opravy preklepu apod.

jednoznacnost-reseni.tex

@@ -4,7 +4,8 @@ V této kapitole se budeme věnovat otázce jednoznačnosti řešení diferenci
 
 \begin{definition}
 	Řekneme, že rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost \textit{globální jednoznačnosti}, jestliže pro libovolná řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0)$ pro nějaké $t_0 \in I \cup J$, potom $x(t) = y(t)$ pro všechna $t \in I \cup J$.
-	Řekneme, že rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost \textit{lokální jednoznačnosti}, jestliže pro libovolná řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0)$ pro nějaké $t_0 \in I \cup J$, potom existuje $\delta$ takové, že $x(t) = y(t)$ pro všechna $t \in (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$.
+
+	Řekneme, že rovnice \eqref{eq-ode} má v $\Omega$ vlastnost \textit{lokální jednoznačnosti}, jestliže pro libovolná řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0)$ pro nějaké $t_0 \in I \cup J$ existuje $\delta > 0$ takové, že $x(t) = y(t)$ pro všechna $t \in (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$.
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
@@ -15,7 +16,7 @@ V této kapitole se budeme věnovat otázce jednoznačnosti řešení diferenci
 
 	Pro důkaz opačné implikace nechť máme dvě řešení $(x, I), (y, J)$ splňující $x(t_0) = y(t_0) = x_0$ pro nějaké $t_0 \in I \cap J$. Bez újmy na obecnosti nechť $I \cup J = (a, b)$. Položme $M = \{t : x(t) = y(t)\}$. Tato množina je díky předpokladu neprázdná, nechť $c := \sup M$.
 
-	Pro spor předpokládejme, že $c < b$. Potom platí $x(c) = \lim_{t\rightarrow c^-} x(t) = \lim_{t\rightarrow c^-} y(t)$, což se díky spojitosti $y$ rovná $y(c)$. Tedy $c$ je maximum $M$. Ale díky lokální jednoznačnosti existuje okolí $(c, x(c)$, na kterém platí $x = y$. Tedy $x(c + \delta) = y(c + \delta)$ pro nějaké $\delta > 0$, což je spor s tím, že $c = \sup M$.
+	Pro spor předpokládejme, že $c < b$. Potom platí $x(c) = \lim_{t\rightarrow c^-} x(t) = \lim_{t\rightarrow c^-} y(t)$, což se díky spojitosti $y$ rovná $y(c)$. Tedy $c$ je maximum $M$. Ale díky lokální jednoznačnosti existuje okolí bodu $(x(c), c)$, na kterém platí $x = y$. Tedy $x(c + \delta) = y(c + \delta)$ pro nějaké $\delta > 0$, což je spor s tím, že $c = \sup M$.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}
@@ -51,7 +52,7 @@ Zavedeme značení $f \in C_x^1(\Omega)$, jestliže $\pdv{f}{x_i}$ existují a j
 	$$n K \max |y_i - x_i| \leq nK | y - x |,$$
 	kde poslední nerovnost plyne z faktu, že $|y -x| = \sqrt{\sum_{i = 1}^n |y_i - x_i|^2}$.
 
-	Tedy $f$ je lokálně Lipschitzovská s konstantou $n \cdot K$.
+	Tedy $f$ je lokálně lipschitzovská s konstantou $n \cdot K$.
 \end{proof}
 
 \textit{Rule of thumb (just for fun)}: platí $f$ spojitá $\Rightarrow$ existuje řešení, $f \in C^1 \Rightarrow$ řešení je určeno jednoznačně.

lokalni-existence.tex

@@ -42,7 +42,7 @@ Teď si zadefinujeme několik pojmů, které charakterizují množiny funkcí, k
 \begin{definition}
 	Řekneme, že funkce množiny $M \subset C(K, \mathbb{R}^n)$ jsou
 	\begin{enumerate}
-		\item \textit{stejně spojité}, jestliže pro každé $x \in K$ a každé $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ takové, že $\| f(x) - f(y) \| < \epsilon$ pro všechna $y \in (x - \delta, x + \delta)$ a všechny $f \in M$.
+		\item \textit{stejně spojité}, jestliže pro každé $x \in K$ a každé $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ (společné pro všechny funkce) takové, že $\| f(x) - f(y) \| < \varepsilon$ pro všechna $y \in (x - \delta, x + \delta)$ a všechny $f \in M$.
 		\item \textit{stejně omezené}, jestliže existuje $C > 0$ takové, že $\|f\| \leq C$ pro všechna $f \in M$.
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -67,41 +67,39 @@ K důkazu této věty budeme potřebovat pomocné lemma:
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-	Řešme ``porušenou" úlohu $P_\lambda$: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ a $x(t) = x_0$ pro $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
+	Řešme ``porušenou" úlohu $P_\lambda$: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ kde dodefinováváme funkci $x(t) = x_0$ na intervalu $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
-	Na $I_1 := (t_0, t_0 + \lambda]$ definujeme $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda, s) ds$.
+	Na $I_1 := (t_0, t_0 + \lambda]$ definujeme $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$.
 	Na $I_2 := (t_0 + \lambda, t_0 + 2\lambda]$ definujeme $x(t)$ obdobně a indukcí pokračujeme dokud $t_0 + k\lambda$ nebude větší než $T$.
 	Tímto je ``porušená" úloha vyřešena na $[t_0-\lambda, t_0 + T]$.
 
