opravy preklepu apod.

jednoznacnost-reseni.tex

@@ -4,7 +4,8 @@ V této kapitole se budeme věnovat otázce jednoznačnosti řešení diferenci
 
 \begin{definition}
 	Řekneme, že rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost \textit{globální jednoznačnosti}, jestliže pro libovolná řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0)$ pro nějaké $t_0 \in I \cup J$, potom $x(t) = y(t)$ pro všechna $t \in I \cup J$.
-	Řekneme, že rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost \textit{lokální jednoznačnosti}, jestliže pro libovolná řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0)$ pro nějaké $t_0 \in I \cup J$, potom existuje $\delta$ takové, že $x(t) = y(t)$ pro všechna $t \in (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$.
+
+	Řekneme, že rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost \textit{lokální jednoznačnosti}, jestliže pro libovolná řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0)$ pro nějaké $t_0 \in I \cup J$ existuje $\delta > 0$ takové, že $x(t) = y(t)$ pro všechna $t \in (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$.
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
@@ -15,7 +16,7 @@ V této kapitole se budeme věnovat otázce jednoznačnosti řešení diferenci
 
 	Pro důkaz opačné implikace nechť máme dvě řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0) = x_0$ pro nějaké $t_0 \in I \cap J$. Bez újmy na obecnosti nechť $I \cup J = (a, b)$. Položme $M = \{t : x(t) = y(t)\}$. Tato množina je díky předpokladu neprázdná, nechť $c := \sup M$.
 
-	Pro spor předpokládejme, že $c < b$. Potom platí $x(c) = \lim_{t\rightarrow c^-} x(t) = \lim_{t\rightarrow c^-} y(t)$, což se díky spojitosti $y$ rovná $y(c)$. Tedy $c$ je maximum $M$. Ale díky lokální jednoznačnosti existuje okolí $(c, x(c)$, na kterém platí $x = y$. Tedy $x(c + \delta) = y(c + \delta)$ pro nějaké $\delta > 0$, což je spor s tím, že $c = \sup M$.
+	Pro spor předpokládejme, že $c < b$. Potom platí $x(c) = \lim_{t\rightarrow c^-} x(t) = \lim_{t\rightarrow c^-} y(t)$, což se díky spojitosti $y$ rovná $y(c)$. Tedy $c$ je maximum $M$. Ale díky lokální jednoznačnosti existuje okolí bodu $(x(c), c)$, na kterém platí $x = y$. Tedy $x(c + \delta) = y(c + \delta)$ pro nějaké $\delta > 0$, což je spor s tím, že $c = \sup M$.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}
@@ -51,7 +52,7 @@ Zavedeme značení $f \in C_x^1(\Omega)$, jestliže $\pdv{f}{x_i}$ existují a j
 	$$n K \max |y_i - x_i| \leq nK | y - x |,$$
 	kde poslední nerovnost plyne z faktu, že $|y -x| = \sqrt{\sum_{i = 1}^n |y_i - x_i|^2}$.
 
-	Tedy $f$ je lokálně Lipschitzovská s konstantou $n \cdot K$.
+	Tedy $f$ je lokálně lipschitzovská s konstantou $n \cdot K$.
 \end{proof}
 
 \textit{Rule of thumb (just for fun)}: platí $f$ spojitá $\Rightarrow$ existuje řešení, $f \in C^1 \Rightarrow$ řešení je určeno jednoznačně.