prednaska 21.3.2025

linearni-rovnice.tex

@@ -0,0 +1,61 @@
+\section{Lineární rovnice}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Normu matice} $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ definujeme
+	$$ \| A \| = \sup \{ |Ax|; x \in \mathbb{R}^n, |x| \leq 1 \}, $$
+	kde $|x| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ je norma vektoru $x \in \mathbb{R}^n$.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[Vlastnosti normy matice]
+	\label{thm-matrix-norm-properties}
+	Nechť $A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$. Potom:
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $\| A \| \geq 0$ a $\|A \| = 0$ právě když $A = 0$.
+		\item $\| aA \| = |a| \| A \|$ pro všechna $a \in \mathbb{R}$.
+		\item $\| A + B \| \leq \|A\| + \|B\|$.
+		\item $\| AB \| \leq \|A\|\|B\|$.
+		\item $|Ax| \leq \|A\| |x|$ pro $x \in \mathbb{R}^n$.
+		\item Je-li $A$ regulární, pak $Ay \geq \frac{|y|}{\|A^{-1}\|}$ pro $y \in \mathbb{R}^n$.
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	První tři vlastnosti říkají, že operátor $\|\cdot\|$ je norma (cvičení).
+
+	Dokážeme vlastnost (v). Případ $x = 0$ je triviální, nechť tedy $x \neq 0$. Položme $y = \frac{x}{|x|}$. Potom můžeme psát
+	$$ |Ax| = |A(|x|y)| = \left||x|Ay\right| = |x| |Ay| \leq |x| \|A\|. $$
+
+	K důkazu vlastnosti (iv) můžeme psát
+	$ |ABx| \leq \|A\|\|B\||x| $, kde jsme dvakrát použili již dokázanou vlastnost (v).
+	Potom
+	$$ \|AB\| = \sup_{|x| \leq 1} |ABx| \leq \sup_{|x| \leq 1} \|A\|\|B\||x| \leq \|A\|\|B\|\cdot1. $$
+
+	Nakonec, pro vlastnost (vi) položme $v := Ay$, tedy $y = A^{-1} v$. Potom
+	$$ |y| = |A^{-1} v| \leq \|A^{-1}\| |v| = \|A^{-1}\| |Ay|, \textrm{ tedy } |Ay| \geq \frac{|y|}{\|A^{-1}\|}, $$
+	čímž je důkaz ukončen.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Lineární rovnicí} rozumíme rovnici
+	\begin{equation}
+		\label{eq-linear-ode}
+		x' = A(t)x + g(t), x(t_0) = x_0,
+	\end{equation}
+	kde $A(t): (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}, g(t): (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^n$ jsou spojité.
+\end{definition}
+
+V přednášce MA3 jste již studovali tento typ rovnic, teď se však budeme věnovat obecnějšímu případu, kdy $A$ a $g$ závisí na $t$.
+
+\begin{theorem}
+	\label{thm-unique-sol-lineq}
+	Nechť $t_0 \in (a, b), x_0 \in \mathbb{R}^n$ je dáno. Pak existuje jediné řešení rovnice \eqref{eq-linear-ode}, definované na celém $(a, b)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Rovnice \eqref{eq-linear-ode} je ekvivalentní rovnici \eqref{eq-ode}, kde $f(x, t) = A(t)\cdot x + g(t)$. Můžeme psát
+	$$ |f(x, t) - f(y, t)| = |A(t)x - A(t)y| \leq \|A(t)\| |x - y|. $$
+	Funkce $A(t)$ je omezená na kompaktních intervalech, tedy $f$ je lipschitzovská. Tedy pro každou počáteční podmínku existuje právě jedno maximální řešení. Dokážeme, že toto řešení je definované na celém $(a, b)$.
+
+	\hfill \textit{konec 5. přednášky (21.3.2025)}
+
+\end{proof}

skripta.tex

@@ -35,5 +35,6 @@
 \include{jednoznacnost-reseni}
 \include{maximalni-reseni}
 \include{zavislost-na-podmince}
+\include{linearni-rovnice}
 
 \end{document}

zavislost-na-podmince.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \section{Závislost na počáteční podmínce}
 
 \begin{lemma}[Gronwall]
+	\label{lemma-gronwall}
 	Nechť $w(t), g(t)$ jsou nezáporné a spojité na nějakém intervalu $I$ a nechť $t_0 \in I, K \geq 0$. Nechť pro každé $t \in I$ platí
 	$$ w(t) \leq K + \left| \int_{t_0}^t w(s) g(s) ds \right|. $$
 	Potom pro každé $t \in I$ platí
@@ -44,6 +45,7 @@ Jednoduchým důsledkem tohoto lemmatu je mj. jednoznačnost řešení (stačí
 Například, uvažujeme-li rovnici $x'(t) = x(t)$. Obecným řešením této rovnice je funkce $x(t) = ce^t$, vyřešením rovnice s počáteční podmínkou dostaneme řešicí funkci $\varphi(t; t_0, x_0) = x_0e^{t - t_0}$.
 
 \begin{theorem}
+	\label{thm-cont-dep}
 	Množina $G$ z předchozí definice je otevřená a $\varphi$ je spojitá na $G$.
 \end{theorem}
 
@@ -89,3 +91,42 @@ Označme pro účely následující věty $\pdv{}{w}$ derivaci ve směru $w \in
 \end{theorem}
 
