prednaska 28.2.2025

lokalni-existence.tex

@@ -12,7 +12,7 @@ V této přednášce budeme studovat systém rovnic
 \end{convention}
 
 \begin{definition}
-	Buď $I$ otevřený interval. Funkci $x(t): I \rightarrow \mathbb{R}^n$ nazveme \textit{řešením} diferenciální rovnice (\ref{eq-ode}) v $\Omega$, jestliže pro všechna $t \in I$ platí
+	Buď $I$ otevřený interval. Funkci $x(t): I \rightarrow \mathbb{R}^n$ nazveme \textit{řešením} diferenciální rovnice \eqref{eq-ode} v $\Omega$, jestliže pro všechna $t \in I$ platí
 	\begin{enumerate}[(i)]
 		\item $(x(t),t)\in \Omega$,
 		\item existuje vlastní $x'(t)$,
@@ -56,32 +56,53 @@ Následující věta nám říká, že na nějakém okolí libovolného bodu exi
 
 \begin{theorem}{\textbf{(Peano)}}
 	\label{thm-peano}
-	Nechť $(x_0, t_0) \in \Omega$. Pak existuje $\delta > 0$ a funkce $x(t): (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \rightarrow \mathbb{R}^n$, která je řešením (\ref{eq-ode}) a splňuje $x(t_0) = x_0$.
+	Nechť $(x_0, t_0) \in \Omega$. Pak existuje $\delta > 0$ a funkce $x(t): (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \rightarrow \mathbb{R}^n$, která je řešením \eqref{eq-ode} a splňuje $x(t_0) = x_0$.
 \end{theorem}
 
 K důkazu této věty budeme potřebovat pomocné lemma:
 
 \begin{lemma}
-	Pokud $\Omega = \mathbb{R}^{n+1}$ a $f$ je omezená na $\Omega$, pak pro každé $T > 0$ existuje řešení (\ref{eq-ode}) na $(t_0 - T, t_0 + T)$ splňující $x(t_0) = x_0$.
+	\label{lemma-special-solution}
+	Pokud $\Omega = \mathbb{R}^{n+1}$ a $f$ je omezená na $\Omega$, pak pro každé $T > 0$ existuje řešení \eqref{eq-ode} na $(t_0 - T, t_0 + T)$ splňující $x(t_0) = x_0$.
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-	Řešme ``porušenou" úlohu: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ a $x(t) = x_0$ pro $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
+	Řešme ``porušenou" úlohu $P_\lambda$: $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda), s) ds$ pro $ t > t_0$ a $x(t) = x_0$ pro $t \in [t_0 - \lambda, t_0]$.
 	Na $I_1 := (t_0, t_0 + \lambda]$ definujeme $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s - \lambda, s) ds$.
 	Na $I_2 := (t_0 + \lambda, t_0 + 2\lambda]$ definujeme $x(t)$ obdobně a indukcí pokračujeme dokud $t_0 + k\lambda$ nebude větší než $T$.
 	Tímto je ``porušená" úloha vyřešena na $[t_0-\lambda, t_0 + T]$.
 
-	Položme $\lambda = \frac{1}{n}$ pro $n = 1,2,\dots$. Pišme dále jen $x_n$ namísto $x_{1/n}$, tedy máme posloupnost funkcí. 
+	Položme $\lambda = \frac{1}{n}$ pro $n = 1,2,\dots$. Pišme dále jen $x_n$ namísto $x_{1/n}$, tedy řešení úloh $P_\frac{1}{n}$ tvoří posloupnost funkcí.
 	Ukážeme, že jsou stejně spojité a stejně omezené.
-	Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0  + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
+	Stejná omezenost plyne z toho, že $\| x_n (t) \| = \| x_0  + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq \| x_0 \| + \int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) \| ds$. Ale funkce $f$ je omezená, tedy máme $\| x_n(t) \| \leq \| x_0 \| + (T - t_0) \cdot K$, kde $K$ je příslušná konstanta omezenosti $f$.
 	Stejnou spojitost máme z odhadu $\| x_n(t) - x_n(r) \| = \| \int_r^t f(x(s - \frac{1}{n}), s) ds \| \leq |t - r| \cdot K$. V poslední nerovnosti jsme odhadli integrál součinem délky intervalu a konstantou omezenosti funkce $f$. Stačí položit $\delta = \frac{\varepsilon}{K}$, potom $\|x_n(t) - x_r(t)\| < \delta K = \varepsilon$.
-	
-	Tedy dle Věty \ref{thm-arzela} můžeme z posloupnosti $x_n$ vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost. Zbývá dokázat, že její limita řeší naši rovnici.
-	
+
+	Tedy dle Věty \ref{thm-arzela} můžeme z posloupnosti $x_n$ vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost $x_{n_k}$. Zbývá dokázat, že její limita řeší naši rovnici.
+
 	\hfill \textit{konec 1. přednášky (21.2.2025)}
 