 	Položme $\lambda = \frac{1}{n}$ pro $n = 1,2,\dots$. Pišme dále jen $x_n$ namísto $x_{1/n}$, tedy řešení úloh $P_\frac{1}{n}$ tvoří posloupnost funkcí.
+
 	Ukážeme, že jsou stejně spojité a stejně omezené.
-	Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0  + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
+	Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0  + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \| \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
-	Stejnou spojitost máme z odhadu $\| x_n(t) - x_n(r) \| = \| \int_r^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq |t - r| \cdot K$. V poslední nerovnosti jsme odhadli integrál součinem délky intervalu a konstantou omezenosti funkce $f$. Stačí položit $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$, potom $\|x_n(t) - x_r(t)\| < \delta K = \varepsilon$.
+	Stejnou spojitost máme z odhadu $\| x_n(t) - x_n(r) \| = \| \int_r^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq |t - r| \cdot K$. V poslední nerovnosti jsme odhadli integrál součinem délky intervalu a konstantou omezenosti funkce $f$. Stačí položit $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$, potom $\|x_n(t) - x_n(r)\| < \delta K = \varepsilon$.
 
 	Tedy dle Věty \ref{thm-arzela} můžeme z posloupnosti $x_n$ vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost $x_{n_k}$. Zbývá dokázat, že její limita řeší naši rovnici.
 
 	\hfill \textit{konec 1. přednášky (21.2.2025)}
 
-	Zřejmě pro $k \rightarrow \infty$ platí $x_{n_k} \rightarrow x(t)$ a pokud $\int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n}), s) ds$ konverguje k $\int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}),s)ds$, máme hotovo.
+	Zřejmě pro $k \rightarrow \infty$ platí $x_{n_k} \rightarrow x(t)$ a pokud $\int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) ds$ konverguje k $\int_{t_0}^t f(x(s),s)ds$, máme hotovo.
-	Tato vlastnost plyne z toho, že $\| \int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s) ds\| \leq \int_{t_0}^t \| f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) \| + \| f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s  \| ds$.
+	Skutečně, $\| \int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s) ds\| \leq \int_{t_0}^t \| f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) \| + \| f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s)  \| ds$.
 
-	Jelikož $f$ je spojitá, musí být stejnoměrně spojitá na kompaktní množině $[t_0, t_0 + T] \times \overline{B(0, r) \cap \Omega}$, jinými slovy platí, že pro $\varepsilon > 0$ existuje $\delta$ takové, že pro každé dva body $x, y$ takové, že $\|x - y\| < \delta$ máme, že $f(x, s) - f(y, \hat(s))$.
+	Jelikož $f$ je spojitá, musí být stejnoměrně spojitá na kompaktní množině $[t_0, t_0 + T] \times \overline{B(0, r) \cap \Omega}$, jinými slovy platí, že pro $\varepsilon > 0$ existuje $\delta$ takové, že pro každé dva body $x, y$ takové, že $\|x - y\| < \delta$ máme, že $|f(x, s) - f(y, s)| < \varepsilon$. Ze stejnoměrné konvergence $x_{n_k}$ máme, že pro $\delta > 0$ existuje $k_0$ takové, že pro všechna $k \geq k_0$ platí $\|x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}) - x(s - \frac{1}{n_k})\|<\delta$. Jelikož $x$ je spojitá, na kompaktním intervalu $[t_0, t_0 + T]$ je také stejnoměrně spojitá. Potom pro $\delta> 0$ existuje $k_1$ takové, že pro všechna $k \geq k_1$ platí $\| x(s - \frac{1}{n_k}) - x(s) \| < \delta$.
-
-	Ze stejnoměrné konvergence $x_{n_k}$ máme, že pro $\delta > 0$ existuje $k_0$ takové, že pro všechna $k \geq k_0$ platí $\|x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}) - x(s - \frac{1}{n_k})\|<\delta$.
-
-	Jelikož $x$ je spojitá, na kompaktním intervalu $[t_0, t_0 + T]$ je také stejnoměrně spojitá. Potom pro $\delta> 0$ existuje $k_1$ takové, že pro všechna $k \geq k_1$ platí $\| x(s - \frac{1}{n_k} - x(s) \| < \delta$.
 
