opravy preklepu apod.

maximalni-reseni.tex

@@ -14,7 +14,7 @@ V této kapitole se budeme věnovat otázce rozšíření řešení na co nejvě
 \begin{proof}
 	Mějme řešení $(x, I)$ takové, že $I = (a, b)$. Budeme induktivně prodlužovat za bod $b$ (na druhou stranu se to pak udělá analogicky). Položme $x_0 = x$, $b_0 = b$, $I_0 = I$. V $n$-tém kroku dostaneme řešení $(x_n, I_n)$, kde $I_n = (a, b_n)$. Dále definujeme $\omega_n = \sup \{z > b_n; (x_n, I_n) \text{ lze prodloužit na } (a, z) \}$. Pokud příslušná množina je prázdná, jsme hotovi, neboť řešení již nejde prodloužit, tedy je maximální.
 
-	V opačném případě můžeme definovat $b_{n + 1} = \frac{b_n + \omega_n}{2}$ (pokud $\omega_n < \infty$), případně $b_{n + 1} = b_n + 1$. Tímto postupem získám rostoucí posloupnost $b_n$, která musí mít limitu. Označme tuto limitu $\beta$. Dále položme $\tilde{I} = (a, \beta)$, $\tilde{x} = x_n(t)$, pro všechna $t \in \tilde{I}$ zvolím $n$ tak, aby $t \in I_n$. Na volbě $n$ nezávisí, neboť na příslušných intervalech jsou funkce $x_n$ stejné.
+	V opačném případě můžeme definovat $b_{n + 1} = \frac{b_n + \omega_n}{2}$ (pokud $\omega_n < \infty$), případně $b_{n + 1} = b_n + 1$. Tímto postupem získáme rostoucí posloupnost $b_n$, která musí mít limitu. Označme tuto limitu $\beta$. Dále položme $\tilde{I} = (a, \beta)$, $\tilde{x} = x_n(t)$, pro všechna $t \in \tilde{I}$ zvolím $n$ tak, aby $t \in I_n$. Na volbě $n$ nezávisí, neboť na příslušných intervalech jsou funkce $x_n$ stejné.
 
 	Dokážeme, že takto definované řešení $(\tilde{x}, \tilde{I})$ je maximální. Pro spor budeme předpokládat, že existuje rozšíření na $(a, \hat{\beta})$ takové, že $\hat{\beta}$. Okamžitě vidíme, že $\beta < \infty$. Vezmeme $n$ takové, aby $\beta - b_n < \hat{\beta} - \beta$ a $\beta - b_n < 1$ (existuje díky tomu, že $b_n$ konvergují k $\beta$). V tom případě $(x_n, I_n)$ má prodloužení až do $\hat{\beta}$, tedy $\omega_n \geq \hat{\beta}$. Pak ale (pokud $\omega_n = \infty$) $b_{n + 1} = b_n + 1 > \beta$, máme spor, případně pro $\omega_n$ konečné máme $b_{n + 1} = \frac{b_n + \omega_n}{2} > \frac{2\beta - \hat{\beta} + \hat{\beta}}{2} = \beta$, opět jsme došli ke sporu.
 \end{proof}
@@ -41,7 +41,7 @@ V případě $f$ lipschitzovské se důkaz dá výrazně zjednodušit. Budeme uv
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-	Nutnost těchto podmínek plyne triviálně z podstaty prodloužení (cvičení). Dokážeme, že jde o podmínky postačující. Nechť tedy máme $(x_0, b)$ jakou novou počáteční podmínku, dle Peanovy vety existuje řešení $\hat{x}$ na $(b - \delta, b + \delta)$ splňující tuto počáteční podmínku. Definujeme $\hat{x}(t) = \begin{cases} x(t), t < b \\ \tilde{x}(t), t \geq b \end{cases}$. Potom $\hat{x}$ je řešení (díky principu nalepování) a navíc prodlužuje $x$ za bod $b$, což jsme chtěli dokázat.
+	Nutnost těchto podmínek plyne triviálně z podstaty prodloužení (cvičení). Dokážeme, že jde o podmínky postačující. Nechť tedy máme $(x_0, b)$ jako novou počáteční podmínku, dle Peanovy vety existuje řešení $\hat{x}$ na $(b - \delta, b + \delta)$ splňující tuto počáteční podmínku. Definujeme $\hat{x}(t) = \begin{cases} x(t), t < b \\ \tilde{x}(t), t \geq b \end{cases}$. Potom $\hat{x}$ je řešení (díky principu nalepování) a navíc prodlužuje $x$ za bod $b$, což jsme chtěli dokázat.
 \end{proof}
 
 Na závěr si uvedeme jednu důležitou větu, která nám poskytne představu o tom, jak vypadají maximální řešení diferenciálních rovnic.