prednaska 28.3.2025

linearni-rovnice.tex

@@ -48,7 +48,7 @@ V přednášce MA3 jste již studovali tento typ rovnic, teď se však budeme v
 
 \begin{theorem}
 	\label{thm-unique-sol-lineq}
-	Nechť $t_0 \in (a, b), x_0 \in \mathbb{R}^n$ je dáno. Pak existuje jediné řešení rovnice \eqref{eq-linear-ode}, definované na celém $(a, b)$.
+	Nechť $t_0 \in (a, b), x_0 \in \mathbb{R}^n$ je dáno. Pak existuje jediné řešení rovnice \eqref{eq-linear-ode} definované na celém $(a, b)$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
@@ -58,4 +58,80 @@ V přednášce MA3 jste již studovali tento typ rovnic, teď se však budeme v
 
 	\hfill \textit{konec 5. přednášky (21.3.2025)}
 
+	Předpokládejme, že řešení není definované na celém $(a, b)$. Potom existují $\alpha, \beta \in (a, b)$ takové, že řešení je definováno na $(\alpha, \beta)$. Toto řešení musí opustit každý kompakt, tedy mimo jiné i $K = [t_0, \beta]\times \overline{B(0, R)}$, kde $R$ je dostatečně velké.
+	Řešení $x$ splňuje 
+	$$ |x(t)| \leq |x(t_0)| \int_{t_0}^t \| A(s)\| |x(s)| + |g(s)| ds \overset{\begin{subarray}{c}\|A(s)\| \leq L\\|g(s)| \leq \tilde{C}\end{subarray}}{\leq} C + \int_{t_0}^t L|x(s)|C| ds \leq $$
+	Z Gronwallova lemmatu dostaneme
+	$$ \leq \tilde{C} + C(\beta - t_0) + \int_{t_0}^t L|x(s)| ds \implies |x(t)| \leq \underbrace{[\tilde{C} + C(\beta - t_0) e^{L(\beta - t_0}]}_{R}. $$
+	Došli jsme ke sporu s Větou \ref{thm-leaving-compact}, neboť řešení $x$ nemůže opustit kompakt $K$.
 \end{proof}
+
+Důležitá poznámka: řešení existuje globálně na oboru spojitosti $A(t), g(t)$. Ve skutečnosti předchozí věta i pro nelineární rovnice $x' = f(x, t)$ se sublineární pravou stranou, tj. pokud $|f(x, t)| \leq a(t)|x| + g(t)$, kde $a(\cdot), g(\cdot)$ jsou spojité.
+
+\begin{definition}
+	\textit{Homogenní rovnicí} rozumíme rovnici \eqref{eq-linear-ode} pro $g(t) \equiv 0$, tj.
+	\begin{equation}
+		\label{eq-homogenous-linear-ode}
+		x' = A(t)x, x(t_0) = x_0.
+	\end{equation}
+\end{definition}
+
+Použijeme znalosti lineární algebry k tomu, abychom mohli formalizovat postup řešení lineárních ODR.
+
+\begin{theorem}
+	Množina $\mathcal{R}_H$ řešení homogenní rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode} bez zadané počáteční podmínky tvoří $n$-dimenzionální podprostor $C^1((a, b), \mathbb{R}^n)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Jádro lineárního zobrazení $Lx := x' - Ax$ je vektorový prostor. Dokážeme, že má dimenzi $n$. Nechť $i = 1,\dots,n$ a $x(t_0) = e_i$, pro tuto počáteční podmínku dostaneme řešení $x^i$. Potom $\{x^1, \dots, x^n\}$ tvoří bázi prostoru všech řešení. Skutečně, tyto vektory jsou lineárně nezávislé, mějme lineární kombinaci $c_1 x^1 + \dots + c_n x^n = 0$, speciálně v čase $t_0$ máme $c_1 e^1 + \dots + c_n x^n$, což implikuje, že $c_i = 0$ pro každé $i$. Navíc vezmeme libovolné řešení $z' = A(t) z$, opět zkoumejme stav v čase $t_0$. Máme $z(t_0) = d_1e^1 + \dots d_ne^n$ pro vhodná $d_1, \dots, d_n$. Definujme $y(t) := d_1 x^1(t) + \dots + d_n x^n(t)$, tedy $y$ řeší rovnici $y' = Ay$ a $y(t_0) = z(t_0)$, z čehož díky jednoznačnosti řešení dostáváme $y = z$. Tudíž jsme nalezli $n$-prvkovou bázi, tedy prostor $\mathcal{R}_H$ má dimenzi $n$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Fundamentální systémem} pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode} rozumíme libovolnou bázi $\mathcal{R}_H$. Matice, jejíž sloupce tvoří prvky libovolného fundamentálního systému, nazýváme \textit{fundamentální maticí} pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode}.
