\section{Náhodné jevy}

Začneme nejdříve základními definicemi, bez nichž vůbec nemůžeme mluvit o pravděpodobnosti.

\begin{definition}
	\textit{Výběrovým prostorem} rozumíme množinu $\Omega$ všech možných výsledků nějakého experimentu. Prvky $\omega \in \Omega$ této množiny nazýváme \textit{elementárními jevy}. Podmnožině $A \subset \Omega$ říkáme \textit{(náhodný) jev}.
\end{definition}

Pro ilustraci uvedeme následující motivační příklad, kde podrobně popíšeme souvislosti s právě zadefinovanými pojmy.

\begin{example}
	Házíme dvakrát férovou mincí. Naším výběrovým prostorem bude množina $\Omega = \{PP, PO, OP, OO\}$. Událost, že první hod je panna, je tedy $A = \{PP, PO\}$. V tomto zápise písmeno $P$ odpovídá tomu, že padla panna, kdežto písmeno $O$ odpovídá orlu.

	Dále uvažujme jevy $H_1$ -- při prvním hodu padne panna, a $H_2$ -- při druhém hodu padne panna. Nechť jsou všechny výsledky stejně pravděpodobné (jinými slovy, mince je férová), potom pravděpodobnost, že padne alespoň jedna panna (tj. nastane jev $H_1 \cup H_2$) je $\frac{3}{4}$.
	\begin{proof}
		Zřejmě z předchozího máme $H_1 = \{PP, PO\}$ a $H_2 = \{OP, PP\}$. Pravděpodobnost spočteme jako podíl velikosti $|H_1 \cup H_2| = 3$ a velikosti celého prostoru $|\Omega| = 4$.
	\end{proof}
\end{example}

Tato jednoduchá intuice však selže v případě nekonečné (nespočetné) množiny $\Omega$, neboť jak již čtenář jistě ví z přednášky základů teorie míry, na nespočetné množině neexistuje "rozumný" způsob, jak měřit množiny. Musíme proto pracovat pouze s jistou třídou podmnožin $\Omega$, které budeme říkat $\sigma$-algebra.

\begin{definition}
	Nechť $\Omega \neq \emptyset$ je množina a $\mathcal{A} \subset 2^\Omega$ soubor jejích podmnožin. Této podmnožině $\mathcal{A}$ říkáme $\sigma$-algebra, jestliže jsou splněny následující podmínky:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\emptyset \in \mathcal{A}$,
		\item Pokud $A \in \mathcal{A}$, pak $A^C := \Omega \setminus A \in \mathcal{A}$,
		\item Pokud $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{A}$, pak $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{A}$.	
	\end{enumerate}

	Dvojici $(\Omega, \mathcal{A})$ nazýváme \textit{měřitelný prostor}.
\end{definition}

Každé události $A \in \mathcal{A}$ přiřadíme číslo $\mathbb{P}(A)$, které nazýváme \textit{pravděpodobnost} jevu $A$. Jelikož chceme, aby se zachovala intuice z předchozího příkladu, musíme tuto představu náležitým způsobem formalizovat.

\begin{definition}
	Nechť $(\Omega, \mathcal{A})$ je měřitelný prostor. Zobrazení $P: \mathcal{A} \rightarrow [0, 1]$ nazýváme \textit{pravděpodobnostní mírou (pravděpodobností)}, jestliže:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $P(\Omega) = 1$,
		\item Pro libovolné po dvou disjunktní měřitelné množiny $A_i \in \mathcal{A}$, $i \in \mathbb{N}$ platí 
			$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$.
	\end{enumerate}

	Trojici $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ nazýváme \textit{pravděpodobnostní prostor}.
\end{definition}

Přímo z této definice již můžeme odvodit pár základních vlastností pravděpodobnosti, se kterými dále budeme pracovat. Ve všech následujících tvrzeních pracujeme s pravděpodobnostním prostorem $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.

\begin{observation}{\textbf{(Základní vlastnosti pravděpodobnostní míry)}}
	Pro výše jmenovaný pravděpodobnostní prostor platí následující vlastnosti:
	\begin{enumerate}
		\item $P(\emptyset) = 0$,
		\item Pro $A \in \mathcal{A}$ platí $P(A^C) = 1 - P(A)$,
		\item Pro $A, B \in \mathcal{A}, A \subset B$ platí $P(A) \leq P(B)$.
		\item Pro $A, B \in \mathcal{A}$ disjunktní platí $P(A\cup B) = P(A) + P(B)$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}
			\item Stačí vzít rovnost $1 = P(\Omega) = P(\Omega \cup \emptyset) = P(\Omega) + P(\emptyset) = 1 + P(\emptyset)$. Druhá rovnost plyne z vlastnosti (ii) z definice pravděpodobnosti.
			\item $1 = P(\Omega) = P(A \cup A^C) = P(A) + P(A^C)$. Tato rovnost platí, neboť množina je vždy disjunktní se svým komplementem.
			\item $P(B) = P(A \cup B\setminus A) = P(A) + P(B\setminus A)$. Jelikož funkce $P$ je nezáporná, snadno vidíme, že $P(B) \geq P(A)$.
			\item Nechť $A_1 = A, A_2 = B, A_i = \emptyset$ pro $i > 2$. Tvrzení plyne přímo z vlastnosti (ii) z definice pravděpodobnosti.
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\end{observation}

\begin{lemma}{\textbf{(Pravděpodobnost sjednocení)}}
	Pro libovolné $A, B \in \mathcal{A}$ platí $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$.
	\begin{proof}
		Rozepíšeme $A \cup B = (A \cap B^C) \cup (A \cap B) \cup (A^C \cap B)$. Tyto tři množiny jsou zřejmě po dvou disjunktní. Dále díky aditivitě pravděpodobnosti máme $P(A \cup B) = P(A\cap B^C) + P(A \cap B) + P(A^C\cap B) + P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
	\end{proof}
\end{lemma}

\begin{theorem}{\textbf{(Spojitost pravděpodobnosti)}}
	Buď $A_n \uparrow A$ nebo $A_n \downarrow A$ pro $A_n, A \in \mathcal{A}$. Potom platí $P(A_n) \rightarrow P(A)$.
	\begin{proof}
		Nechť $A_n \uparrow A$. Potom z definice $A_1 \subset A_2 \dots$ a platí $A = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$.
		Definujme posloupnost $B_n$: $B_1 = A_1, B_n = A_n\setminus\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$. Potom $B_i$ jsou po dvou disjunktní a platí $A_n = \bigcup_{i=1}^{n}B_i$. Zřejmě také platí $A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=1}^\infty B_n$. Pak $P(A_n) = P(\bigcup_{i=1}^n B_i) = \sum_{i=1}^n P(B_i)$. Z toho již můžeme odvodit $\lim_{n\rightarrow\infty} P(A_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n P(B_i) = \sum_{i=1}^\infty P(B_i) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i) = P(A)$.

		Případ klesající $A_n$ se dokáže analogicky, stačí uvažovat $C_n = A_n^C$.
	\end{proof}
\end{theorem}