oprava dukazu vety 4.4

zavislost-na-podmince.tex

@@ -50,21 +50,21 @@ Například, uvažujeme-li rovnici $x'(t) = x(t)$. Obecným řešením této rov
 \begin{proof}
 	Intermezzo: otevřenost $G$ znamená, že pro každé $(x_0, t_0) \in \Omega$ a $t$ existuje $r > 0$ takové, že pokud $\| (y_0, s_0) - (t_0, x_0) \|$, potom řešení $y$ procházející bodem $(y_0, s_0)$ je definované v bodech $(t - r, t + r)$, spojitost pak odpovídá tomu, že toto řešení bude po celou dobu ``blízko" toho původního.
 
-	Bez újmy na obecnosti nechť $t_0 > t$. Vezměme $(t; t_0, x_0) \in G$, buď $x$ maximální řešení s počáteční podmínkou $x(t_0) = x_0$. Pak $[t_0, t] \subset D_x$ (řešení je definováno na celém tomto intervalu). Vezměme $\delta > 0$ tak malé, aby $[t_0, t + 2\delta] \subset D_x$ a zároveň $K_\delta := \{ (y, s) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : s \in [t_0 - \delta, t + \delta] \land |y - x(s)| \leq \delta \} \subset \Omega$. Takto definovaná množina $K_\delta$ je kompaktní a tedy $f$ je na $K_\delta$ omezená konstantou $c_0$ (spojitá funkce na kompaktu) díky čemuž z lokální lipschitzovskosti plyne globální $L$-lipschitzovskost vzhledem k $x$.
+	Bez újmy na obecnosti nechť $t_0 > t$. Vezměme $(t; t_0, x_0) \in G$, buď $x$ maximální řešení s počáteční podmínkou $x(t_0) = x_0$. Pak $[t_0, t] \subset D_x$ (řešení je definováno na celém tomto intervalu). Vezměme $\delta > 0$ tak malé, aby $[t_0, t + 2\delta] \subset D_x$ (to můžeme, neboť $D_x$ je otevřená) a zároveň $K_\delta := \{ (y, s) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : s \in [t_0 - \delta, t + \delta] \land |y(s) - x(s)| \leq \delta \} \subset \Omega$. Takto definovaná množina $K_\delta$ je kompaktní a tedy $f$ je na $K_\delta$ omezená konstantou $c_0$ (spojitá funkce na kompaktu) díky čemuž z lokální lipschitzovskosti plyne globální $L$-lipschitzovskost vzhledem k $x$.
 
 	Dokážeme, že řešení ``blízko" toho původního neopustí ``rouru" $K_\delta$. Zvolme $\varepsilon > 0$ takové, aby $\varepsilon < \frac{\delta}{2(1 + c_0)e^{L(t - t_0 + 2\delta)}}$. Vezměme $y_0, s_0$ tak, aby $|s_0 - t_0| < \varepsilon$, $|x_0 - y_0| < \varepsilon$. Dále vezmeme $y$ maximální řešení s podmínkou $y(s_0) = y_0$. Chceme dokázat, že $y$ je definované aspoň na intervalu $[s_0, t + \delta]$ a platí $|y(s) - x(s)| \leq \delta$ pro všechna $s \in [s_0, t + \delta]$.
 
 	Můžeme psát
 	$$ |y(s_0) - x(s_0)| \leq |y(s_0) - x(t_0)| + |x(t_0) - x(s_0)| \leq $$
-	$$ |y_0 - x_0| + |x'(\xi)| |t_0 - s_0| \leq (1 + C_0) \varepsilon, $$
+	$$ |y_0 - x_0| + |x'(\xi)| |t_0 - s_0| \leq (1 + c_0) \varepsilon, $$
 	kde $\xi$ je konstanta z Lagrangeovy věty, která ve vícerozměrném prostoru platí pouze jako neostrá nerovnost.
 
 	Dále odhadujme (použijeme Lemma \ref{lemma-sol-dist})
-	$$ |y(s) - x(s)| \leq |y(s_0) - x(s_0)| e^{L|s - s_0|} \leq (1 + C_0) \varepsilon e^{L|s - s_0|} \leq (1+C_0)\varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta)}, $$
+	$$ |y(s) - x(s)| \leq |y(s_0) - x(s_0)| e^{L|s - s_0|} \leq (1 + c_0) \varepsilon e^{L|s - s_0|} \leq (1+c_0)\varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta)}, $$
 	kde uvažujeme pouze body $s$, pro které existuje $y(s)$ a $y$ leží v $K_\delta$ na $[s_0, s]$. Z volby $\varepsilon$ dostáváme navíc
 	\begin{equation}
 		\label{eq-estimate-thm-sol-fun}
-		|y(s) - x(s)| \leq (1 + C_0) \varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta} < \frac{\delta}{0}.
+		|y(s) - x(s)| \leq (1 + c_0) \varepsilon e^{L(t - t_0 + 2\delta)} < \frac{\delta}{2}.
 	\end{equation}
 
 	Maximální řešení $y$ opustí kompakt (Věta \ref{thm-leaving-compact}) $K_\delta$ někde za časem $s_0$. Označme $\gamma$ čas prvního opuštění (přesněji řečeno infimum všech časů, kdy to už není v tom kompaktu). Na intervalu $[s_0, \gamma]$ platí odhad \eqref{eq-estimate-thm-sol-fun}, tedy $|y(\gamma) - x(\gamma)| < \frac{\delta}{2}$, z čehož máme $\gamma = t + \delta$, to znamená, že kompakt nemůžeme opustit jinak než za časem $t$. Tím jsme dokázali otevřenost $G$.
@@ -72,7 +72,7 @@ Například, uvažujeme-li rovnici $x'(t) = x(t)$. Obecným řešením této rov
 	Dokážeme spojitost $\varphi$ na $G$. Vezměme dva body $(t; t_0, x_0)$ a $(s; s_0, y_0)$ jako minule a uvažujme rozdíl
 	$$ | \varphi(t;t_0, x_0) - \varphi(s, s_0, y_0) | \leq |\varphi(t; t_0, x_0) - \varphi(s; t_0, x_0)| + $$
 	$$|\varphi(s; t_0, x_0) - \varphi(s; s_0, y_0)| \leq |x(t) - x(s)| + |x(s) - y(s)| \leq $$
-	$$ C_0(t - s) + |x(s_0) - y(s_0)e^{L|s - s_0|}| \leq C_0|t - s| + (1 + C_0)e^{L|s - s_0|} |x_0 - y_0|,$$
+	$$ c_0(t - s) + |x(s_0) - y(s_0)e^{L|s - s_0|}| \leq c_0|t - s| + (1 + c_0)e^{L|s - s_0|} |x_0 - y_0|,$$
 	čímž jsme ukázali lipschitzovskost, a tedy spojitost $\varphi$ na $G$.
 \end{proof}