 \hfill \textit{konec 4. přednášky (14.3.2025)}
+
+\begin{proof}
+	Větu dokážeme za silnějšího předpokladu $f \in C_x^2(\Omega)$.
+
+	Vezmeme pevně bod $(x_0, t_0)$ a víme, že tímto bodem prochází právě jedno maximální řešení, označíme ho $x(t)$. Dále označme $A(t) = \nabla_x f(x(t), t)$. Potom $A(t)$ je matice $n \times n$. Vezmeme pevné $w \in \mathbb{R}^n$ a označme $u(t)$ maximální řešení počáteční úlohy \eqref{eq-thm-diff-dep}. 
+
+	Dle Věty \ref{thm-unique-sol-lineq} existuje právě jedno řešení a je definované na celém intervalu, kde je definovaná $A(t)$. Chceme dokázat, že $u(t) = \pdv*{\varphi}{w}(t, t_0, x_0)$.
+	Z definice máme, že
+	$$ \pdv*{\varphi}{w}(t, t_0, x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} (\varphi(t, t_0, x_0 + hw) - \varphi(t, t_0, x_0). $$
+	Vezmeme $t$ pevné tak, aby $(t, t_0, x_0) \in G$, tedy $x(t)$ je dobře definované. Vezmeme dost malé tak, aby $\varphi(t, t_0, x_0 + hw)$ bylo definované. Položme $y_h(t) := \varphi(t, t_0, x_0 + hw)$.
+	
+	Definujeme funkci $\eta_h(t) = \frac{1}{h}(y_h(t) - x(t)) - u(t)$. Ukážeme, že $\lim_{h \rightarrow 0} \eta_h(t) = 0$. Pišme
+	$$ \eta'_h(t) = \frac{1}{h}(y_h'(t) - x'(t)) - u'(t) = \frac{1}{h} (f(y_h(t), t) - f(x(t), t)) - \nabla_x f(x(t), t) u(t). $$
+	Použijeme Taylorův rozvoj prvního řádu pro funkci $f$, dostaneme
+	$$ \eta'_h(t) = \frac{1}{h} (\nabla_x f(x(t), t) (y_h(t) - x(t)) + $$ 
+	$$ \frac{1}{2}(y_h(t) - x(t))^T \pdv*[order={2}]{f}{x}(x(t), t) (y_n(t) - x(t)) - \nabla_x f(t, x(t)) u(t). $$
+	Tedy máme, že 
+		$$ \eta_h'(t) = \nabla_x f(x(t), t) \left[\frac{1}{h}(y_h(t) - x(t)) - u(t)\right] + \frac{1}{h} z_n(t).$$
+	Potom $\eta_h'(t) = A(t)\eta_h(t) + z_n(t)$.
+
+	Pro $h$ malé je vše v $K_\delta$ z Věty \ref{thm-cont-dep}. Na $K_\delta$ jsou $\nabla_x f$ a $\nabla^2_x f$ omezené $\leq M$. Zde předpokládáme, že $f \in C_x^2(\Omega)$.
+	Potom z Lemmatu \ref{lemma-sol-dist} můžeme psát
+	$$ \| z_h(t) \| \leq \frac{1}{2} M \| y_h(t) - x(t) \|^2 \leq \frac{1}{2}M \|y_h(t_0) - x(t_0) \|^2 e^{2M|t - t_0|} \leq Ch^2 \|w\|^2. $$
+
+	Uvědomíme si, že $\eta_h(t_0) = 0$ a napíšeme integrální rovnici odpovídající diferenciální rovnici pro $\eta'_h$
+	$$ \eta_h(t) = \eta_h(t_0) + \int_{t_0}^t A(s) \eta_h(s) + z_n(s) ds, $$
+	Tedy $\| \eta_h(t) \| \leq \left| \int_{t_0}^t M \| \eta_h(s) \| + Chds \right| = C|t - t_0| h + \left|\int_{t_0}^t M \| \eta_h(s) ds \right|$.
+	Použijeme Gronwallovo lemma (Lemma \ref{lemma-gronwall}), dostaneme.
+	$$ \| \eta_h(t) \| \leq \tilde{C} h e^{M|t - t_0|}, $$
+	tedy $\eta_h(t) \rightarrow 0$ pro $h \rightarrow 0$, čímž je důkaz ukončen.
+\end{proof}
+
+Ukážeme si jednu aplikaci následující věty pro výpočet derivace řešící funkce.
+
+\begin{example}
+	Mějme rovnici $x' = x$, její řešící funkce má tvar $\varphi(t, t_0, x_0) = x_0 e^{t - t_0}$. Potom $\odv*{\varphi(t, t_0, x_0)}{x} = e^{t - t_0}$. Totéž můžeme spočítat z předchozí věty. Hledaná funkce řeší diferenciální rovnici $u' = u$ s počáteční podmínkou $u(t_0) = t$. Jejím řešením je $e^{t - t_0}$, což jsme chtěli dokázat.
+\end{example}
+
+Za uvedených předpokladů dokonce $\odv{\varphi}{w}$ závisí spojitě na $x_0$ tj. řešicí funkce je diferencovatelná (má totální diferenciál) vzhledem k $x_0$. Lze též ukázat, že $\varphi$ je diferencovatelná vůči $t$ a $t_0$.