proofreading

jednoznacnost-reseni.tex

@@ -47,9 +47,18 @@ Zavedeme značení $f \in C_x^1(\Omega)$, jestliže $\pdv{f}{x_i}$ existují a j
 	Mějme $(x_0, t_0) \in \Omega$. Nechť $\delta > 0$ je takové, že množina
 	$$M = \overline{U(x_0, \delta) \times (t_0 - \delta, t_0 + \delta)}$$ je podmnožinou $\Omega$. Z kompaktnosti $M$ máme, že parciální derivace $\pdv{f}{x_i}$ jsou omezené konstantou $K$.
 
-	Dále mějme dva body $(x, t),(y,t) \in M$. Potom $|f(x,t) - f(y, t)| = |f(x + 0(y - x), t) - f(x + 1(y - x)t)| = |\left[f(x+s(y - x), t)\right]^1_0| = |\int_0^1 \odv*{f(x+s(y-x),t)}{s} ds|$. Pro derivaci $f$ platí $\odv*{f(x + s(y - x), t)}{s} = \sum_{i=1}^n \pdv{f}{x_i}(x + s(y - x), t) (y_i - x_i)$. Z toho máme, že
-	$$\left|\int_0^1 \odv*{f(x+s(y-x),t)}{s} ds\right| \leq \int_0^1 \sum_{i=1}^n K|y_i - x_i| ds = \sum_{i=1}^n K \max_i |y_i - x_i| = $$
-	$$n K \max |y_i - x_i| \leq nK | y - x |,$$
+	Dále mějme dva body $(x, t),(y,t) \in M$. Potom
+	\begin{align*}
+		|f(x,t) - f(y, t)| &= |f(x + 0(y - x), t) - f(x + 1(y - x), t)| =\\
+		&= |\left[f(x+s(y - x), t)\right]^1_0| = \left|\int_0^1 \odv*{f(x+s(y-x),t)}{s} ds\right|.
+	\end{align*}
+	Pro derivaci $f$ platí
+	$$\odv*{f(x + s(y - x), t)}{s} = \sum_{i=1}^n \pdv{f}{x_i}(x + s(y - x), t) (y_i - x_i).$$
+	Z toho máme, že
+	\begin{align*}
+		\left|\int_0^1 \odv*{f(x+s(y-x),t)}{s} ds\right| &\leq \int_0^1 \sum_{i=1}^n K|y_i - x_i| ds = \sum_{i=1}^n K \max_i |y_i - x_i| =\\
+		&= n K \max |y_i - x_i| \leq nK | y - x |,
+	\end{align*}
 	kde poslední nerovnost plyne z faktu, že $|y -x| = \sqrt{\sum_{i = 1}^n |y_i - x_i|^2}$.
 
 	Tedy $f$ je lokálně lipschitzovská s konstantou $n \cdot K$.