+\end{definition}
+
+Uvedeme si několik poznámek k definici fundamentální matice. Je-li $\Phi(t)$ nějaká fundamentální matice, pak
+\begin{itemize}
+	\item $\Phi(t)$ splňuje ``maticový tvar \eqref{eq-homogenous-linear-ode}", tedy $\Phi'(t) = A\Phi(t)$.
+	\item $\Phi(t)$ je regulární pro každé $t \in (a, b)$.
+	\item Obecné řešení \eqref{eq-homogenous-linear-ode} má tvar $\Phi(t) c$, kde $c \in \mathbb{R}^n$.
+	\item $\tilde{\Phi}(t) := \Phi(t) \Phi^{-1}(t_0)$ je také fundamentální matice, která navíc splňuje $\tilde{\Phi}(t_0) = I$.
+\end{itemize}
+
+\begin{theorem}[Variace konstant]
+	\label{thm-variation-of-constants}
+	Nechť $\Phi(t)$ je libovolná fundamentální matice pro \eqref{eq-homogenous-linear-ode}. Potom řešení nehomogenní rovnice \eqref{eq-linear-ode} lze napsat ve tvaru
+	$$ x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)x_0 + \Phi(t) \int_{t_0}^t \Phi^{-1}(s) g(s) ds $$
+	pro $t \in (a, b)$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Zderivováním dostaneme $x' = A(t) x + g(t)$, dále stačí ověřit počáteční podmínku dosazením.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	\textit{Wronského determinant} (Wronskián) rovnice \eqref{eq-homogenous-linear-ode} je reálná funkce $w(t) := \det(\Phi(t))$, kde $\Phi$ je libovolná fundamentální matice příslušné rovnice.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[Liouvilleova formule]
+	\label{thm-liouville-formula}
+	Nechť $\Phi(t)$ je maticové řešení \eqref{eq-homogenous-linear-ode} a nechť $w(t) = \det \Phi(t)$. Potom
+	$$ w(t) = w(t_0) \exp \left( \int_{t_0}^t \tr A(s) ds \right), $$
+	kde $\tr A$ je stopa matice $A$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	Dokazovaná rovnost je ekvivalentní s
+	$$ w'(t) = w(t_0) \exp\left( \int_{t_0}^t \tr A(s) ds \right) \tr A(t) $$
+	a tedy
+	$$ w'(t) = \tr A(t) w(t), w(t_0) = w(t_0) $$
+	Dále
+	$$ \odv*{\det \Phi(t)}{t} = \odv*{\sum_\sigma (-1)^{\sgn \sigma} \Phi_{1, \sigma(1)}(t) \dots \Phi_{n, \sigma(n)}(t)}{t} = $$
+	$$ \sum_{k = 1}^n \sum_\sigma (-1)^{\sgn \sigma} \overbrace{\Phi \dots \Phi}^{\Phi' \text{ je v $k$-tém řádku }} = \sum_{k=1}^n \det D_k, $$
+	kde $D_k$ je matice $\Phi$ se zderivovaným $k$-tým řádkem.
+
+	\hfill \textit{konec 6. přednášky (28.3.2025)}
+
+\end{proof}
+
+Pokud $\tr A(t) > 0$, potom wronskián roste, $=0$ zachovává objem a $<0$ objem klesá.

skripta.tex

@@ -22,6 +22,9 @@
 \newtheorem{example}[theorem]{Příklad}
 \newtheorem{convention}[theorem]{Úmluva}
 
+\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+
 \title{Obyčejné diferenciální rovnice (NMMA336)}
 \author{Petr Velička \footnote{\href{mailto:petrvel@matfyz.cz}{petrvel@matfyz.cz}}\\přednášející: doc. RNDr. Tomáš Bárta, Ph.D. \footnote{\href{mailto:barta@karlin.mff.cuni.cz}{barta@karlin.mff.cuni.cz}}}
 \date{LS 2024/25}