 	Potom pro všechna $k \geq \max\{k_0, k_1\}$ platí, že náš integrál je menší nebo roven $\int_{t_0}^t \varepsilon + \varepsilon ds \leq T\cdot 2\varepsilon$, tedy jsme opravdu nalezli požadované řešení.
 
-	Existence řešení na $[t_0- T, t_0]$ se ukáže podobně.
+	Existence řešení na $[t_0 - T, t_0]$ se ukáže podobně.
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Důkaz Věty \ref{thm-peano}]
-	Uvažujme dvě koule kolem bodu $(x_0, t_0)$ takové, že $K_1 \subset K_2 \subset \Omega$.
+	Uvažujme dvě (uzavřené) koule kolem bodu $(x_0, t_0)$ takové, že $K_1 \subsetneq K_2 \subset \Omega$.
 	Definujeme $\tilde{f}(x, t) = \begin{cases}
 	f(x, t) \text{ v } K_1,\\
-	\text{spojitě v } K_2 \setminus K_1\\
+	\text{spojitě v } K_2 \setminus K_1,\\
-	0, (x, t) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus K_2
+	0, (x, t) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus K_2.
-	\end{cases}$.
+	\end{cases}$
+	Tato funkce je na $\Omega$ spojitá a omezená.
 
-	Z Lemmatu \ref{lemma-special-solution} máme, že rovnice $x' = \tilde{f}(x, t)$ má řešení $x$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$. Nazveme toto řešení $\tilde{x}$. Potom ze spojitosti $\tilde{x}$. Tedy existuje $\delta > 0$ takové, že graf $\tilde{x}$ na $(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$ leží v $K_1$. Restrikce $\tilde{x}$ na tento interval nám tedy dává řešení původní rovnice.
+	Z Lemmatu \ref{lemma-special-solution} máme, že rovnice $x' = \tilde{f}(x, t)$ má řešení $x$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$. Nazveme toto řešení $\tilde{x}$. Potom ze spojitosti $\tilde{x}$ existuje $\delta > 0$ takové, že graf $\tilde{x}$ na $(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$ leží v $K_1$. Restrikce $\tilde{x}$ na tento interval nám tedy dává řešení původní rovnice.
 \end{proof}

maximalni-reseni.tex

@@ -14,7 +14,7 @@ V této kapitole se budeme věnovat otázce rozšíření řešení na co nejvě
 \begin{proof}
 	Mějme řešení $(x, I)$ takové, že $I = (a, b)$. Budeme induktivně prodlužovat za bod $b$ (na druhou stranu se to pak udělá analogicky). Položme $x_0 = x$, $b_0 = b$, $I_0 = I$. V $n$-tém kroku dostaneme řešení $(x_n, I_n)$, kde $I_n = (a, b_n)$. Dále definujeme $\omega_n = \sup \{z > b_n; (x_n, I_n) \text{ lze prodloužit na } (a, z) \}$. Pokud příslušná množina je prázdná, jsme hotovi, neboť řešení již nejde prodloužit, tedy je maximální.
 
-	V opačném případě můžeme definovat $b_{n + 1} = \frac{b_n + \omega_n}{2}$ (pokud $\omega_n < \infty$), případně $b_{n + 1} = b_n + 1$. Tímto postupem získám rostoucí posloupnost $b_n$, která musí mít limitu. Označme tuto limitu $\beta$. Dále položme $\tilde{I} = (a, \beta)$, $\tilde{x} = x_n(t)$, pro všechna $t \in \tilde{I}$ zvolím $n$ tak, aby $t \in I_n$. Na volbě $n$ nezávisí, neboť na příslušných intervalech jsou funkce $x_n$ stejné.
+	V opačném případě můžeme definovat $b_{n + 1} = \frac{b_n + \omega_n}{2}$ (pokud $\omega_n < \infty$), případně $b_{n + 1} = b_n + 1$. Tímto postupem získáme rostoucí posloupnost $b_n$, která musí mít limitu. Označme tuto limitu $\beta$. Dále položme $\tilde{I} = (a, \beta)$, $\tilde{x} = x_n(t)$, pro všechna $t \in \tilde{I}$ zvolím $n$ tak, aby $t \in I_n$. Na volbě $n$ nezávisí, neboť na příslušných intervalech jsou funkce $x_n$ stejné.
 
