vec \theta): \vec \theta \in \vec \Theta \subseteq \R^d\}, $$
kde $\vec \Theta$ je parametrický prostor a $\vec \theta = (\theta_1, \dots, \theta_d)$ je parametr.

Je zřejmé, že ne každý model je schopen pokrýt všechna možná rozdělení vyskytující se v přírodě. Musíme proto aproximovat a umět dobře odhadnout, kdy máme ``dost dobrý" odhad.
Budeme se zajímat o odhad nějaké funkce $T(\vec \theta)$. Například pro $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$, pokud naším parametrem zájmu je $\mu$, stačí volit $T(\vec \theta) = \mu$ a $\sigma^2$ se potom nazývá \textit{nežádoucí/rušivý parametr}.

\begin{example}
	Připomeňme si, že náhodná veličina $X$ má rozdělení $\Gamma(a, p)$, jestliže
	$$ f_X(x; a, p) = \frac{a^p}{\Gamma(p)} x^{p - 1} \exp\{-ax\}.$$
	kde $a, p > 0$ a
	$$ \Gamma(p) = \int_0^\infty y^{p-1}e^{-y} dy. $$

	Parametrem ve smyslu úvodu je tedy vektor $\vec \theta = (a, p)$. Chceme-li spočítat průměrnou délku života (což je jedna z věcí, k modelování kterých se používá Gamma rozdělení), dostáváme
	$$ T(a, p) = \E_{\vec\theta} X = \int_0^\infty \frac{a^px^p}{\Gamma(p)} e^{-ax} dx = \frac{1}{a\Gamma(p)} \int_0^\infty y^p e^{-y}dy = \frac{\Gamma(p + 1)}{a\Gamma(p)} = \frac{p}{a}. $$
\end{example}

V dalším textu uvažujme náhodný výběr $X_1, \dots, X_n \overset{IID}\sim F \in \mathcal{F}$.

\begin{example}
	Uvažujme  $\mathcal{F} = \{F(\mu): \E_{F(\mu)} = \mu \land |\mu| < \infty$ rodinu modelů s konečnou střední hodnotou. Potom $\bar X_n$ je konzistentní a nestranný odhad $\mu$ a $X_1$ je nestranný, ale ne konzistentní odhad $\mu$.

	Dále uvažujme $\mathcal{F} = \{F(\sigma^2): \Var_{F(\sigma^2)} = \sigma^2 < \infty\}$ rodinu modelů s konečným rozptylem. Potom $\hat\sigma_n^2 = n^{-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X_n)^2$ je konzistentní, ale ne nestranný odhad $\sigma^2$ a $S_n^2 = (n - 1)^{-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X_n)^2)$ je konzistentní a nestranný odhad $\sigma^2$.
\end{example}

\hfill \textit{konec 17. přednášky (15.4.2025)}