opravy preklepu apod.

zavislost-na-podmince.tex

@@ -27,13 +27,15 @@
 
 \begin{proof}
 	Můžeme psát
-	$$ \| x(t) - y(t) \| = \| x(t_0) + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (y(t_0) + \int_{t_0}^t f(y(s), s) ds) \| \leq $$
-	$$ \| x(t_0) - y(t_0) \| + \| \int_{t_0}^t \left| f(x(s), s) - f(y(s), s) \right| ds \| \leq $$
-	$$ \| x(t_0) - y(t_0) \| + \| \int_{t_0}^t L | x(s) - y(s) | ds.$$
+	\begin{align*}
+		\| x(t) - y(t) \| &= \left\| x(t_0) + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (y(t_0) + \int_{t_0}^t f(y(s), s) ds) \right\| \leq \\
+		&\leq \left\| x(t_0) - y(t_0) \right\| + \left\| \int_{t_0}^t \left| f(x(s), s) - f(y(s), s) \right| ds \right\| \leq \\
+		&\leq \left\| x(t_0) - y(t_0) \right\| + \left\| \int_{t_0}^t L | x(s) - y(s) | ds \right\|.
+	\end{align*}
 
 	Poté z Gronwallova lemmatu dostáváme, že
-	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq K e^{|\int_{t_0}^t L ds|} = K e^{|t - t_0| L}, $$
-	kde funkci $w(s)$ ze znění lemmatu odpovídá výraz $\|x(s) - y(s)\|$.
+	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq \| x(t_0) - y(t_0) \| e^{|\int_{t_0}^t L ds|} = \| x(t_0) - y(t_0) \| e^{|t - t_0| L}, $$
+	kde funkci $w(s)$ ze znění lemmatu odpovídá výraz $\|x(s) - y(s)\|$ a $K = \| x(t_0) - y(t_0) \|$.
 \end{proof}
 
 Jednoduchým důsledkem tohoto lemmatu je mj. jednoznačnost řešení (stačí uvažovat řešení s $x(t_0) = y(t_0)$).