 	Dokážeme, že takto definované řešení $(\tilde{x}, \tilde{I})$ je maximální. Pro spor budeme předpokládat, že existuje rozšíření na $(a, \hat{\beta})$ takové, že $\hat{\beta}$. Okamžitě vidíme, že $\beta < \infty$. Vezmeme $n$ takové, aby $\beta - b_n < \hat{\beta} - \beta$ a $\beta - b_n < 1$ (existuje díky tomu, že $b_n$ konvergují k $\beta$). V tom případě $(x_n, I_n)$ má prodloužení až do $\hat{\beta}$, tedy $\omega_n \geq \hat{\beta}$. Pak ale (pokud $\omega_n = \infty$) $b_{n + 1} = b_n + 1 > \beta$, máme spor, případně pro $\omega_n$ konečné máme $b_{n + 1} = \frac{b_n + \omega_n}{2} > \frac{2\beta - \hat{\beta} + \hat{\beta}}{2} = \beta$, opět jsme došli ke sporu.
 \end{proof}
@@ -41,7 +41,7 @@ V případě $f$ lipschitzovské se důkaz dá výrazně zjednodušit. Budeme uv
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-	Nutnost těchto podmínek plyne triviálně z podstaty prodloužení (cvičení). Dokážeme, že jde o podmínky postačující. Nechť tedy máme $(x_0, b)$ jakou novou počáteční podmínku, dle Peanovy vety existuje řešení $\hat{x}$ na $(b - \delta, b + \delta)$ splňující tuto počáteční podmínku. Definujeme $\hat{x}(t) = \begin{cases} x(t), t < b \\ \tilde{x}(t), t \geq b \end{cases}$. Potom $\hat{x}$ je řešení (díky principu nalepování) a navíc prodlužuje $x$ za bod $b$, což jsme chtěli dokázat.
+	Nutnost těchto podmínek plyne triviálně z podstaty prodloužení (cvičení). Dokážeme, že jde o podmínky postačující. Nechť tedy máme $(x_0, b)$ jako novou počáteční podmínku, dle Peanovy vety existuje řešení $\hat{x}$ na $(b - \delta, b + \delta)$ splňující tuto počáteční podmínku. Definujeme $\hat{x}(t) = \begin{cases} x(t), t < b \\ \tilde{x}(t), t \geq b \end{cases}$. Potom $\hat{x}$ je řešení (díky principu nalepování) a navíc prodlužuje $x$ za bod $b$, což jsme chtěli dokázat.
 \end{proof}
 
 Na závěr si uvedeme jednu důležitou větu, která nám poskytne představu o tom, jak vypadají maximální řešení diferenciálních rovnic.

zavislost-na-podmince.tex

@@ -27,13 +27,15 @@
 
 \begin{proof}
 	Můžeme psát
-	$$ \| x(t) - y(t) \| = \| x(t_0) + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (y(t_0) + \int_{t_0}^t f(y(s), s) ds) \| \leq $$
+	\begin{align*}
-	$$ \| x(t_0) - y(t_0) \| + \| \int_{t_0}^t \left| f(x(s), s) - f(y(s), s) \right| ds \| \leq $$
+		\| x(t) - y(t) \| &= \left\| x(t_0) + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (y(t_0) + \int_{t_0}^t f(y(s), s) ds) \right\| \leq \\
-	$$ \| x(t_0) - y(t_0) \| + \| \int_{t_0}^t L | x(s) - y(s) | ds.$$
+		&\leq \left\| x(t_0) - y(t_0) \right\| + \left\| \int_{t_0}^t \left| f(x(s), s) - f(y(s), s) \right| ds \right\| \leq \\
+		&\leq \left\| x(t_0) - y(t_0) \right\| + \left\| \int_{t_0}^t L | x(s) - y(s) | ds \right\|.
+	\end{align*}
 
 	Poté z Gronwallova lemmatu dostáváme, že
-	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq K e^{|\int_{t_0}^t L ds|} = K e^{|t - t_0| L}, $$
+	$$ \| x(t) - y(t) \| \leq \| x(t_0) - y(t_0) \| e^{|\int_{t_0}^t L ds|} = \| x(t_0) - y(t_0) \| e^{|t - t_0| L}, $$
-	kde funkci $w(s)$ ze znění lemmatu odpovídá výraz $\|x(s) - y(s)\|$.
+	kde funkci $w(s)$ ze znění lemmatu odpovídá výraz $\|x(s) - y(s)\|$ a $K = \| x(t_0) - y(t_0) \|$.
 \end{proof}
 
 Jednoduchým důsledkem tohoto lemmatu je mj. jednoznačnost řešení (stačí uvažovat řešení s $x(t_0) = y(t_0)$).