opravy preklepu

jednoznacnost-reseni.tex

@@ -29,10 +29,10 @@ V této kapitole se budeme věnovat otázce jednoznačnosti řešení diferenci
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-	Volme $(x_0, t_0) \in \Omega$ a dvě řešení $(x, I), (y, J)$ taková, že $y(t_0) = x(y_0) = x_0$. Vezmeme $\delta_1 > 0$ tak, aby $f$ byla lipschitzovská na $\delta_1$-okolí $(x_0, t_0)$.
+	Volme $(x_0, t_0) \in \Omega$ a dvě řešení $(x, I), (y, J)$ taková, že $x(t_0) = y(t_0) = x_0$. Vezmeme $\delta_1 > 0$ tak, aby $f$ byla lipschitzovská na $\delta_1$-okolí $(x_0, t_0)$.
 	Nechť $\delta \leq \frac{1}{2L}$ je takové, že navíc $\delta < \delta_1$ a $t$ takové, aby $(x(t), t), (y(t), t) \in U(x_0, \delta) \times (t_0 - \delta, t_0 + \delta)$. Potom platí
 	$$ \| x(t) - y(t) \| = \| x_0 + \int_{t_0}^t f(x(s), s) ds - (x_0 + \int_{t_0}^t f(y(s),s) ds ) \| \leq $$
-	$$ \left| \int_{t_0}^t \| f(x(s), s) - f(y(s), s) \| ds\right| \leq \left| \int L\|x(s) - y(s)\| ds \right| \leq L\cdot\gamma\cdot\delta \leq \frac{\gamma}{2}$$
+	$$ \left| \int_{t_0}^t \| f(x(s), s) - f(y(s), s) \| ds\right| \leq \left| \int_{t_0}^t L\|x(s) - y(s)\| ds \right| \leq L\cdot\gamma\cdot\delta \leq \frac{\gamma}{2}$$
 	pro $\gamma := \sup \| x(s) - y(s) \|$. To platí pro všechna $t$, tedy $\gamma = \sup \|x(t) - y(t)\| \leq \frac{\gamma}{2}$, z čehož plyne $\gamma = 0$, což implikuje rovnost $x(t)$ a $y(t)$.
 \end{proof}