+	Zřejmě pro $k \rightarrow \infty$ platí $x_{n_k} \rightarrow x(t)$ a pokud $\int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n}), s) ds$ konverguje k $\int_{t_0}^t f(x(s - \frac{1}{n}),s)ds$, máme hotovo.
+	Tato vlastnost plyne z toho, že $\| \int_{t_0}^t f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s) ds\| \leq \int_{t_0}^t \| f(x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) \| + \| f(x(s - \frac{1}{n_k}), s) - f(x(s), s  \| ds$.
+
+	Jelikož $f$ je spojitá, musí být stejnoměrně spojitá na kompaktní množině $[t_0, t_0 + T] \times \overline{B(0, r) \cap \Omega}$, jinými slovy platí, že pro $\varepsilon > 0$ existuje $\delta$ takové, že pro každé dva body $x, y$ takové, že $\|x - y\| < \delta$ máme, že $f(x, s) - f(y, \hat(s))$.
+
+	Ze stejnoměrné konvergence $x_{n_k}$ máme, že pro $\delta > 0$ existuje $k_0$ takové, že pro všechna $k \geq k_0$ platí $\|x_{n_k}(s - \frac{1}{n_k}) - x(s - \frac{1}{n_k})\|<\delta$.
+
+	Jelikož $x$ je spojitá, na kompaktním intervalu $[t_0, t_0 + T]$ je také stejnoměrně spojitá. Potom pro $\delta> 0$ existuje $k_1$ takové, že pro všechna $k \geq k_1$ platí $\| x(s - \frac{1}{n_k} - x(s) \| < \delta$.
+
+	Potom pro všechna $k \geq \max\{k_0, k_1\}$ platí, že náš integrál je menší nebo roven $\int_{t_0}^t \varepsilon + \varepsilon ds \leq T\cdot 2\varepsilon$, tedy jsme opravdu nalezli požadované řešení.
+
+	Existence řešení na $[t_0- T, t_0]$ se ukáže podobně.
 \end{proof}
 
-% \begin{proof}[Důkaz Věty \ref{thm-peano}]
-% \end{proof}
+\begin{proof}[Důkaz Věty \ref{thm-peano}]
+	Uvažujme dvě koule kolem bodu $(x_0, t_0)$ takové, že $K_1 \subset K_2 \subset \Omega$.
+	Definujeme $\tilde{f}(x, t) = \begin{cases}
+	f(x, t) \text{ v } K_1,\\
+	\text{spojitě v } K_2 \setminus K_1\\
+	0, (x, t) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus K_2
+	\end{cases}$.
+
+	Z Lemmatu \ref{lemma-special-solution} máme, že rovnice $x' = \tilde{f(x, t)}$ má řešení $x$ splňující počáteční podmínku $x(t_0) = x_0$. Nazveme toto řešení $\tilde{x}$. Potom ze spojitosti $\tilde{x}$. Tedy existuje $\delta > 0$ takové, že graf $\tilde{x}$ na $(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$ leží v $K_1$. Restrikce $\tilde{x}$ na tento interval nám tedy dává řešení původní rovnice.
+\end{proof}