opravy preklepu

floquetova-teorie.tex

@@ -79,7 +79,7 @@ Matici $C^k$ můžeme relativně snadno spočítat pomocí převodu na Jordanův
 
 	(i) $\implies$ (ii): Předpokládejme, že $x$ je $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic} a pro spor předpokládejme, že $y$ je netriviální $T$-periodické řešení homogenní rovnice, tedy $x + y$ je $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic}, ale $x + y \neq x$, což je spor s jednoznačností řešení nehomogenní úlohy.
 
-	(iii) $\implies$ (i): Řešení nehomogenní úlohy můžeme explicitně zapsat ve tvaru $x(t) = \Phi(t)x_0 + \int_0^t \Phi(t) \Phi^{-1}(s) b(s) ds$. Dokážeme, že toto je jediné $T$-periodické řešení úlohy \eqref{eq-linear-periodic}. Můžeme psát $x(T) = Cx_0 + y$, kde $y = \int_{0^T}\Phi(T)\Phi^{-1}(s)b(s) ds$, tedy $x(T) = x_0$ právě tehdy, když $-y = (C - I)x_0$. Dle předpokladu v (iii) je matice $C - I$ regulární, tedy existuje právě jedno $x_0$ splňující danou podmínku, proto $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic} je určeno jednoznačně.
+	(iii) $\implies$ (i): Řešení nehomogenní úlohy můžeme explicitně zapsat ve tvaru $x(t) = \Phi(t)x_0 + \int_0^t \Phi(t) \Phi^{-1}(s) b(s) ds$. Dokážeme, že toto je jediné $T$-periodické řešení úlohy \eqref{eq-linear-periodic}. Můžeme psát $x(T) = Cx_0 + y$, kde $y = \int_0^T\Phi(T)\Phi^{-1}(s)b(s) ds$, tedy $x(T) = x_0$ právě tehdy, když $-y = (C - I)x_0$. Dle předpokladu v (iii) je matice $C - I$ regulární, tedy existuje právě jedno $x_0$ splňující danou podmínku, proto $T$-periodické řešení \eqref{eq-linear-periodic} je určeno jednoznačně.
 \end{proof}
 
 \begin{corollary}[Stabilita pro periodické lineární rovnice]

jednoznacnost-reseni.tex

@@ -29,10 +29,10 @@ V této kapitole se budeme věnovat otázce jednoznačnosti řešení diferenci
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Volme $(x_0, t_0) \in \Omega$ a dvě řešení $(x, I), (y, J)$ taková, že $y(t_0) = x(y_0) = x_0$. Vezmeme $\delta_1 > 0$ tak, aby $f$ byla lipschitzovská na $\delta_1$-okolí $(x_0, t_0)$.
+	Volme $(x_0, t_0) \in \Omega$ a dvě řešení $(x, I), (y, J)$ taková, že $x(t_0) = y(t_0) = x_0$. Vezmeme $\delta_1 > 0$ tak, aby $f$ byla lipschitzovská na $\delta_1$-okolí $(x_0, t_0)$.
 	Nechť $\delta \leq \frac{1}{2L}$ je takové, že navíc $\delta < \delta_1$ a $t$ takové, aby $(x(t), t), (y(t), t) \in U(x_0, \delta) \times (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$. Potom platí
 	$$ \| x(t) - y(t) \| = \| x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (x_0 + \int_{t_0}^t f(y(s),s) ds ) \| \leq $$
-	$$ \left| \int_{t_0}^t \| f(x(s), s) - f(y(s), s) \| ds\right| \leq \left| \int L\|x(s) - y(s)\| ds \right| \leq L\cdot\gamma\cdot\delta \leq \frac{\gamma}{2}$$
+	$$ \left| \int_{t_0}^t \| f(x(s), s) - f(y(s), s) \| ds\right| \leq \left| \int_{t_0}^t L\|x(s) - y(s)\| ds \right| \leq L\cdot\gamma\cdot\delta \leq \frac{\gamma}{2}$$
 	pro $\gamma := \sup \| x(s) - y(s) \|$. To platí pro všechna $t$, tedy $\gamma = \sup \|x(t) - y(t)\| \leq \frac{\gamma}{2}$, z čehož plyne $\gamma = 0$, což implikuje rovnost $x(t)$ a $y(t)$.
 \end{proof}
 

zavislost-na-podmince.tex

@@ -9,10 +9,10 @@
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-	Definujeme $\Phi(t) := K + \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds + \varepsilon$ pro $t > t_0$. Okamžitě z předpoklady vidíme, že $w(t) \leq \Phi(t)$. Zderivujeme funkci $\Phi(t)$, dostáváme
+	Definujeme $\Phi(t) := K + \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds + \varepsilon$ pro $t > t_0$ (důkaz pro $t \leq t_0$ se udělá obdobně). Okamžitě z předpokladů vidíme, že $w(t) \leq \Phi(t)$. Zderivujeme funkci $\Phi(t)$, dostáváme
 	$\Phi'(t) = w(t) g(t) \leq \Phi(t) g(t)$ což po vydělení $\Phi(t)$ (je nenulové díky přičtení $\varepsilon$) nám dává $\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)} \leq g(t)$, což můžeme přeintegrovat od $t_0$ do $t$, čímž dostaneme
 	$\int_{t_0}^t \frac{\Phi'(s)}{\Phi(s)} ds \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Po vyčíslení integrálů dostaneme
-	$ \log (\Phi(t) - \Phi(t_0)) \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Jelikož $\exp$ je rostoucí funkce, můžeme psát $ \frac{\Phi(t)}{\Phi(t_0)} \leq \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$.
+	$ \log \Phi(t) - \log \Phi(t_0) \leq \int_{t_0}^t g(s) ds$. Jelikož $\exp$ je rostoucí funkce, můžeme psát $ \frac{\Phi(t)}{\Phi(t_0)} \leq \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$.
 
 	Nakonec dostáváme $w(t) \leq \Phi(t) \leq (K+\varepsilon) \exp\left(\int_{t_0}^t g(s) ds\right)$. Požadované tvrzení získáme posláním $\varepsilon$ do $0$.
 \end{proof}