\section{Stochastické konvergence}

V této kapitole budeme studovat druhy konvergence v pravděpodobnostních prostorech, které jsou často jiné, neboť náš prostor je vždy normovaný na $1$.

\begin{definition}
	Nechť $X_1, X_2, \dots$ je posloupnost náhodných veličin a nechť $X$ je jiná náhodná veličina. Nechť $F_n$ označuje distribuční funkci $X_n$ a nechť $F$ označuje distribuční funkci $X$. Potom $X_n$ \textit{konverguje k $X$ v pravděpodobnosti} (předpokládáme, že $X_i, X$ všechny ``žijí" na stejném pravděpodobnostním prostoru) , značíme $X_n \overset{P}{\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}}$, pokud pro každé $\varepsilon > 0$,
	$$ P[|X_n - X| > \varepsilon] \overset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0. $$
	Dále $X_n$ \textit{konverguje k $X$ v distribuci}, značíme $X_n \overset{P}{\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}} X$, pokud
	$$ \lim_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = F(x) $$
	pro všechna $x$ kde je $F$ spojitá.
	$X_n$ \textit{konverguje k $X$ v $\mathbb{L}^p$} pro $p \geq 1$, značíme $X_n \overset{\mathbb{L}^p}{\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}} X$, pokud
	$$ \E |X_n - X|^p \overset{n \rightarrow \infty}\rightarrow 0. $$
	$X_n$ \textit{konverguje k $X$ skoro jistě}, značíme $X_n \overset{P-s.j.}{\underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}} X$, pokud
	$$ P[\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = X] \equiv P[\omega \in \Omega: \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega) = X(\omega)]=1.$$
\end{definition}

\begin{theorem}[Implikace mezi typy konvergence]
	Platí následující implikace
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $X_n \overset{P-\text{s.j.}}{\longrightarrow} X \implies X_n \overset{P}{\rightarrow} X$;
		\item pro $p \geq 1$ platí $X_n \overset{\mathbb{L}_p}{\rightarrow} X \implies X_n \overset{P}{\rightarrow} X$;
		\item pro $p \geq q \geq 1$ platí $X_n \overset{\mathbb{L}_p}{\rightarrow} \implies X_n \overset{\mathbb{L}_q}{\rightarrow} X$;
		\item $X_n \overset{P}{\rightarrow} X \implies X_n \overset{D}{\rightarrow} X$;
		\item Pokud $X_n \overset{D}{\rightarrow} X$ a $P[X = c] = 1$ pro nějaké $c \in \R$, pak $X_n \overset{P}{\rightarrow} X$.
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\hfill \textit{konec 11. přednášky (24.3.2025)}